Las distribuciones Gamma

22. Las distribuciones Gamma

Muchas veces, aún cuando una variable aleatoria no siga una distribución normal es posible que su comportamiento pueda ser modelado con distribuciones que siguen comportamientos similares a una normal pero sesgados.

Antes de poder estudiar este tipo de distribuciones se hace necesario definir una función sumamente importante en el estudio de diversos problemas en matemática.

Definición 24 (Distribución Gamma).

Se define la función $Γ (α)$ por:

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α - 1} e^{- x} dx.

Por ejemplo:

Γ (1) = \int_{0}^{\infty} e^{- x} dx = lim_{M \to \infty} - e^{- x} |_{0}^{M} = 1 .

Otra propiedad importante se obtiene de aplicar a $Γ (α + 1)$ las partes $dv = x^{α} dx$ y $u = e^{- x}$ , para obtener:

Γ (α + 1) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} dx = lim_{M \to \infty} - α x^{α - 1} e^{- x} |_{0}^{M} + \int_{0}^{\infty} α x^{α - 1} e^{- x} dx

Con un poco de paciencia, regla de L’Hopital y algunos acotamientos se puede demostrar que el primer límite en la última expresión es 0 mientras que la segunda integral es $αΓ (α) .$

Con esto la función gamma cumple con la propiedad $Γ (α + 1) = (α) Γ (α)$ y de allı´ si $n$ es entero $Γ (n) = (n - 1)!$

También, usando algunos argumentos de cálculo en varias variables se puede calcular que $Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π} .$

Aparte de un reducido número de argumentos el cálculo de valores de la función gamma debe hacerse utilizando métodos numéricos [3, 1]. Para hacer estos cálculos se provee una herramienta, que ha sido programada acorde con [9].

Definición 25.

Si $X$ es una variable aleatoria continua entonces diremos que $X$ sigue una distribución Gamma con parámetros $α$ y $β$ ambos mayores que cero si

f (x; α, β) = {\begin{matrix} \frac{1}{β^{α} Γ (α)} x^{α - 1} e^{- x / β} : & Para x \geq 0 \\ 0 : & En cualquier otro caso \end{matrix} .

El parámetro $α$ puede verse como un parámetro de forma pues su modificación altera la forma de la distribución mientras que $β$ funciona como un parámetro de escala.

Invitamos al lector que revise la versión electrónica de estas notas a utilizar el graficador para distribuciones gamma y verificar algunas de las formas variando los parámetros.

Puedes interactuar aquí o abrirla en ventana aparte

Si en una distribución gamma $β = 1$ se dice que es una distribución gamma estándar.

Para una variable aleatoria continua, $X$ , con distribución de probabilidad gamma de parámetros $α$ y $β$ , aplicando un cambio de variable $u = y / β$ se tiene que la función de distribución de probabilidad para $X$ cumple:

\begin{array}{rcl} P ([X \leq x]) & = & \int_{0}^{x} \frac{y^{α - 1} e^{- y / β}}{Γ (α) β^{α}} dy & (1.31) \\ = & \int_{0}^{x / β} \frac{u^{α - 1} e^{- u}}{Γ (α)} du \\ = & F (x / β; α) \\ (1.32) \end{array}

Esta última función se conoce como la función gamma incompleta, y sus valores suelen aparecer tabulados en libros de estadística [5].

Teorema 16 (Gamma).

Si $X$ es una variable aleatoria Gamma con parámetros $α, β,$ se cumple que:

$E [X] = αβ$
$Var [X] = α β^{2}$

Ejemplo 24.

Suponga que el tiempo de reacción para iniciar el frenado ante una emergencia, en la población de cierta edad sigue una distribución Gamma con media de .5 segundo y varianza de .1 segundo cuadrado.

Solución

Dado que la esperanza es .5 y la varianza .1 se obtiene que $α = 5 / 2$ y $β = 1 / 5$

En ese caso, si quisiéramos calcular la probabilidad de que la respuesta de frenado en una situación de emergencia sea inferior a .72 segundos usando la expresión (1.32) se tiene que

P [X \leq 7.2] = F (. 72 / . 2, 2.5) = F (36, 2.5)

Ejemplo 25.

Suponga que el tiempo utilizado por una persona preparando un tipo particular de informe sigue una distribución gamma con media de 20 minutos y varianza 80 minutos cuadrados.

Solución

Aplicando el teorema (16) se obtiene que $α = 5$ y $β = 4$

Para determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar tarde menos de 24 minutos preparando el informe debe resolverse

P [X \leq 24] = F (24 / 4, 5) = F (6, 5) = . 715

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