Conceptos Preliminares

3. Conceptos Preliminares

Dado que los lectores podrían no recordar algunos conceptos básicos se tratará de que esta sección constituya un punto de referencia que le permita refrescar los conocimientos indispensables para el desarrollo del resto del material. Esto no elimina la necesidad de que en el transcurso del estudio de estas notas debamos abordar aspectos periféricos importantes.

3.1 Teoría básica de conjuntos

El estudio formal de la teoría de conjuntos no es el interés en estas notas, los resultados que se presentan son básicos y en la mayoría de los casos su demostración o justificación se dejará al lector. Si los temas le parecen conocidos pero no los recuerda bien, se recomienda al menos una lectura rápida.

El estudio de la probabilidad está estrechamente ligado con el estudio particular de algunos conceptos sobre conjuntos que se discutirán en esta corta sección.

En teoría de conjuntos los términos elemento, conjunto y pertenencia no se definen, se asume que de una u otra manera el lector tiene una idea al respecto. De hecho, cualquier intento por definir alguno de estos conceptos nos llevaría a definiciones circulares, es decir definiciones que reducen el concepto a un término que no es más que un sinónimo del mismo.

Es usual que los conjuntos se representen por letras mayúsculas $A, B, C, \dots$ y los elementos por letras minúsculas, $a, b, c…$ . Se usa la notación $x \in A$ para indicar que el elemento $x$ pertenece al conjunto $A$ , es decir $x$ es uno de los elementos de $A$ .

Si bien no existe un conjunto universal [7], usaremos el concepto de conjunto universal o universo restringiéndolo a dominios específicos. Por ejemplo, si hablamos de conjuntos de números enteros entonces el conjunto universo es el conjunto de los enteros. Esta simple aclaración nos facilitará la discusión de algunos de las conceptos que abordaremos posteriormente.

Iniciaremos recordando el Principio de comprensión, sumamente importante en el estudio de conjuntos.

Si tenemos un conjunto universo, podemos pensar que cada uno de los elementos de este conjunto debe cumplir o satisfacer alguna condición para estar en ese conjunto y es usual que a los elementos que cumplan con esta condición que los caracteriza les digamos que son de cierto tipo. Por ejemplo si se tiran dos dados $D_{1}, D_{2}$ de distinto color, se anotan las caras que caen en cada uno de ellos, el conjunto de posibles resultados está formado por 36 pares ordenados, ese conjunto, el universo para el experimento de tirar dos dados y registrar las caras que caen, tiene un tipo especial digamos tipo resultado.

D₂

D₁

(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

Por ejemplo si los dados fueran indistinguibles las configuraciones para los posibles resultados serían solamente:


{1,1}	{1,2}	{1,3}	{1,4}	{1,5}	{1,6}

{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}

{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}

{4,4}	{4,5}	{4,6}

{5,5}	{5,6}

{6,6}

R

es cualquier predicado y

t

es un tipo que caracteriza un universo

Ω

hay un conjunto

{x : t | Rx} .

Este principio nos permite garantizar que para todo tipo de elemento y para todo predicado siempre hay un subconjunto que cumple el predicado, este conjunto puede ser vacío.

Por ejemplo si se lanzan dos dados

Otro principio importante es el Principio de extensión que permite establecer la igualdad entre conjuntos.

A = B ⟺ (\forall x : t x \in A ⟺ x \in B) .

3.2 Algunas definiciones y propiedades

Definición 1.

Decimos que un conjunto $A$ es subconjunto del conjunto B si

\forall x \in A ⟹ x \in B.

Denotamos esta condición por

A \subset B

Note que acorde con esta definición se cumple que un conjunto sin elementos, $\emptyset$ es subconjunto de todo conjunto.

Definición 2.

Si $A$ y $B$ son conjuntos se define el conjunto unión de $A$ con $B$ por:

A \cup B = {x | x \in A \lor x \in B} .

Definición 3.

Si $A$ y $B$ son conjuntos se define el conjunto intersección de $A$ con $B$ por:

A \cap B = {x | x \in A \land x \in B} .

Definición 4.

Si $A$ y $B$ son conjuntos se define el conjunto diferencia de $A$ con $B$ por:

A ∖ B = {x | x \in A \land x \notin B} .

Definición 5.

Si $Ω$ es un conjunto y $A \subset Ω$ se define el conjunto complemento de $A$ respecto a $Ω$ por

\bar{A} = Ω ∖ A.

Las siguientes propiedades se enuncian sin demostración y resumen algunas de las más importantes acerca de las operaciones definidas previamente.

Propiedades de la Unión.

conmutatividad $A \cup B = B \cup A$ .
Asociatividad $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ .
Identidad $A \cup \emptyset = A$ .
Medio Excluido $Ω = A \cup \bar{A}$ .
Otras $A \subseteq A \cup B$ .

Propiedades de la Intersección.

Conmutatividad $A \cap B = B \cap A$ .
Asociatividad $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ .
Identidad $A \cap Ω = A$ .
Contradicción $A \cap \bar{A} = \emptyset$ .
Otras $A \cap B \subseteq A$ .

Propiedades Conjuntas.

Distributividad
- $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .
- $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .
Leyes de De Morgan
- $\bar{(A \cup B)} = \bar{A} \cap \bar{B}$ .
- $\bar{(A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} .$
Otras
- $A ∖ (B \cup C) = (A ∖ B) \cap (A ∖ C)$ .
- $A ∖ (B \cap C) = (A ∖ B) \cup (A ∖ C)$ .

3.3 Conjunto Potencia

Un concepto importante asociado con todo conjunto es el de conjunto potencia o partes de.

Definición 6.

Si $Ω$ es un conjunto de define el conjunto partes de $Ω$ por

P (Ω) = {A | A \subset Ω} .

Ası´ $P (Ω)$ es un conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de $Ω$ .

3.4 Conjunto Producto

Si $x$ y $y$ son elementos, es posible unirlos en una estructura que se llama par ordenado. Un par ordenado puede verse como un conjunto en cuya definición se refleja de manera clara la idea de dos elementos agrupados en un orden definido. La siguiente definición permite lograrlo.

Definición 7.

Si $x,$ $y$ son elementos se define el par ordenado $xy$ por

(x, y) = {{x, {x, y}} .

Definición 8.

Si $A$ y $B$ son conjuntos, se define el conjunto producto

de $A$ y $B$ por

A \times B = {(x, y), | x \in A \land y \in B} .

3.5 Cardinalidad

Un concepto de vital importancia al estudiar probabilidad radica en la posibilidad de que dado un conjunto $A$ , dentro de un universo $Ω$ , se pueda asignar a este conjunto alguna medida relativa al universo en el cual está inmerso. Existen teorías completas al respecto y si bien podrían ser bastante útiles en el desarrollo que haremos no profundizaremos en ninguna de ellas.

Los conjuntos con los que trataremos se dividen en dos grandes grupos: discretos y continuos.

Definición 9.

Un conjunto $A$ se dice finito, con cardinalidad $| A | = n$ si existe alguna función biyectiva $f : {1, 2, \dots, n} \to A.$ En otro caso se dice infinito.

Definición 10.

Un conjunto $A$ es contable si es finito o bien infinito pero existe una biyección entre él y el conjunto de los naturales.

En términos simples un conjunto contable (discreto) es aquel en el cual exista una manera de contar sus elementos, puede tener una cantidad finita o infinita de elementos, pero de alguna manera puede encontrarse una estrategia para contarlos.

Por ejemplo los naturales son un conjunto discreto, de hecho son el conjunto que se utiliza para poder contar otros. Todo conjunto finito es contable, los enteros son un conjunto contable y los racionales también. Invitamos al lector a encontrar estrategias para contar los enteros y los racionales [8].

Para conjuntos discretos finitos la cardinalidad es una manera de asignarles una medida. A continuación listamos un conjunto de propiedades de la cardinalidad.

Propiedades de Cardinalidad.

Si $A \subseteq B \Rightarrow | A | \leq | B |$
Si $A \cap B = \emptyset \Rightarrow | A \cup B | = | A | + | B |$
Si $| A | = n \Rightarrow | P (A) | = 2^{n}$
Si $| A | = n, | B | = m \Rightarrow | A \times B | = mn$

(1.1)

Cuando los conjuntos no son discretos el concepto de cardinalidad carece de sentido y se sustituye por el término de medibilidad, un concepto fuera de los objetivos de estas notas, no obstante hablaremos levemente de algunos términos necesarios en probabilidades.

[Siguiente][Anterior][Inicio]