Introduccion

1. Introducción

¿Por qué, en una variable, en un punto crítico $p,$ $f$ alcanza un máximo local si $f^{″} (p) < 0$ ?. En una variable, los puntos críticos de $f$ son los puntos $x = p$ en los que $f^{'} (p) = 0$ (o en los que $f^{'}$ se indefine). Muchas veces se puede clasificar este punto crítico con el signo de $f^{″} (p) .$ Esto se puede establecer usando polinomios de Taylor.

Teorema 12 — Teorema de Taylor en Una Variable.

Sea $D$ un conjunto abierto y $f : D \subseteq ℝ \to ℝ$ una función diferenciable de orden al menos $k$ . Si $p \in D$ . Sea

P_{k} (x) = f (p) + f^{'} (p) (x - p) + \frac{f^{″} (p)}{2} {(x - p)}^{2} + \dots + \frac{f^{k} (p)}{k!} {(x - a)}^{k} .

Entonces $f (x) = P_{k} (x) + R_{k} (p, x) con lim_{x \to p} \frac{R_{k} (p, x)}{{(x - p)}^{k}} = 0$

El teorema dice que en las cercanías de

x = p

, el polinomio

P_{k} (x)

aproxima a

f

con un error

R_{k} (p, a)

que tiene a cero aún más rápido que

{(x - p)}^{k}

: Si

k

es grande y

x

está cerca de

p

, entonces

{(x - p)}^{k} \to 0

muy rápido y más aún

R_{k} (p, x)

Extremos en una variable: La clasificación de un extremo local en

x = p

depende del signo de

f (x) - f (p)

en un entorno de

x = p

. El punto es que que le signo de

f^{″} (p) \neq 0

decide el signo (y por tanto la concavidad) del polinomio de Taylor de orden dos: Como

f^{'} (p) = 0,

f (x) - f (p) = \frac{1}{2} f^{″} (p) {(x - p)}^{2} + R_{2} (p, x)

f^{″} (p) \neq 0,

en algún entorno de

p,

la cuadrática

y = f^{″} (p) {(x - p)}^{2}

siempre es positiva o siempre es negativa y además domina al resto

R_{2} .

Eso decide el signo de

f (x) - f (p)

y este signo decide si el punto crítico es máximo local o mínimo local.

Si $f^{″} (p) = 0$ no podemos decir algo del signo (solo nos queda el resto $R_{2} (p, x)$ ).

Test de la segunda derivada y Polinomio de Taylor

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