Ejercicios

24. Ejercicios

Ejercicio 24.1. Supóngase que el tiempo en horas que toma reparar una bomba es una variable aleatoria

X

, que tiene una distribución Gamma con parámetros

α = 2

β = 1 / 2

. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente servicio:

1.: tome cuando mucho 1 hora reparar la bomba?
2.: al menos se requieran 2 horas para reparar la bomba?

X \sim Gamma (α = 2, β = 1 / 2)

f (x) = \frac{x^{α - 1} e^{- x / β}}{β^{α} Γ (α)} = \frac{x e^{- 2 x}}{{(1 / 2)}^{2} \cdot 1} = 4 x e^{- 2 x}

x > 0

1.

P (X \leq 1) = \int_{0}^{1} 4 x e^{- 2 x} dx

Integrando por partes ( $u = 4 x$ , $dv = e^{- 2 x} dx$ ):

$= {[- 2 x e^{- 2 x}]}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{- 2 x} dx = - 2 e^{- 2} + {[- e^{- 2 x}]}_{0}^{1} = - 2 e^{- 2} - e^{- 2} + 1 = 1 - 3 e^{- 2} \approx 0.5940$ .

2.

P (X \geq 2) = 1 - P (X \leq 2)

Análogamente: $\int_{0}^{2} 4 x e^{- 2 x} dx = 1 - 5 e^{- 4} \approx 0.9084$ .

$P (X \geq 2) = 5 e^{- 4} \approx 0.0916$ .

Ejercicio 24.2. El tiempo de reacción, en meses, a una vacuna contra la tensión producida por el síndrome final de curso, sigue una distribución Gamma con parámetros

α = 4

β = 1 / 2 .

Si se aplica la vacuna a un estudiante al principio de un curso de 4 meses, ¿cuál es la probabilidad de que el efecto empiece antes de que el curso finalice? Plantee la integral que permite resolverlo y use la gamma incompleta para aproximar el valor.

X \sim Gamma (α = 4, β = 1 / 2)

f (x) = \frac{8}{3} x^{3} e^{- 2 x}

x > 0

Integral:

P (X \leq 4) = \frac{8}{3} \int_{0}^{4} x^{3} e^{- 2 x} dx.

Usando la relación con la Poisson acumulada: con $λ = t / β = 4 / (1 / 2) = 8$ ,

$P (X \leq 4) = 1 - \sum_{k = 0}^{3} \frac{e^{- 8} \cdot 8^{k}}{k!} = 1 - e^{- 8} (1 + 8 + 32 + \frac{256}{6}) = 1 - e^{- 8} \cdot \frac{341}{3} \approx 0.9576$ .

Ejercicio 24.3. La máquina que corta las varillas de construcción en una industria las corta con un largo que sigue una distribución normal con media 6 metros y con desviación estándar 3 centímetros. Determine:

1.: El largo después del cual quedan el 20% de las varillas más largas.
2.: El rango alrededor de la media donde se concentra el 98% de las varillas.

X \sim N (μ = 600 cm, σ = 3 cm)

1.

Se busca

c

tal que

P (X > c) = 0.20

, es decir

P (X \leq c) = 0.80

$\frac{c - 600}{3} = z_{0.80} = 0.8416$ , luego $c = 600 + 3 (0.8416) = 602.52$ cm $\approx 6.025$ metros.

2.

Se busca

d

tal que

P (600 - d \leq X \leq 600 + d) = 0.98

, es decir

P (X \leq 600 + d) = 0.99

$\frac{d}{3} = z_{0.99} = 2.3263$ , luego $d = 3 (2.3263) = 6.98$ cm.

El rango es $[593.02, 606.98]$ cm, o sea aproximadamente $[5.930, 6.070]$ metros.

Ejercicio 24.4. Verifique que la distribución exponencial tiene como función generadora de momentos a:

m_{X} (t) = \frac{λ}{λ - t}

y use la función generadora de momentos para calcular la varianza de la exponencial.

Sea

X \sim Exp (λ)

con

f (x) = λ e^{- λx}

x \geq 0

$m_{X} (t) = E [e^{tX}] = \int_{0}^{\infty} e^{tx} λ e^{- λx} dx = λ \int_{0}^{\infty} e^{- (λ - t) x} dx = \frac{λ}{λ - t}$ , $t < λ$ . $✓$

Para la varianza: $Var (X) = m_{X}^{″} (0) - {[m_{X}^{'} (0)]}^{2}$ .

$m_{X}^{'} (t) = \frac{λ}{{(λ - t)}^{2}}$ , $m_{X}^{'} (0) = \frac{1}{λ}$ .

$m_{X}^{″} (t) = \frac{2 λ}{{(λ - t)}^{3}}$ , $m_{X}^{″} (0) = \frac{2}{λ^{2}}$ .

$Var (X) = \frac{2}{λ^{2}} - \frac{1}{λ^{2}} = \frac{1}{λ^{2}}$ .

Ejercicio 24.5. El tiempo que tarda una persona en reaccionar a un estímulo sigue una distribución Gamma con media 2 minutos y varianza 2 minutos cuadrados.

1.: Plantee la integral que permite calcular la probabilidad de que una persona al azar reaccione en menos de 3 minutos.
2.: Determine, usando la Gamma incompleta, la probabilidad de que una persona al azar reaccione en menos de 3 minutos.

μ = αβ = 2

σ^{2} = α β^{2} = 2

. Dividiendo:

β = σ^{2} / μ = 1

α = μ / β = 2

$X \sim Gamma (2, 1)$ , $f (x) = x e^{- x}$ , $x > 0$ .

1.

P (X < 3) = \int_{0}^{3} x e^{- x} dx

2.

Integrando por partes:

\int_{0}^{3} x e^{- x} dx = 1 - 4 e^{- 3}

$P (X < 3) = 1 - 4 e^{- 3} \approx 0.8009$ .

Alternativamente, por la relación con la Poisson ( $λ = 3 / 1 = 3$ ): $P (X \leq 3) = 1 - \sum_{k = 0}^{1} \frac{e^{- 3} \cdot 3^{k}}{k!} = 1 - e^{- 3} (1 + 3) = 1 - 4 e^{- 3}$ . $✓$

Ejercicio 24.6. Se sabe que la distribución de notas en un curso sigue una distribución normal. El 10% de los exámenes tienen una nota por encima de los 80 puntos, y el 5% tiene una nota por debajo de los 40 puntos. ¿Cuáles son el valor de la media y de la desviación estándar para esta distribución?

P (X > 80) = 0.10

\frac{80 - μ}{σ} = z_{0.90} = 1.2816

. (i)

$P (X < 40) = 0.05$ : $\frac{40 - μ}{σ} = z_{0.05} = - 1.6449$ . (ii)

De (i): $80 - μ = 1.2816 σ$ . De (ii): $40 - μ = - 1.6449 σ$ .

Restando (i) $-$ (ii): $40 = (1.2816 + 1.6449) σ = 2.9265 σ$ .

$σ = 40 / 2.9265 \approx 13.67$ .

$μ = 80 - 1.2816 (13.67) \approx 62.48$ .

La media es $μ \approx 62.5$ y la desviación estándar $σ \approx 13.7$ .

Ejercicio 24.7. Suponga que el tiempo

T

que tarda una persona en resolver un examen sigue una distribución normal con media 50 minutos y desviación estándar de 12 minutos. Se quiere establecer un rango de tiempo centrado en la media en el cual se contesten el 90% de los tests. ¿Cuál es ese rango?

T \sim N (50, 12)

. Se busca

d

tal que

P (50 - d \leq T \leq 50 + d) = 0.90

Por simetría: $P (T \leq 50 + d) = 0.95$ , luego $\frac{d}{12} = z_{0.95} = 1.6449$ .

$d = 12 (1.6449) = 19.74$ minutos.

El rango es $[30.26, 69.74]$ minutos.

Ejercicio 24.8. La distribución de peso de cierto tipo de paquete sigue una distribución normal con media 10 libras y desviación estándar de 2 libras. Se desea establecer un valor de peso

c

, más allá del cual habrá cargo extra. ¿Cuál es el valor de

c

para que el 99% de los paquetes no deban pagar cargo extra?

X \sim N (10, 2)

. Se busca

c

tal que

P (X \leq c) = 0.99

$\frac{c - 10}{2} = z_{0.99} = 2.3263$ , luego $c = 10 + 2 (2.3263) = 14.65$ libras.

Ejercicio 24.9. Sea

X

una variable aleatoria cuya función de densidad se da por la fórmula:

f (x) = {\begin{matrix} β \cdot x & si 0 < x < 4 \\ \frac{4}{3} \cdot x^{- 2} & si x > 4 \end{matrix}

1.: Determine el valor de $β$ para que $f (x)$ sea una función de distribución de probabilidad.
2.: Determine la distribución acumulada de $X$ .
3.: Calcule $P (3 \leq X \leq 7)$ .

1.

\int_{0}^{\infty} f (x) dx = 1

\int_{0}^{4} βx dx + \int_{4}^{\infty} \frac{4}{3 x^{2}} dx = 8 β + \frac{1}{3} = 1

, luego

β = \frac{1}{12}

2.

Para

0 < x \leq 4

F (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{12} dt = \frac{x^{2}}{24}

Para $x > 4$ : $F (x) = \frac{16}{24} + \int_{4}^{x} \frac{4}{3 t^{2}} dt = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} (\frac{1}{4} - \frac{1}{x}) = 1 - \frac{4}{3 x}$ .

$F (x) = {\begin{matrix} 0 & x \leq 0 \\ x^{2} / 24 & 0 < x \leq 4 \\ 1 - 4 / (3 x) & x > 4 \end{matrix}$

3.

P (3 \leq X \leq 7) = F (7) - F (3) = (1 - \frac{4}{21}) - \frac{9}{24} = \frac{17}{21} - \frac{3}{8} = \frac{136 - 63}{168} = \frac{73}{168} \approx 0.4345

Ejercicio 24.10. El tiempo de reacción en segundos a cierto estímulo es una variable aleatoria continua con distribución

f (x) = {\begin{matrix} \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} & 1 \leq x \leq 3 \\ 0 & en otro caso. \end{matrix}

1.: Obtenga la probabilidad de que el tiempo de reacción sea inferior a 2,5 segundos.
2.: Obtenga la probabilidad de que el tiempo de reacción esté entre 1,5 y 2,5 segundos.
3.: ¿Cuál es el tiempo esperado de reacción?

Verificación:

\int_{1}^{3} \frac{3}{2 x^{2}} dx = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{3}) = 1

✓

1.: $P (X < 2.5) = \frac{3}{2} {[- \frac{1}{x}]}_{1}^{2.5} = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{2.5}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{10} = 0.9$ .
2.: $P (1.5 \leq X \leq 2.5) = \frac{3}{2} (\frac{1}{1.5} - \frac{1}{2.5}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{2}{5} = 0.4$ .
3.: $E [X] = \int_{1}^{3} \frac{3}{2 x} dx = \frac{3}{2} ln (3) \approx 1.648$ segundos.

Ejercicio 24.11. Suponga que

f (x)

es una función definida por:

f_{X} (x) = {\begin{matrix} - 6 x^{2} + 6 x & si & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & si no \end{matrix}

1.: Justifique porqué $f_{X}$ es distribución de probabilidad.
2.: Determine $P [X \geq 3 / 4]$ .

1.: $f_{X} (x) = 6 x (1 - x) \geq 0$ para $0 \leq x \leq 1$ . $✓$
$\int_{0}^{1} (- 6 x^{2} + 6 x) dx = {[- 2 x^{3} + 3 x^{2}]}_{0}^{1} = - 2 + 3 = 1$ . $✓$
2.: $P (X \geq 3 / 4) = {[- 2 x^{3} + 3 x^{2}]}_{3 / 4}^{1} = 1 - (- \frac{27}{32} + \frac{27}{16}) = 1 - \frac{27}{32} = \frac{5}{32} \approx 0.1563$ .

Ejercicio 24.12. La estatura de una población se distribuye normal con parámetros

μ

σ

desconocidos. Se sabe que 2/3 de la población tienen estatura superior a 1.75 metros mientras que solo el 10% de la población tiene una estatura por debajo de 1.60 metros. Determine la media y la varianza de la distribución.

P (X \leq 1.75) = 1 / 3

\frac{1.75 - μ}{σ} = Φ^{- 1} (1 / 3) = - 0.4307

. (i)

$P (X < 1.60) = 0.10$ : $\frac{1.60 - μ}{σ} = - 1.2816$ . (ii)

Restando (i) $-$ (ii): $0.15 = (- 0.4307 + 1.2816) σ = 0.8509 σ$ .

$σ = 0.15 / 0.8509 \approx 0.1763$ m.

$μ = 1.75 + 0.4307 (0.1763) \approx 1.826$ m.

$σ^{2} \approx 0.0311$ m $^{2}$ .

Ejercicio 24.13. Una variable

X

se distribuye normalmente con parámetros

μ = 100

σ = 20

. Se desea determinar un valor

c

tal que el 20% de los datos queden concentrados en el rango

[100 - c, 100 + c]

P (100 - c \leq X \leq 100 + c) = 0.20

. Por simetría:

P (X \leq 100 + c) = 0.60

$\frac{c}{20} = z_{0.60} = 0.2533$ , luego $c = 20 (0.2533) = 5.07$ .

El rango es aproximadamente $[94.9, 105.1]$ .

Ejercicio 24.14. Una variable

X

distribuye siguiendo una distribución Gamma con parámetros

α = 2

β = 1 / 2

1.: Plantee la integral que permite calcular $P [X \geq 7 / 4]$ .
2.: Utilice la Gamma Incompleta para aproximar ese valor.

X \sim Gamma (2, 1 / 2)

f (x) = 4 x e^{- 2 x}

x > 0

1.

P (X \geq 7 / 4) = \int_{7 / 4}^{\infty} 4 x e^{- 2 x} dx

2.

Usando la relación con la Poisson: con

λ = t / β = (7 / 4) / (1 / 2) = 7 / 2

$P (X \leq 7 / 4) = 1 - \sum_{k = 0}^{1} \frac{e^{- 7 / 2} {(7 / 2)}^{k}}{k!} = 1 - e^{- 7 / 2} (1 + \frac{7}{2}) = 1 - \frac{9}{2} e^{- 7 / 2}$ .

$P (X \geq 7 / 4) = \frac{9}{2} e^{- 7 / 2} \approx 0.1359$ .

Ejercicio 24.15. Si una variable sigue una distribución normal de parámetros

μ

σ

entonces

P [X \leq ω] = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ^{n}} \int_{- \infty}^{ω} e^{- {(x - μ)}^{n} / 2 σ^{n}} dx

Demuestre que el cambio de variable $z = \frac{x - μ}{σ}$ permite obtener la fórmula de normalización

P [X \leq ω] = Φ (\frac{ω - μ}{σ})

(Nota: los exponentes

n

del enunciado deben leerse como

2

Sea $z = \frac{x - μ}{σ}$ , luego $dx = σ dz$ . Los límites cambian: $x \to - \infty \Rightarrow z \to - \infty$ ; $x = ω \Rightarrow z = \frac{ω - μ}{σ}$ .

$P (X \leq ω) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \int_{- \infty}^{(ω - μ) / σ} e^{- {(σz)}^{2} / (2 σ^{2})} σ dz = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{(ω - μ) / σ} e^{- z^{2} / 2} dz = Φ (\frac{ω - μ}{σ})$ . □

Ejercicio 24.16. Verifique la identidad

Φ (ω) + Φ (- ω) = 1

Φ (- ω) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{- ω} e^{- t^{2} / 2} dt

Con el cambio $u = - t$ , $du = - dt$ :

$Φ (- ω) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{ω}^{\infty} e^{- u^{2} / 2} du$ .

Sumando: $Φ (ω) + Φ (- ω) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} (\int_{- \infty}^{ω} + \int_{ω}^{\infty}) e^{- t^{2} / 2} dt = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- t^{2} / 2} dt = 1$ . □

Ejercicio 24.17. El tiempo que tarda un tipo de rutina al ejecutarse sigue una distribución normal con media 30 segundos y desviación estándar 5 segundos. Resuelva los siguientes problemas:

1.: Determine la probabilidad de que una rutina al azar tarde menos de 34 segundos en ejecutarse.
2.: Determine la probabilidad de que una rutina al azar tarde entre 26 y 34 segundos en ejecutarse. ¿Es este valor el doble del anterior?, ¿existe alguna justificación para ello?
3.: Determine el tiempo a partir del cual quedan el 20% de los tiempos.

X \sim N (30, 5)

1.: $P (X < 34) = Φ (\frac{34 - 30}{5}) = Φ (0.8) = 0.7881$ .
2.: $P (26 < X < 34) = Φ (0.8) - Φ (- 0.8) = 2 (0.7881) - 1 = 0.5762$ .
No es el doble de $P (X < 34) = 0.7881$ . La razón es que $P (X < 34)$ incluye toda la cola izquierda desde $- \infty$ , mientras que $P (26 < X < 34)$ es simétrica alrededor de $μ = 30$ (pues $26 = 30 - 4$ y $34 = 30 + 4$ ). Sin embargo, sí se cumple que $P (26 < X < 34) = 2 [Φ (0.8) - 0.5] = 2 P (30 < X < 34)$ .
3.: $P (X > c) = 0.20 \Rightarrow P (X \leq c) = 0.80$ .
$c = 30 + 5 z_{0.80} = 30 + 5 (0.8416) = 34.21$ segundos.

Ejercicio 24.18. El tiempo que tarda una persona en reaccionar ante cierto estímulo sigue una distribución gamma con parámetros

α = 5

β = 2

. Determine la probabilidad de que una persona al azar tenga un tiempo de reacción superior a 12 segundos.

X \sim Gamma (5, 2)

Usando la relación con la Poisson: con $λ = t / β = 12 / 2 = 6$ ,

$P (X \leq 12) = 1 - \sum_{k = 0}^{4} \frac{e^{- 6} \cdot 6^{k}}{k!} = 1 - e^{- 6} (1 + 6 + 18 + 36 + 54) = 1 - 115 e^{- 6}$ .

$P (X > 12) = 115 e^{- 6} \approx 0.2851$ .

Ejercicio 24.19. El tiempo que tarda un bibliotecario para localizar una ficha de un archivo de registros sobre libros prestados tiene una distribución exponencial con tiempo esperado 20 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que tarde entre 20 y 30 segundos localizando una ficha específica?

X \sim Exp (λ = 1 / 20)

$P (20 \leq X \leq 30) = (1 - e^{- 30 / 20}) - (1 - e^{- 20 / 20}) = e^{- 1} - e^{- 3 / 2} \approx 0.3679 - 0.2231 = 0.1448$ .

Ejercicio 24.20. Calcule la función generadora para una distribución exponencial de parámetro

λ

X \sim Exp (λ)

f (x) = λ e^{- λx}

x \geq 0

$m_{X} (t) = \int_{0}^{\infty} e^{tx} λ e^{- λx} dx = λ \int_{0}^{\infty} e^{- (λ - t) x} dx = \frac{λ}{λ - t}$ , $t < λ$ .

Ejercicio 24.21. Determine la función generadora de momentos para una distribución continua uniforme en el intervalo

[a, b]

X \sim U (a, b)

f (x) = \frac{1}{b - a}

a \leq x \leq b

Para $t \neq 0$ : $m_{X} (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} e^{tx} dx = \frac{1}{b - a} \cdot \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t} = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t (b - a)}$ .

Para $t = 0$ : $m_{X} (0) = 1$ .

Verificación: $E [X] = m_{X}^{'} (0)$ . Usando L’Hôpital en $t \to 0$ : $lim_{t \to 0} \frac{b e^{tb} - a e^{ta}}{(b - a) + t {(b - a)}^{'}} = \frac{b - a}{b - a} = \frac{a + b}{2}$ . $✓$

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