Ecuaciones trigonométricas

9. Ecuaciones trigonométricas

Para resolver ecuaciones en las que intervienen valores de funciones trigonométricas, se pueden usar varios métodos, algunos algebraicos (factorización, por ejemplo) y otros que consisten en la aplicación de las identidades trigonométricas.

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Ejemplo 187.

Resolver: $cos (x) = \frac{1}{2}$

Solución.

Como $cos (x)$ es positiva, esta ecuación tiene soluciones en el primer y cuarto cuadrante.

En el primer cuadrante, una solución particular del $cos (x) = \frac{1}{2}$ es $\frac{π}{3}$ , pues $cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ .

Pero como el coseno es función periódica de periodo $2 π$ se tiene que $cos (\frac{π}{3} + 2 nπ) = cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ ; $n \in ℤ$ .

Así tenemos que todos los números de la forma $\frac{π}{3} + 2 nπ$ , $n \in ℤ$ son solución de $cos (x) = \frac{1}{2}$ o sea:

$S_{1} = {x \in ℝ ∕ x = \frac{π}{3} + 2 nπ, n \in ℤ}$

En el cuarto cuadrante, una solución particular de $cos (x) = \frac{1}{2}$ es $\frac{- π}{3}$ pues $cos (- π ∕ 3) = cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ y tomando en cuenta el periodo de la función coseno, todos los números de la forma $\frac{- π}{3} + 2 nπ$ , $n \in ℤ$ son solución de $cos (x) = \frac{1}{2}$ o sea:

S_{2} = {x \in ℝ ∕ x = \frac{- π}{3} + 2 nπ, n \in ℤ}

Así $S = S_{1} \cup S_{2}$ es decir $S = {x \in ℝ ∕ x = \frac{π}{3} + 2 nπ ó x = \frac{- π}{3} + 2 nπ, n \in ℤ}$

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Ejemplo 188.

Resolver $cos (x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Solución.

Como $cos (x)$ es negativo, esta ecuación tiene soluciones en el segundo y tercer cuadrante.

En el segundo cuadrante, una solución particular de $cos (x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$ es $π - \frac{π}{4},$ o sea $\frac{3 π}{4}$ pues:

$cos (\frac{3 π}{4}) = - cos (\frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Así $S_{1} = {x \in ℝ ∕ x = \frac{3 π}{4} + 2 nπ, n \in ℤ}$

En el tercer cuadrante, una solución particular de $cos (x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$ es $π + \frac{π}{4},$ o sea $\frac{5 π}{4}$ , pues

$cos (\frac{5 π}{4}) = - \cos (\frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Así $S_{2} = {x \in ℝ ∕ x = \frac{5 π}{4} + 2 nπ, n \in ℤ}$

Por lo tanto $S = S_{1} \cup S_{2}$ , es decir

$S = {x \in ℝ ∕ x = \frac{3 π}{4} + 2 nπ ó x = \frac{5 π}{4} + 2 nπ, n \in ℕ}$

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Ejemplo 189.

Resolver $tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Solución.

Como $tan (x)$ es positiva, esta ecuación tiene soluciones en el primer y tercer cuadrante.

En el primer cuadrante una solución particular de $tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ es $\frac{π}{6}$ , pues

$tan (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , pero como la función es periódica, de periodo $π$ ,

se tiene que:

$tan (x) = (\frac{π}{6} + nπ) = tan (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}, n \in ℤ$

o sea, todos los números de la forma $\frac{π}{6} + nπ, n \in ℤ$ son solución de $tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , así

$S_{1} = {x \in ℝ ∕ x = \frac{π}{6} + nπ, n \in ℤ}$

En el tercer cuadrante una solución particular de $tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ es $π + \frac{π}{6}$ , o sea $\frac{7 π}{6}$ , pues $tan (\frac{7 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Observe además que $\frac{7 π}{6}$ está contenida en $S_{1}$ , pues $\frac{7 π}{6} = \frac{π}{6} + π$ por lo tanto $S = S_{1}$ o sea

$S = {x \in ℝ ∕ x = \frac{π}{6} + nπ, n \in ℤ}$

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Ejemplo 190.

Resolver $sen (2 x) = 3 sen (x)$

Solución.

$\begin{matrix} sen (2 x) = 3 sen (x) & ⟹ & 2 sen (x) \cdot cos x = 3 sen x \\ ⟹ & 2 sen (x) \cdot cos (x) - 3 sen (x) = 0 \\ ⟹ & sen (x) (2 cos (x) - 3) = 0 \\ ⟹ & a) sen (x) = 0 ó b) 2 cos x - 3 = 0 \end{matrix}$

a.) Sí $sen (x) = 0$ , entonces $x = nπ, n \in ℤ;$ o sea

$S_{1} = {x \in ℝ ∕ x = nπ, n \in ℤ}$

b.) Sí $2 cos (x) - 3 = 0$ entonces

$2 cos (x) = 3 ⟹ cos (x) = \frac{3}{2},$ por lo que $S_{2} = \emptyset$ (¿Por qué?)

Así $S = S_{1} ó S = {x \in ℝ ∕ x = nπ, n \in ℤ}$

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Ejemplo 191.

Resolver $cos (2 x) + sen (2 x) + 1 = 0$ en el intervalo $] - π, π [$

Solución.

\begin{array}{rcl} {cos}^{2} x - {sen}^{2} x + sen (2 x) + 1 & = & 0 \\ {cos}^{2} x - (1 - {cos}^{2} x) + sen (2 x) + 1 & = & 0 \\ 2 {cos}^{2} x + sen (2 x) & = & 0 \\ 2 {cos}^{2} x + 2 sen (x) cos x & = & 0 \\ 2 cos x (cos x + sen x) & = & 0 \end{array}

⟹ {\begin{matrix} 2 cos x & = & 0 ⟹ x = (2 k + 1) π ∕ 2, k \in ℤ \\ cos x + sen x & = 0 & ⟹ cos x = - sen x ⟹ tan x = - 1 ⟹ x = - π ∕ 4 + kπ, k \in ℤ \end{matrix}

De la familia $x = (2 k + 1) π ∕ 2, k \in ℤ$ tenemos $- π ∕ 2, π ∕ 2 \in] - π, π [.$

De la familia $x = - π ∕ 4 + kπ, k \in ℤ,$ tenemos $- π ∕ 4, 3 π ∕ 4 \in] - π, π [.$

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Ejemplo 192.

Resolver $cos (2 x) + cos (4 x) - 2 = 0 .$

Solución.

\begin{array}{rcl} cos (2 x) + cos (4 x) - 2 & = & 0 \\ cos (2 x) + {cos}^{2} (2 x) - {sen}^{2} (2 x) - 2 & = & 0 \\ cos (2 x) + {cos}^{2} (2 x) - (1 - {cos}^{2} (2 x)) - 2 & = & 0 \\ 2 {cos}^{2} (2 x) + cos (2 x) - 3 & = & 0 \end{array}

Ponemos $u = cos (2 x)$ y nos queda: $2 u^{2} + u - 3 = 0 ⟹ u = 1 \land u = - 3 ∕ 2 .$

$cos (2 x) = - 3 ∕ 2$ no tiene solución pues $- 1 \leq cos (𝜃) \leq 1 .$

$cos (2 x) = 1 ⟹ 2 x = 2 kπ ⟹ x = kπ, k \in ℤ .$

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