Ejercicios

Ejercicio 16.1. Si

f (x) = {\begin{matrix} \frac{k}{x^{3}} & si 4 < x \\ 0 & en otro caso \end{matrix}

1.: $k = 32$ , $E (X) = 8$
2.: $F (x) = {\begin{matrix} 0 & x \leq 4 \\ 1 - \frac{16}{x^{2}} & x > 4 \end{matrix}$

Ejercicio 16.2. Si

f_{X} (x) = {\begin{matrix} x e^{- x} & si x > 0 \\ 0 & otro caso \end{matrix}

1.: Use la definición para demostrar que la función generadora de momentos para $X$ es $M_{X} (t) = \frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$
2.: Use $M_{X} (t)$ para obtener la varianza de $X$ .

Ejercicio 16.3. Una variable

X

es tal que distribuye de acuerdo a:

f_{X} (x) = {\begin{matrix} \frac{2 x}{15} & si 1 < x < 4 \\ 0 & en otro caso. \end{matrix}

1.: $M_{X} (t) = \frac{2}{15} \int_{1}^{4} x e^{tx} dx = \frac{2}{15} [\frac{e^{4 t} (4 t - 1) - e^{t} (t - 1)}{t^{2}}]$
2.: $μ_{X} = E (X) = \frac{2}{15} \int_{1}^{4} x^{2} dx = \frac{14}{5}$

Ejercicio 16.4. Suponga que una variable aleatoria

X

se distribuye de acuerdo a la distribución de probabilidad siguiente:

$f_{X} (x) = {\begin{matrix} \frac{k}{x^{3}} & si 4 < x \\ 0 & en otro caso. \end{matrix}$

1.: Determine el valor de $k$ .
2.: Determine la distribución de probabilidad acumulada para $X$ , $F_{X} (x)$ .

1.: $k = 32$
2.: $F_{X} (x) = {\begin{matrix} 0 & x \leq 4 \\ 1 - \frac{16}{x^{2}} & x > 4 \end{matrix}$