Funcion Generadora de Momentos

15. Función Generadora de Momentos

Si $X$ es una variable aleatoria se llama función generadora de momentos a la esperanza de $e^{tX}$ y se denota por $m_{X} (t)$

\begin{array}{rcl} m_{X} (t) = E (e^{tX}) . & (1.25) \end{array}

Las siguientes líneas ayudarán a entender el porqué de este nombre. Supongamos que $X$ es una variable aleatoria que toma valores $0, 1, 2, \dots,$ entonces

\begin{array}{rcl} m_{X} (t) & = & E (e^{tX}) \\ = & ∑_{i = 0}^{\infty} e^{t x_{i}} f_{X} (x_{i}) \\ = & ∑_{i = 0}^{\infty} {∑_{k = 0}^{\infty} {(t x_{i})}^{k} / k!} f_{X} (x_{i}) \\ = & ∑_{i = 0}^{\infty} {∑_{k = 0}^{\infty} t^{k} x_{i}^{k} / k!} f_{X} (x_{i}) \\ = & ∑_{k = 0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!} {∑_{i = 0}^{\infty} x^{i} f_{X} (x_{i})} \\ = & ∑_{k = 0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!} E (X^{k}) . \end{array}

Esta deducción utiliza una propiedad importante de las sumatorias que en general no es válida y es el intercambio de las sumatorias que se hace. Si el lector es paciente puede expandir cada una de las sumas y verificar que es posible el reordenamiento practicado.

Como notará esta última serie tiene como parte de sus coeficientes los momentos de orden $k$ , de hecho es bastante sencillo demostrar el siguiente lema

Lema 2. Si

X

es una variable aleatoria con función generadora de momentos

m_{X} (t)

se tiene que

m_{X}^{(n)} (0) = E (X^{n}) .

(1.26)

Es decir si tenemos la función generadora de momentos basta con derivarla $n$ veces y evaluar en $0$ para obtener el momento de orden $n$ .

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