Maximos y minimos locales en dos variables.

2. Máximos y mínimos locales en dos variables.

Como en cálculo en una variable, los extremos locales de una función de dos variables son puntos donde la función alcanza un máximo o un mínimo en un entorno del dominio de la función. Si la función está definida en una región, los extremos globales son los puntos donde la función toma valores máximos o mínimos en toda esta región, y esto podría suceder en cualquier parte de la región en consideración.

Recordemos que un entorno abierto alrededor de

p \in ℝ^{2}

de radio

δ

es el conjunto

U_{δ} (p) = {x \in ℝ^{2} : | | x - p | | < δ},

es decir, un disco (sin borde) con centro en $p$ y de radio $δ .$

Definición 15 — Extremos locales.

Sea $f$ función de dos variables, $f : ℝ^{2} \to ℝ$ $f .$ Sea $x = (x, y)$ y $p = (p_{1}, p_{2}) .$

1: $f$ tiene un máximo local en $p \in ℝ^{2}$ si existe un entorno abierto $U_{δ} (p)$ tal que $f (x) - f (p) \leq 0,$ es decir, $f (x) \leq f (p)$ para todo $x \in U_{δ} (p) .$

El punto $(p_{1}, p_{2}, f (p))$ se dice un máximo local de $f$ y el número $f (p)$ es el valor máximo de $f$ en el entorno $U_{δ} (p) .$
2: $f$ tiene un mínimo local en $p \in ℝ^{2}$ si existe un entorno abierto $U_{δ} (p)$ tal que $f (x) - f (p) \geq 0,$ es decir, $f (x) \geq f (p)$ para todo $x \in U_{δ} (p) .$

El punto $(p_{1}, p_{2}, f (p))$ se dice un mínimo local de $f$ y el número $f (p)$ es el valor mínimo de $f$ en el entorno $U_{δ} (p) .$

Fig. 5.1: Puntos críticos y un máximo y un mínimo local.

Si las desigualdades de la definición anterior se cumplen para todos los puntos en el dominio de

f,

entonces

f

tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto) en

p,

en ese dominio.

Puntos críticos y extremos locales

Definición 16 — Punto crítico.

Un punto $p \in ℝ^{2}$ es un punto crítico de $f$ si $\nabla f (p) = 0$ , es decir, si $\frac{∂f}{∂x} (p) = 0$ y $\frac{∂f}{∂y} (p) = 0$

También si

p

es un punto en el interior del dominio de

f,

es punto crítico si

\nabla f

no esta definida en este punto, pero aquí solo consideramos extremos “suaves”.

Definición 17 — Punto de silla.

Un punto crítico $p$ donde $f$ no alcanza un máximo ni mínimo local se llama punto de silla

p

es un punto de silla de

f,

hay un entorno

U_{p}

alrededor de

p

en el que hay elementos

x

para los que

f (x) - f (p) > 0

y hay elementos

x

en los que

f (x) - f (p) < 0 .

Esta definición de “punto de silla” puede variar según el texto.

Como en cálculo en una variable, los extremos locales se alcanzan en puntos críticos, es decir, en el caso de que $f$ sea diferenciable, la derivada de $f$ se anula en los puntos críticos. Pero también hay puntos críticos en los que $f$ no alcanza máximos ni mínimos locales (los llamados puntos de silla).

Teorema 13.

Sea $U \subset ℝ^{2}$ un conjunto abierto y $f : U \subset ℝ^{2} \to ℝ$ diferenciable, si $p \in ℝ^{2}$ es un extremo local de $f$ entonces $\nabla f (p) = 0,$ es decir, $p$ es punto crítico de $f .$

p

es punto crítico

\nabla f (p) = 0,

pero si

\nabla f (p) = 0,

esta sola condición no implica que el punto sea un extremo local.

Fig. 5.2: Extremos locales,

\nabla f (p) = 0

Fig. 5.3: Puntos de silla,

\nabla f (p) = 0