Ejercicios

5. Ejercicios

Ejercicio 5.1. Dada la siguiente lista de relaciones establezca si son verdaderas y de una demostración al respecto.

1.: $(A \cup B) ∖ C = A \cup (B ∖ C)$
2.: $A \cup B = (A ∖ A \cap B) \cup B$
3.: $\bar{(A \cup B)} \cap C = C ∖ C \cap (A \cup B)$
4.: $\bar{(A \cup B)} \cap C = \bar{A} \cap C \cup \bar{B} \cap C$
5.: $(A \cup B) \cap C = A \cap C \cup B \cap C$

1.

Falsa.

Contraejemplo: sea $A = {1}$ , $B = {2}$ , $C = {1}$ .

Lado izquierdo: $({1, 2}) ∖ {1} = {2}$ .

Lado derecho: ${1} \cup ({2} ∖ {1}) = {1, 2}$ .

Son distintos.

El problema es que $(A \cup B) ∖ C$ quita elementos de $A$ que estén en $C$ , pero $A \cup (B ∖ C)$ conserva todo $A$ .

2.

Verdadera.

A ∖ (A \cap B) = A \cap \bar{A \cap B} = A \cap (\bar{A} \cup \bar{B}) = A \cap \bar{B}

. Entonces

(A \cap \bar{B}) \cup B = (A \cup B) \cap (\bar{B} \cup B) = A \cup B

3.

Verdadera.

C ∖ (C \cap (A \cup B)) = C \cap \bar{C \cap (A \cup B)} = C \cap (\bar{C} \cup \bar{A \cup B}) = C \cap \bar{A \cup B} = \bar{(A \cup B)} \cap C

4.

Falsa tal como está escrita (por precedencia, se lee

(\bar{A} \cap C) \cup (\bar{B} \cap C)

). Aplicando De Morgan,

\bar{A \cup B} \cap C = \bar{A} \cap \bar{B} \cap C

. El lado derecho es

(\bar{A} \cap C) \cup (\bar{B} \cap C) = (\bar{A} \cup \bar{B}) \cap C

, que en general es distinto de

\bar{A} \cap \bar{B} \cap C

. Contraejemplo:

A = {1}

B = {2}

C = {1, 2}

. Lado izquierdo:

\emptyset

. Lado derecho:

{1, 2}

Si la lectura pretendida es $\bar{A} \cap (C \cup \bar{B}) \cap C$ , también falla.

5.

Verdadera. Es la ley distributiva de la intersección sobre la unión. Si

x \in (A \cup B) \cap C

entonces

x \in C

x \in A

x \in B

, así que

x \in A \cap C

x \in B \cap C

. El recíproco es análogo.

Ejercicio 5.2. Si

A

B

C

representan eventos arbitrarios encuentre expresiones en términos de

A, B

C

para los eventos

1.: Solamente ocurre $A$ .
2.: Ocurren al menos dos de ellos.
3.: Ocurren únicamente dos de ellos.
4.: Ocurre uno de ellos y no más.

1.: $A \cap \bar{B} \cap \bar{C}$ .
2.: $(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$ .
3.: $(A \cap B \cap \bar{C}) \cup (A \cap \bar{B} \cap C) \cup (\bar{A} \cap B \cap C)$ .
4.: $(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)$ .

Ejercicio 5.3. Si

A, B

C

son eventos explique cada uno de los eventos siguientes:

1.: $A \cap B \cap C$
2.: $A ∖ A \cap B$
3.: $A \cap \bar{B} \cap C$
4.: $A \cup B \cup C$

1.: Ocurren los tres eventos simultáneamente.
2.: $A \cap \bar{A \cap B} = A \cap (\bar{A} \cup \bar{B}) = A \cap \bar{B}$ . Ocurre $A$ pero no ocurre $B$ .
3.: Ocurren $A$ y $C$ pero no ocurre $B$ .
4.: Ocurre al menos uno de los tres eventos.

Ejercicio 5.4. Para cada un de los eventos siguientes expréselo como unión de eventos disjuntos.

1.: $A \cup B$
2.: $(A \cup B) ∖ C$

1.: $A \cup B = A \cup (B \cap \bar{A})$ . Los eventos $A$ y $B \cap \bar{A}$ son disjuntos pues $A \cap (B \cap \bar{A}) = \emptyset$ .
2.: $(A \cup B) ∖ C = (A \cap \bar{C}) \cup (B \cap \bar{A} \cap \bar{C})$ . Son disjuntos pues si $x$ está en el segundo conjunto entonces $x \in \bar{A}$ , luego no puede estar en $A \cap \bar{C}$ .

Ejercicio 5.5. Explique los conceptos de conjunto discreto e conjunto enumerable.

Un conjunto es discreto (o contable) si sus elementos se pueden listar en una sucesión finita o infinita, es decir, se puede establecer una correspondencia uno a uno con un subconjunto de los números naturales.

Un conjunto es enumerable (o numerablemente infinito) si existe una biyección con $N$ . Es decir, es infinito pero sus elementos se pueden poner en una lista $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ que los agota todos. Los enteros y los racionales son enumerables; los reales no lo son.

Ejercicio 5.6. Varias personas fueron entrevistadas para determinar sus gustos por los dulces. Se encontró que 20 de ellos eran adictos al chocolate, 10 al caramelo y 5 al dulce de leche. Seis eran adictos a ambos el chocolate y el caramelo, tres al chocolate y al dulce de leche, 2 al caramelo y al dulce de leche y solo una persona era adicto a los tres tipos de dulce.

Una de estas personas se elige al azar:

1.: ¿Cuál es la probabilidad de que sea adicto al chocolate o al caramelo?
2.: ¿Cuál es la probabilidad de que sea adicto a alguno de los tres tipos de dulce?
3.: ¿Puede determinar la probabilidad de que sea adicto al chocolate pero no al caramelo?
4.: ¿Puede determinar la probabilidad de que sea adicto exclusivamente a dos tipos de dulce?

Sean

Ch

Ca

D

los eventos chocolate, caramelo y dulce de leche. Datos:

| Ch | = 20

| Ca | = 10

| D | = 5

| Ch \cap Ca | = 6

| Ch \cap D | = 3

| Ca \cap D | = 2

| Ch \cap Ca \cap D | = 1

Por inclusión-exclusión: $| Ch \cup Ca \cup D | = 20 + 10 + 5 - 6 - 3 - 2 + 1 = 25$ . El total de personas entrevistadas es al menos 25.

1.: $| Ch \cup Ca | = 20 + 10 - 6 = 24$ . $P (Ch \cup Ca) = 24 / 25$ .
2.: $P (alguno) = | Ch \cup Ca \cup D | / 25 = 25 / 25 = 1$ . (Todas las personas entrevistadas son adictas a al menos un dulce.)
3.: Sí. $| Ch \cap \bar{Ca} | = | Ch | - | Ch \cap Ca | = 20 - 6 = 14$ . $P (Ch \cap \bar{Ca}) = 14 / 25$ .
4.: Los que son adictos a exactamente dos tipos: $| Ch \cap Ca | - | Ch \cap Ca \cap D | = 6 - 1 = 5$ (solo $Ch$ y $Ca$ ), $| Ch \cap D | - | Ch \cap Ca \cap D | = 3 - 1 = 2$ (solo $Ch$ y $D$ ), $| Ca \cap D | - | Ch \cap Ca \cap D | = 2 - 1 = 1$ (solo $Ca$ y $D$ ). Total $= 5 + 2 + 1 = 8$ . $P = 8 / 25$ .

Ejercicio 5.7. Se sabe que el 30% de la población de un pueblo lee el diario El chismoso, el 40% lee El mentiroso y el 48% lee El extremo. Se sabe también que la probabilidad de que una persona lea El chismoso dado que lee El mentiroso es de 0.35, la probabilidad de que una persona lea El chismoso dado que lee El extremo es de 0.25 y la probabilidad de que una persona lea El mentiroso dado que lee El extremo es de 0.25. Si en total el 90% de la población lee al menos uno de los tres diarios cuántos de ellos leen los tres diarios.

Sean

C

M

E

los eventos.

P (C) = 0.30

P (M) = 0.40

P (E) = 0.48

De las probabilidades condicionales: $P (C \cap M) = P (C | M) \cdot P (M) = 0.35 \times 0.40 = 0.14$ . $P (C \cap E) = P (C | E) \cdot P (E) = 0.25 \times 0.48 = 0.12$ . $P (M \cap E) = P (M | E) \cdot P (E) = 0.25 \times 0.48 = 0.12$ .

Verificación de consistencia: $P (C \cap M) = 0.14 \leq P (C) = 0.30$ y $\leq P (M) = 0.40$ . $P (C \cap E) = 0.12 \leq P (C)$ y $\leq P (E)$ . $P (M \cap E) = 0.12 \leq P (M)$ y $\leq P (E)$ . Todo correcto.

Por inclusión-exclusión: $P (C \cup M \cup E) = P (C) + P (M) + P (E) - P (C \cap M) - P (C \cap E) - P (M \cap E) + P (C \cap M \cap E)$ .

$0.90 = 0.30 + 0.40 + 0.48 - 0.14 - 0.12 - 0.12 + P (C \cap M \cap E)$ .

$0.90 = 1.18 - 0.38 + P (C \cap M \cap E) = 0.80 + P (C \cap M \cap E)$ .

$P (C \cap M \cap E) = 0.90 - 0.80 = 0.10$ .

Verificación: $0.10 \leq min (0.14, 0.12, 0.12) = 0.12$ . Consistente.

El 10% de la población lee los tres diarios.

Ejercicio 5.8. Cafetalera el retroceso dispone de dos empleados para que atiendan las ventanillas al público. Luis se encarga de atender la ventanilla de Pagos, que en general pasa ocupada un 60% del tiempo, mientras que Carlos se encarga de atender dos ventanillas, una a la vez, la de Reclamos y la de Incentivos que en promedio pasan ocupadas en 25 y 15 minutos de cada hora, respectivamente. De la experiencia se sabe que la probabilidad de que la ventanilla de Pagos este en uso dado que la de Reclamos lo está es de .6 y la probabilidad de que la de Pagos este en uso dado que la de Incentivos lo está es de .25. Determine la probabilidad de llegar y encontrar al menos una ventanilla ocupada.

Sean

P

=Pagos,

R

=Reclamos,

I

=Incentivos.

P (P) = 0.60

P (R) = 25 / 60 = 5 / 12

P (I) = 15 / 60 = 1 / 4

Como Carlos atiende una a la vez: $R$ e $I$ no pueden estar ocupadas simultáneamente, $P (R \cap I) = 0$ .

$P (P \cap R) = P (P | R) \cdot P (R) = 0.6 \times 5 / 12 = 0.25$ . $P (P \cap I) = P (P | I) \cdot P (I) = 0.25 \times 0.25 = 0.0625$ .

$P (P \cap R \cap I) = 0$ (pues $R \cap I = \emptyset$ ).

Por inclusión-exclusión: $P (P \cup R \cup I) = 0.60 + 5 / 12 + 1 / 4 - 0.25 - 0.0625 - 0 + 0$

$= 0.60 + 0.4167 + 0.25 - 0.25 - 0.0625 = 0.9542$ .

La probabilidad de encontrar al menos una ventanilla ocupada es aproximadamente $0.954$ .

Ejercicio 5.9. El 30% de la población de un país es mayor de 50 años y el 45% está entre 20 y 50 años y el resto de la población es menor de 20 años. Por experiencia se sabe que la probabilidad de que se presenten dolencias cardiacas en los tres grupos son de .15, .08, .005 respectivamente. Si un paciente al azar presenta este tipo de dolencia cuál es la probabilidad de que sea menor de 20 años.

Sea

D

el evento dolencia cardiaca.

P (> 50) = 0.30

P (20 - 50) = 0.45

P (< 20) = 0.25

$P (D | > 50) = 0.15$ , $P (D | 20 - 50) = 0.08$ , $P (D | < 20) = 0.005$ .

Probabilidad total: $P (D) = 0.30 (0.15) + 0.45 (0.08) + 0.25 (0.005) = 0.045 + 0.036 + 0.00125 = 0.08225$ .

Por Bayes: $P (< 20 | D) = \frac{0.25 \times 0.005}{0.08225} = \frac{0.00125}{0.08225} \approx 0.0152$ .

La probabilidad es aproximadamente 1.52%.

Ejercicio 5.10. Cuando Luis atiende un servicio de reparación solo el 20% de los atendidos se manifiesta inconforme, y cuando Carlos atiende, el porcentaje de inconformes aumenta al 40%. Si se desea que entre ambos tengan un porcentaje de inconformes inferior al 25% cuál es el porcentaje de servicios que se le debe asignar a cada uno de ellos.

Sea

x

la fracción de servicios asignados a Luis. Carlos atiende

1 - x

$P (inconforme) = 0.20 x + 0.40 (1 - x) = 0.40 - 0.20 x$ .

Se requiere $0.40 - 0.20 x < 0.25$ , es decir $0.20 x > 0.15$ , luego $x > 0.75$ .

Luis debe atender más del 75% de los servicios y Carlos menos del 25%.

Ejercicio 5.11. La población de Pueblo Nuevo esta dividida en un 60% de mujeres y 40% de hombres. Entre las mujeres un 55% son mayores de 40 años mientras que en los hombres un 30% son mayores de 40 años. Se van a elegir dos personas al azar, determine:

1.: Que sean Hombre y Mujer
2.: Que sean menores de 40 años.
3.: Que sean mujeres menores de 40 años.

P (M) = 0.6

P (H) = 0.4

. Mujeres

> 40

: 55%, mujeres

< 40

: 45%. Hombres

> 40

: 30%, hombres

< 40

: 70%.

$P (< 40) = 0.6 (0.45) + 0.4 (0.70) = 0.27 + 0.28 = 0.55$ .

1.: $P (H y M) = 2 \times P (H) \times P (M) = 2 (0.4) (0.6) = 0.48$ . (El factor 2 porque el orden puede ser HM o MH.)
2.: $P (ambos < 40) = {(0.55)}^{2} = 0.3025$ .
3.: $P (M \cap < 40) = 0.6 \times 0.45 = 0.27$ . $P (ambas mujeres < 40) = {(0.27)}^{2} = 0.0729$ .

Ejercicio 5.12. Para probar la confiabilidad de un programa se recurre a correrle una prueba sobre un conjunto de datos comprobados. Se sabe que esta prueba clasifica como confiables el 95% de los programas que son confiables y clasifica como confiables el 4% de los programas que no lo son. Si en general el 10% de los programas no son confiables cuál es la probabilidad de que un programa que la prueba dió por confiable en realidad no lo sea.

Sea

C

=confiable,

T

=la prueba dice confiable.

$P (C) = 0.90$ , $P (\bar{C}) = 0.10$ . $P (T | C) = 0.95$ , $P (T | \bar{C}) = 0.04$ .

$P (T) = P (T | C) P (C) + P (T | \bar{C}) P (\bar{C}) = 0.95 (0.90) + 0.04 (0.10) = 0.855 + 0.004 = 0.859$ .

Por Bayes: $P (\bar{C} | T) = \frac{P (T | \bar{C}) P (\bar{C})}{P (T)} = \frac{0.004}{0.859} \approx 0.00466$ .

La probabilidad es aproximadamente 0.47%.

Ejercicio 5.13. Cuando un programa de cómputo es desarrollado por dos a más personas la probabilidad de que presente errores es de 0.03 mientras que cuando es desarrollado por una sola persona esta probabilidad aumenta a

0.1

, el 30% de los programas son desarrollados por personas solas. Si un programa es seleccionado al azar y presenta errores, Cuál es la probabilidad de que haya sido desarrollado por un dos o más personas.

Sea

S

=desarrollado por una persona,

E

=presenta errores.

$P (S) = 0.30$ , $P (\bar{S}) = 0.70$ . $P (E | S) = 0.10$ , $P (E | \bar{S}) = 0.03$ .

$P (E) = 0.10 (0.30) + 0.03 (0.70) = 0.030 + 0.021 = 0.051$ .

$P (\bar{S} | E) = \frac{P (E | \bar{S}) P (\bar{S})}{P (E)} = \frac{0.021}{0.051} = \frac{21}{51} = \frac{7}{17} \approx 0.4118$ .

Ejercicio 5.14. Dos tanques A y B se están atacado mutuamente en forma alternada y empezando por A. El ataque termina cuando alguno acierte al contrincante. Si la probabilidad de que A acierte es

p

y la probabilidad de que B acierte es

q

describa el espacio muestral para el total de disparos que hace B y determine la distribución de probabilidad asociada con el experimento.

Sea

X

el número de disparos que hace B. B dispara después de que A falla.

Si A acierta en su primer disparo, B dispara 0 veces. $P (X = 0) = p$ .

Si B dispara $k$ veces ( $k \geq 1$ ), significa que los primeros $k - 1$ pares (A falla, B falla) ocurrieron y luego A falla y B acierta, o bien los $k$ pares fallaron y A acierta.

$X$ puede tomar valores $0, 1, 2, 3, \dots$

Para $k \geq 1$ :

B dispara exactamente $k$ veces y él termina el juego (B acierta en su disparo $k$ ): $P = {[(1 - p) (1 - q)]}^{k - 1} (1 - p) q$ .

B dispara exactamente $k$ veces y A termina el juego (A acierta en su disparo $k + 1$ ): $P = {[(1 - p) (1 - q)]}^{k} p$ .

$P (X = k) = {[(1 - p) (1 - q)]}^{k - 1} (1 - p) q + {[(1 - p) (1 - q)]}^{k} p$ para $k \geq 1$ .

Simplificando: $P (X = k) = {[(1 - p) (1 - q)]}^{k - 1} (1 - p) [q + (1 - q) p] = {[(1 - p) (1 - q)]}^{k - 1} (1 - p) (q + p - pq)$ para $k \geq 1$ , y $P (X = 0) = p$ .

Ejercicio 5.15. En la clase hay 40 personas de las cuales 30 son menores de 20 años. Se eligen tres personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los tres sean menores de 20 años?

Se trata de un muestreo sin reemplazo (hipergeométrica).

$P = \frac{(\binom{30}{3})}{(\binom{40}{3})} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{40 \cdot 39 \cdot 38} = \frac{24360}{59280} = \frac{29 \cdot 7}{39 \cdot 19} = \frac{203}{741} \approx 0.2740$ .

Ejercicio 5.16. Una empresa industrial utiliza tres hoteles, A, B y C para proporcionar hospedaje a los clientes. De experiencias previas se sabe que el 20% de los clientes se hospedan en el hotel A; el 50% de los clientes se hospedan en el hotel B y el 30% restante se hospedan en el hotel C. Si hay fallas de plomería en un 5% de las habitaciones del hotel A, en un 4% de las habitaciones del hotel B y en el 8% de las habitaciones del hotel C determine:

1.: La probabilidad de que a un cliente al azar se le asigne un cuarto con problemas de plomería.
2.: La probabilidad de que dado que a un cliente le correspondió un cuarto con problemas de plomería, se le haya hospedado en el hotel C.

Sea

F

=falla de plomería.

P (A) = 0.20

P (B) = 0.50

P (C) = 0.30

P (F | A) = 0.05

P (F | B) = 0.04

P (F | C) = 0.08

1.: $P (F) = 0.20 (0.05) + 0.50 (0.04) + 0.30 (0.08) = 0.01 + 0.02 + 0.024 = 0.054$ .
2.: $P (C | F) = \frac{P (F | C) P (C)}{P (F)} = \frac{0.024}{0.054} = \frac{4}{9} \approx 0.4444$ .

Ejercicio 5.17. Las consultas a un sistema de computadores en línea, llegan a través de 5 líneas de comunicación. Los porcentajes de mensajes recibidos por la línea 1, 2, 3, 4 y 5 son 20, 30, 10, 15 y 25, respectivamente. Las probabilidades de que un mensaje por la línea 1, 2, 3, 4 y 5 sean superiores a 100 caracteres son de 0.4, 0.6, 0.2, 0.8 y 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que una consulta elegida al azar exceda los 100 caracteres? Si una consulta elegida al azar tiene mas de 100 caracteres, ¿cuál es la probabilidad de que haya llegado por alguna de las líneas 3 o 4?

Sea

S

el evento de que el mensaje exceda 100 caracteres.

$P (S) = 0.20 (0.4) + 0.30 (0.6) + 0.10 (0.2) + 0.15 (0.8) + 0.25 (0.9)$

$= 0.08 + 0.18 + 0.02 + 0.12 + 0.225 = 0.625$ .

$P (L_{3} \cup L_{4} | S) = \frac{P (S | L_{3}) P (L_{3}) + P (S | L_{4}) P (L_{4})}{P (S)} = \frac{0.02 + 0.12}{0.625} = \frac{0.14}{0.625} = 0.224$ .

Ejercicio 5.18. Suponga que cierto departamento tiene tres terminales sin buffer, que pueden ser conectadas a un computador por medio de dos líneas de comunicación. La Terminal 1 tiene su propia línea de uso, mientras que las Terminales 2 y 3 comparten una línea de comunicación, de manera que a lo sumo una de ellas puede estar usando la línea en un momento determinado. Durante un día de trabajo la terminal 1 se utiliza 30 minutos por cada hora, la terminal 2 es usada 10 minutos por hora y la terminal 3 se usa solo 5 minutos de cada hora, todos estos tiempos en promedio. Asumiendo que las líneas operan en forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos una terminal esté en operación en un momento aleatorio, durante el día de trabajo? Si la operación de las dos líneas no es independiente con probabilidades condicionales de 1/3 de que la terminal 2 este en operación dado que la 1 lo está y de 1/12 de que la terminal 3 este en operación dado que la 1 lo está, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las tres líneas este en uso?

P (T_{1}) = 30 / 60 = 1 / 2

P (T_{2}) = 10 / 60 = 1 / 6

P (T_{3}) = 5 / 60 = 1 / 12

T_{2}

T_{3}

comparten línea, así que

P (T_{2} \cap T_{3}) = 0

Caso independiente ( $T_{1}$ independiente de la línea compartida):

$P (T_{2} \cup T_{3}) = P (T_{2}) + P (T_{3}) = 1 / 6 + 1 / 12 = 1 / 4$ .

$P (al menos una) = P (T_{1} \cup T_{2} \cup T_{3}) = 1 - P (\bar{T_{1}}) P (\bar{T_{2} \cup T_{3}}) = 1 - (1 / 2) (3 / 4) = 1 - 3 / 8 = 5 / 8 = 0.625$ .

Caso no independiente: $P (T_{2} | T_{1}) = 1 / 3$ , $P (T_{3} | T_{1}) = 1 / 12$ .

$P (T_{1} \cap T_{2}) = P (T_{2} | T_{1}) P (T_{1}) = (1 / 3) (1 / 2) = 1 / 6$ . $P (T_{1} \cap T_{3}) = P (T_{3} | T_{1}) P (T_{1}) = (1 / 12) (1 / 2) = 1 / 24$ . $P (T_{1} \cap T_{2} \cap T_{3}) = 0$ .

$P (T_{1} \cup T_{2} \cup T_{3}) = 1 / 2 + 1 / 6 + 1 / 12 - 1 / 6 - 1 / 24 - 0 + 0 = 1 / 2 + 1 / 12 - 1 / 24 = 1 / 2 + 1 / 24 = 13 / 24 \approx 0.5417$ .

Ejercicio 5.19. Suponga que

A

B

son eventos independientes. Pruebe que:

1.: $A$ y $\bar{B}$ son independientes
2.: $\bar{A}$ y $\bar{B}$ son independientes.

1.: $P (A \cap \bar{B}) = P (A) - P (A \cap B) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) [1 - P (B)] = P (A) P (\bar{B})$ .
2.: Por el inciso anterior, $A$ y $\bar{B}$ son independientes. Aplicando el mismo resultado con $A$ reemplazado por $\bar{B}$ y $B$ reemplazado por $A$ : si $\bar{B}$ y $A$ son independientes, entonces $\bar{B}$ y $\bar{A}$ son independientes.

Ejercicio 5.20. Suponga que se tiene una baraja de ocho cartas formada por las K’s y las Q’s de un naipe. Se toman dos cartas de dicha mano. Muestre que de los siguientes eventos, no existen dos que sean independientes.

A

: Al menos una de las cartas es negra.

B

: Una de las cartas es la Q de espadas.

C

: Ambas cartas son K’s.

D

: Ambas cartas son Q’s.

Hay

(\binom{8}{2}) = 28

formas de elegir 2 cartas de 8. Las 8 cartas son:

K ♠, K ♡, K ♢, K ♣, Q ♠, Q ♡, Q ♢, Q ♣

Calculamos las probabilidades individuales e intersecciones:

$P (A)$ : al menos una negra (espadas o tréboles, hay 4 negras). Complemento: ambas rojas $= (\binom{4}{2}) = 6$ . $P (A) = 22 / 28 = 11 / 14$ .

$P (B)$ : contiene $Q ♠$ . Hay $(\binom{7}{1}) = 7$ pares con $Q ♠$ . $P (B) = 7 / 28 = 1 / 4$ .

$P (C) = (\binom{4}{2}) / 28 = 6 / 28 = 3 / 14$ .

$P (D) = (\binom{4}{2}) / 28 = 6 / 28 = 3 / 14$ .

Verificamos cada par:

$A$ y $B$ : $P (A \cap B) = P (B) = 1 / 4$ (si tiene $Q ♠$ , tiene carta negra). $P (A) P (B) = (11 / 14) (1 / 4) = 11 / 56 \neq 1 / 4 = 14 / 56$ . No independientes.

$A$ y $C$ : $P (A \cap C)$ : dos K’s con al menos una negra $= (\binom{4}{2}) - (\binom{2}{2}) = 6 - 1 = 5$ . $P (A \cap C) = 5 / 28$ . $P (A) P (C) = (11 / 14) (3 / 14) = 33 / 196 \neq 5 / 28 = 35 / 196$ . No independientes.

$A$ y $D$ : Análogo al anterior. $P (A \cap D) = 5 / 28 \neq 33 / 196$ . No independientes.

$B$ y $C$ : $P (B \cap C) = 0$ ( $Q ♠$ no es K). $P (B) P (C) = (1 / 4) (3 / 14) \neq 0$ . No independientes.

$B$ y $D$ : $P (B \cap D)$ : dos Q’s incluyendo $Q ♠$ $= (\binom{3}{1}) = 3$ . $P (B \cap D) = 3 / 28$ . $P (B) P (D) = (1 / 4) (3 / 14) = 3 / 56 \neq 3 / 28$ . No independientes.

$C$ y $D$ : $P (C \cap D) = 0$ . $P (C) P (D) = {(3 / 14)}^{2} \neq 0$ . No independientes.

Ejercicio 5.21. Pruebe que

P [A | B] = 1

si y solo si

P [B] \neq 0

P [\bar{A} \cup B] = 0

(⇒)

P (A | B) = 1

entonces necesariamente

P (B) \neq 0

(la condicional está definida). Además

P (A | B) = P (A \cap B) / P (B) = 1

implica

P (A \cap B) = P (B)

, es decir

B \subseteq A

salvo un conjunto de probabilidad cero.

Nota: la condición correcta debería ser $P (\bar{A} \cap B) = 0$ . En efecto, $P (\bar{A} \cap B) = P (B) - P (A \cap B) = P (B) - P (B) = 0$ .

$(⇐)$ Si $P (B) \neq 0$ y $P (\bar{A} \cap B) = 0$ entonces $P (A \cap B) = P (B) - P (\bar{A} \cap B) = P (B) - 0 = P (B)$ . Luego $P (A | B) = P (A \cap B) / P (B) = P (B) / P (B) = 1$ .

Ejercicio 5.22. Se estima que en el Parque Nacional de Diversiones el 72% de los visitantes va al Tobogán de Agua, el 56% se monta en las Diligencias, el 60% se arriesga en el Huracán, 50% va al Tobogán de agua y se monta en las Diligencias, 45% va al Tobogán de Agua y al Huracán, 40% toma las Diligencias y el Huracán y 30% disfruta de las tres cosas. Asumiendo que los resultados son correctos, calcule la probabilidad de que un visitante al Parque Nacional de Diversiones:

1.: Disfrute al menos uno de los tres juegos
2.: Tome las diligencias sabiendo que ya tomo el Tobogán de agua.
3.: Suba al Huracán sabiendo que ya disfrutó de los otros dos juegos.

Sean

T

=Tobogán,

D

=Diligencias,

H

=Huracán.

P (T) = 0.72

P (D) = 0.56

P (H) = 0.60

P (T \cap D) = 0.50

P (T \cap H) = 0.45

P (D \cap H) = 0.40

P (T \cap D \cap H) = 0.30

1.: $P (T \cup D \cup H) = 0.72 + 0.56 + 0.60 - 0.50 - 0.45 - 0.40 + 0.30 = 0.83$ .
2.: $P (D | T) = \frac{P (T \cap D)}{P (T)} = \frac{0.50}{0.72} = \frac{25}{36} \approx 0.6944$ .
3.: $P (H | T \cap D) = \frac{P (T \cap D \cap H)}{P (T \cap D)} = \frac{0.30}{0.50} = 0.60$ .

Ejercicio 5.23. Siete terminales de un sistema están conectadas por una línea de comunicación a una computadora. Exactamente cuatro de las siete computadoras están listas para transmitir un mensaje. Asuma que cada terminal tiene la misma probabilidad de estar lista. Sea

X

la variable aleatoria cuyo valor es el número de terminales que deben consultarse hasta encontrar la primera terminal lista.

1.: ¿Qué valores puede tomar $X$ ?
2.: ¿Cuál es la distribución de probabilidad para $X$ ? (Las terminales se consultan en secuencia sin repetición)
3.: Suponga que la línea de comunicación tiene $m$ líneas conectadas, de las cuales $n$ están listas para transmitir $n \geq 1$ . Resuelva las preguntas a) y b).

1.

X

puede tomar los valores

1, 2, 3, 4

(a lo sumo hay que consultar las 3 no listas antes de encontrar una lista, en el peor caso la cuarta consulta da una lista).

2.

Sin reemplazo (hipergeométrica negativa). Para que

X = k

las primeras

k - 1

consultadas no están listas y la

k

-ésima sí:

$P (X = 1) = 4 / 7$ .

$P (X = 2) = (3 / 7) (4 / 6) = 12 / 42 = 2 / 7$ .

$P (X = 3) = (3 / 7) (2 / 6) (4 / 5) = 24 / 210 = 4 / 35$ .

$P (X = 4) = (3 / 7) (2 / 6) (1 / 5) (4 / 4) = 6 / 210 = 1 / 35$ .

Verificación: $4 / 7 + 2 / 7 + 4 / 35 + 1 / 35 = 20 / 35 + 10 / 35 + 4 / 35 + 1 / 35 = 35 / 35 = 1$ .

3.

X

toma valores

1, 2, \dots, m - n + 1

$P (X = k) = \frac{(\binom{m - n}{})}{(\binom{m}{})} \cdot \frac{n}{m - k + 1} = \frac{(m - n)! (m - k)! n}{(m - n - k + 1)! m!}$ para $k = 1, \dots, m - n + 1$ .

Equivalentemente: $P (X = k) = \frac{\prod_{i = 0}^{k - 2} (m - n - i)}{\prod_{i = 0}^{k - 2} (m - i)} \cdot \frac{n}{m - k + 1}$ .

Ejercicio 5.24. Una costura que se practica con regularidad en los aviones necesita 25 remaches. Si algún remache de los utilizados en la costura está defectuoso la costura deberá rehacerse. La probabilidad de que un remache este defectuoso es constante e independiente de si los otros remaches los son. ¿Cuál debe ser la probabilidad de que un remache sea defectuoso, para garantizar que a lo sumo el 10% de las costuras deben rehacerse?

Sea

p

la probabilidad de que un remache sea defectuoso.

La costura se rehace si al menos un remache es defectuoso. $P (rehacer) = 1 - {(1 - p)}^{25}$ .

Se requiere: $1 - {(1 - p)}^{25} \leq 0.10$ , es decir ${(1 - p)}^{25} \geq 0.90$ .

$(1 - p) \geq 0.9 0^{1 / 25} = e^{ln (0.9) / 25}$ .

$ln (0.9) / 25 = - 0.10536 / 25 = - 0.004214$ .

$0.9 0^{1 / 25} = e^{- 0.004214} \approx 0.99580$ .

Luego $p \leq 1 - 0.99580 \approx 0.0042$ .

La probabilidad de defecto por remache debe ser a lo sumo $0.42 %$ .

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