Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange

5. Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange

Supóngase que queremos hallar los máximos y los mínimos relativos de $z = f (x, y)$ sujeto a la restricción $g (x, y) = 0$ . Esto significa que la función $f (x, y)$ solo podrá ser evaluada en los puntos $(x, y)$ que estén en la curva de nivel $g (x, y) = 0$ , es decir $f (x, y)$ está restringida (o sujeta) a $g (x, y) = 0$ .

Una manera de resolver este problema, en el caso de un mínimo local, se puede obtener con un análisis geométrico de la situación: En las cercanías de un mínimo local, nos desplazamos sobre $g$ en la dirección de máximo decrecimiento de $f,$ hasta el punto “más profundo” que puede alcanzarse sobre $g$ en esta dirección. Este punto podría ser el mínimo local con restricciones que andamos buscando.

Digamos que

P = (a, b, c)

es el mínimo local con restricciones. Para poder determinar este punto con una ecuación, podemos pensar que viajamos a “este punto más profundo” atravesando curvas de nivel, entonces la “última” curva de nivel debería ser una curva de nivel

z = c

tangente a

g

p

(si

p

no es un punto terminal de

g

). Que estas curvas sean tangentes significa que sus gradientes son paralelos, es decir,

\nabla z (a, b) = λ \nabla g (a, b .)

Esta es la ecuación que usamos para determinar

P .

El análisis es similar para determinar un máximo local con restricciones: En las cercanías de un máximo local, nos desplazamos sobre

g

en la dirección de máximo crecimiento hasta el punto más profundo que podamos alcanzar, sobre

g .

Teorema 18 — (Multiplicadores Lagrange. Condición de primer orden).

Sea $U \subseteq ℝ^{2}$ un conjunto abierto y sean $f, g : U \to ℝ$ funciones $C^{1}$ y sea $x^{*}$ un extremo local de $f$ en el conjunto $D = {x \in U | g (x) = 0 .}$ Entonces, si $\nabla g (x^{*}) \neq (0, 0)$ , existe $λ \in ℝ$ (que puede ser cero) tal que

\nabla f (x^{*}) - λ \nabla g (x^{*}) = (0, 0)

El teorema dice que los extremos locales

x^{*}

f

sujetos a la restricción

g (x, y) = 0

\nabla g (x^{*}) \neq (0, 0)

), son puntos críticos de la función "lagrangiana"

L (x, y, λ) = f (x, y) - λ g (x, y),

pero no necesariamente viceversa. Puede suceder que algunos puntos críticos de

L

no sean extremos locales de

f

sujeto a la restricción

g (x, y) = 0 .

En el caso de $z = f (x, y)$ sujeta a $g (x, y) = 0,$ podríamos informalmente justificar el teorema así: Supongamos que la curva $g$ se puede dar en forma paramétrica como $r (t) = (x (t), y (t))$ y sea $x^{*} = r (t_{0})$ un extremo local de este problema con restricciones. Entonces, usando regla de la cadena, debería tenerse ${\frac{d}{dt} f (r (t)) |}_{t = t_{0}} = 0,$ entonces

{\frac{d}{dt} f (r (t)) |}_{t = t_{0}} = {\frac{d}{dt} f (x (t), y (t)) |}_{t = t_{0}} = {(\frac{∂f}{∂x} x^{'} (t) + \frac{∂f}{∂y} y^{'} (t)) |}_{t = t_{0}} = \nabla f (x^{*}) \cdot r^{'} (t_{0}) = 0

Esto nos dice que $\nabla f (x^{*})$ es perpendicular al vector tangente a la curva de restricción en $x^{*},$ es decir, $\nabla f (x^{*})$ y $\nabla g (x^{*})$ son paralelos donde se alcanzan los extremos locales (si $\nabla g (x^{*}) \neq 0$ )... pero no necesariamente viceversa.

Figura 5.12: Un problema de optimización con restricciones.

Método de los multiplicadores de Lagrange con una restricción:

$∙$

Para minimizar o maximizar

f (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n})

sujeta a la condición

g (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}) = 0

, se busca los puntos críticos de

L (x_{1}, y_{1}, . . ., x_{n}, λ) = f (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}) - λg (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n})

(asumimos

\nabla g (x) \neq 0

en un entorno de

p

Para hallar los puntos críticos de $L (x_{1}, y_{1}, . . ., x_{n}, λ)$ se debe resolver el sistema

{\begin{matrix} L_{x_{1}} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ L_{x_{n}} & = & 0 \\ g (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}) & = & 0 \end{matrix}

En tres variables, podríamos encontrar los puntos críticos del problema de optimización, como soluciones del sistema

L (x, y, z, λ) = f (x, y, z) - λ g (x, y, z)

A $λ$ se le llama multiplicador (de Lagrange). Observe que $λ$ podría ser cero. Esto pasa por ejemplo cuando un extremo local con restricciones coincide con un extremo local (sin restricciones).