Aproximacion Normal de Binomial

28. Aproximación Normal de Binomial

El teorema del límite central tiene una implicación adicional que también resulta sorprendente. Si $S_{n}$ sigue una distribución binomial de parámetros $n$ y $p$ entonces si $x$ y $y$ son enteros no negativos tales que $x < y,$ según el teorema del límite central se tiene que si $n$ es suficientemente grande se cumple que:

P [x \leq S_{n} \leq y] \to Φ (\frac{y - np}{\sqrt{np (1 - p)}}) - Φ (\frac{x - np}{\sqrt{np (1 - p)}}) .

(1.40)

Este resultado se conoce como la aproximación normal de la binomial y dado que es aproximación continua de una distribución discreta deben tenerse algunos cuidados adicionales.

La mejor manera de utilizar este resultado puede obtenerse en la expresión:

\begin{array}{rcl} ∑_{i = x}^{y} (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} = Φ (\frac{y - np + \frac{1}{2}}{\sqrt{np (1 - p)}}) - Φ (\frac{x - np - \frac{1}{2}}{\sqrt{np (1 - p)}}) . & (1.41) \\ (1.42) \end{array}

El valor $1 / 2$ que se agrega a cada lado se llama un factor de corrección de continuidad. La razón para agregar tal factor de corrección es que si uno usa una distribución normal, que es continua, para aproximar una binomial que es discreta, en cada extremo del intervalo la distribución discreta incluye la mitad de una barra que la distribución continua omite, por eso debe agregarse.

El siguiente script pueden ayudarle a comprender la necesidad de este factor de corrección. Existen varios criterios para asegurar la precisión de este tipo de aproximaciones. Los ejemplos abundan, por ejemplo en [5] se afirma que si $np \geq 5$ y $n (1 - p) \geq 5$ la aproximación es adecuada, en [2] se presenta un resumen de diferentes condiciones para asegurar precisión, al final de cuentas lo que si es válido es que valores de $p$ muy cercanos a 0 o 1 hacen que las aproximaciones normales de binomiales no sean buenas.

En la herramienta que se da a continuación el lector puede colocar valores de $n$ y $p$ y verificar por si mismo la calidad de la aproximación normal de la binomial.

Puedes interactuar aquí o abrirla en ventana aparte

Ejemplo 30.

Se sabe que en una ciudad el 35% de los habitantes tienen sobrepeso. Se eligen 500 personas, cuál es la probabilidad de que haya entre y 200 y 300 con sobrepeso. La solución de este problema se obtiene por la expresión

∑_{i = 200}^{300} (\binom{500}{k}) {(0.35)}^{k} {(0.65)}^{500 - k}

\approx Φ (\frac{300 - 175 + \frac{1}{2}}{\sqrt{500 (. 35) (. 65)}}) - Φ (\frac{200 - 175 - \frac{1}{2}}{\sqrt{500 (. 35) (. 65)}}) .

Usando la herramienta para cálculo de binomiales se obtiene que la parte derecha es $0.008864$ mientras que la parte derecha, usando la herramienta correspondiente es $0.0108$ .

Ejemplo 31.

Dos empresas de venta de servicios telefónicos optan por el mismo mercado, hay $n$ clientes que seleccionan al azar alguna de las dos empresas. Si una de las empresas tiene capacidad de atender a lo sumo $r < n$ clientes entonces la probabilidad de que esta empresa reciba solicitudes de mas de $r$ clientes está dada por

∑_{k = r + 1}^{n} (\binom{n}{k}) {(. 5)}^{k} {(. 5)}^{n - k} \approx 1 - Φ (\frac{r + 1 - \frac{n}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{n / 4}}) = 1 - Φ (\frac{2 r + 1 - n}{\sqrt{n}})

Por ejemplo si hay 1000 clientes y una de las empresas desea que el total de solicitudes sin atender no exceda el 10% entonces usando las herramientas disponibles se obtiene que

Φ (\frac{2 r + 1 - 1000}{\sqrt{1000}}) \geq 0.9,

de donde se obtiene que $r = 520,$ líneas bastarán para satisfacer al menos el 90% de las demandas de servicio.

Si ese porcentaje se elevara y se quisiera que el porcentaje de solicitudes sin atender no exceda el 1% entonces se debe resolver

Φ (\frac{2 r + 1 - 1000}{\sqrt{1000}}) \geq 0.99,

usando las herramientas disponibles y despejando se obtiene que $r = 537$ líneas son suficientes. Esta aproximación no solo es buena, es excelente como puede verificarse usando las herramientas para binomiales que se han programado.

Para estas herramientas se ha obtenido una precisión sorprendente, si hiciéramos el mismo análisis pero con una probabilidad de $0.7$ de que cada cliente elija a esta empresa; usando la aproximación normal se obtendría que se necesitan 734 líneas si se usa la binomial en forma directa se ve que 733 bastan. Se invita al lector a ver el comportamiento para otros valores de $p$ .

Como nota aparte es interesante hacer notar que el desempeño de estas herramientas programadas mejoran los resultados que se obtienen en tablas como las de [6] además permiten una serie de exploraciones que de otra manera serían muy complicadas.

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