Ejercicios

En los siguientes ejercicios calcule y clasifique (si el criterio lo permite) los puntos críticos de las siguientes funciones:

4.1

f (x, y, z) = 4 xy - 2 x^{2} - 3 y^{2} + z^{2},

{\begin{matrix} 4 y - 4 x & = & 0 \\ 4 x - 6 y & = & 0 \\ 2 z & = & 0 \end{matrix}

• Solo un punto crítico

p = (0, 0, 0)

• ${D_{3} (p), D_{2} (p), D_{1} (p)} = {16, 8 - 4}$

• $(0, 0, 0, f (p))$ es punto de silla

4.2

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{3} - yz - x,

{\begin{matrix} 2 x - 1 & = & 0 \\ 2 y - z & = & 0 \end{matrix}

• Puntos críticos:

p = (1 ∕ 2, 0, 0)

q = (1 ∕ 2, 1 ∕ 12, 1 ∕ 6)

• En $p$ la función $f$ alcanza un punto de silla y en $q$ un mínimo local.

4.3

f (x, y, z) = x^{2} - y^{2} + xy + z

4.4

f (x, y, z) = x^{2} - z^{2} - zyx

4.5

f (x, y, z) = x^{2} - xy + x z^{2} + x + y^{2} - z^{2}

{\begin{matrix} 2 x - y + z^{2} + 1 & = & 0 \\ 2 y - x & = & 0 \\ 2 xz - 2 z & = & 0 ⟹ 2 z (x - 1) = 0 \end{matrix}

• Solo un punto crítico

p = (- \frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, 0)

• ${D_{3} (p), D_{2} (p), D_{1} (p)} = {- 10, 3 2}$

• $(- \frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, 0, f (p))$ es punto de silla