Ejercicios

En cada uno de los ejercicios que siguen, resuelva le problema de optimización propuesto y usando el criterio de clasificación, clasifique los puntos críticos encontrados.

6.1 Considere el problema: "Optimizar

f (x, y) = x^{2} + y^{3} + 1

sujeto a la restricción

x^{2} - y^{2} = - 1

" tiene un máximo y un mínimo local. Utilizando multiplicadores de Lagrange, determine el máximo local y el mínimo local.

L (x, y, λ) = x^{2} + y^{3} + 1 - λ (x^{2} - y^{2} + 1) ⟹ {\begin{matrix} 2 x (1 - λ) & = & 0 ⟹ x = 0 \lor λ = 1 \\ 3 y^{2} + 2 λy = 0 & = & 0 (E2) \end{matrix}

$∙$ $x = 0$ en (E2) nos da $y = \pm 1$ y sustituyendo en (E2) nos da $λ = \pm 3 ∕ 2,$ así que $(0, \pm 1)$ son dos puntos críticos.

$∙$ $λ = 1$ en (E2) nos da $y = 0$ y $y = - 2 ∕ 3$ pero al sustituir en (E3) no nos da solución.

Puntos críticos: $(0, - 1), (0, 1) .$ Máximo local $(0, 1, 2)$ y mínimo local $(0, - 1, 0)$

6.2(*) Considere el plano

Π : Ax + By + z + D = 0 .

Determine el punto

Q \in Π

en el que la distancia del origen hasta el plano

Π

es mínima e indique esta distancia.

La distancia de

Q = (x, y, z) \in Π

al origen es

d (x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} .

Este problema se puede resolver como

Minimizar $d (x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ sujeto a $Ax + By + z + D = 0$

O también, dado que $z = - Ax - By - D,$

Minimizar $d (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + {(- Ax - By - D)}^{2}}$ .

Lo haremos de la segunda manera. Como $\sqrt{f}$ y $f$ tienen los mismos extremos locales, podemos ahorrar un poco de cálculos resolviendo:

"Minimizar $d (x, y) = x^{2} + y^{2} + {(- Ax - By - D)}^{2}$ "

Puntos críticos.

$\nabla d = 0 ⟹ {\begin{matrix} (A^{2} + 1) x + ABy & = & - AD \end{matrix} ⟹ x = - \frac{AD}{1 + A^{2} + B^{2}} \land y = - \frac{BD}{1 + A^{2} + B^{2}}$

Clasificación. $D_{2}$ y $d_{xx}$ son constantes positivas.

$D_{2} = 4 A^{2} + 4 B^{2} + 4 > 0 \land d_{xx} = 2 + 2 A^{2} > 0$ .

Por tanto la distancia es mínima en $Q = - \frac{D}{1 + A^{2} + B^{2}} (A, B, 1)$ y la distancia mínima es $d = | | Q | | = - \frac{D}{1 + A^{2} + B^{2}}$

6.3 Utilice el método de Multiplicadores de Lagrange para determinar las dimensiones de una caja en la cual la suma de las longitudes de todas las aristas es 120 metros y que tenga el mayor volumen posible. Debe usar el criterio de clasificación.

En este caso

x > 0,

y > 0

z > 0,

por ser dimensiones.

Puntos críticos.

L (x, y, z, λ) = xyz - λ (4 x + 4 y + 4 z - 120)

{\begin{matrix} yz - 4 λ & = & 0 \\ xz - 4 λ & = & 0 \\ xy - 4 λ & = & 0 \\ 4 x + 4 y + 4 z - 120 & = & 0 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} yz & = & xz \\ xz & = & xy \end{matrix} ⟹ x = y = z

4 x + 4 y + 4 z - 120 = 0 ⟹ 16 x = 0 ⟹ x = y = z = 10 \land 4 λ = yz ⟹ λ = 25

Para determinar si estas dimensiones son las buscadas, usamo el criterio de clasificación.

Clasificación. El punto crítico es $P = (10, 10, 10)$ con $λ = 25 .$

${\bar{D}}_{2} = [\begin{matrix} 0 & 4 & 4 \\ 4 & 0 & z \\ 4 & z & 0 \end{matrix}] ⟹ {\bar{D}}_{2} (P) = 320 > 0$

${\bar{D}}_{3} = [\begin{matrix} 0 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 0 & z & y \\ 4 & z & 0 & x \\ 4 & y & x & 0 \end{matrix}] ⟹ {\bar{D}}_{3} (P) = - 4800 < 0$

Entonces con dimensiones $x = y = z = 10$ tenemos volumen máximo.

6.4 Considere el problema: Optimizar

f (x, y) = x^{2} - {(x - 1)}^{2} + y + {(y - 1)}^{2}

sujeto a la restricción

y - {(x - 1)}^{2} = 0 .

Calcule y clasifique los puntos críticos asociados al problema

L (x, y, λ) = x^{2} - {(x - 1)}^{2} + y + {(y - 1)}^{2} - λ (y - {(x - 1)}^{2})

Puntos críticos.

$\nabla L = 0 ⟹ {\begin{matrix} 2 x - 2 (x - 1) + 2 λ (x - 1) & = & 0 ⟹ 2 + 4 {(x - 1)}^{3} - 2 (x - 1) = 0 ⟹ x = 0 \\ 2 (y - 1) + 1 - λ & = & 0 ⟹ λ = 2 {(x - 1)}^{2} - 1 ↑ \\ y - {(x - 1)}^{2} & = & 0 ⟹ y = {(x - 1)}^{2} ↑ \end{matrix}$

Entonces $x = 0, y = 1$ y $λ = 1 .$

Clasificación. El punto crítico es $P = (0, 1)$ con $λ = 1 .$

${\bar{D}}_{2} = [\begin{matrix} 0 & - 2 (x - 1) & 1 \\ - 2 (x - 1) & 2 λ & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}] ⟹ {\bar{D}}_{2} (0, 1, 1) = - 10 < 0$

Entonces $(0, 1, f (1, 0))$ es un mínimo local del problema

6.5 Considere el problema: "Optimizar

f (x, y) = x^{2} + y^{3} + 1

sujeto a la restricción

x^{2} - y^{2} = 1

" tiene varios máximos y un mínimos locales. Utilizando multiplicadores de Lagrange, determine los máximos locales y los mínimos locales.

Puntos críticos:

(1, 0, 1), (- 1, 0, 1), (\frac{\sqrt{13}}{3}, - \frac{2}{3}), (\frac{- \sqrt{13}}{3}, - \frac{2}{3}) .

Los máximo locales son

(1, 0, 2)

(- 1, 0, 2)

y los mínimos locales son

(\frac{\sqrt{13}}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{58}{27})

(- \frac{\sqrt{13}}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{58}{27})

6.6Considere el plano

Π : x - 2 y + 4 z = 4

Q = (1, 0, 1) \notin Π .

Determine el punto

P = (x, y, z) \in Π

tal que la distancia

d (Q, Π) = d (Q, P)

es mínima.

L (x, y, z, λ) = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2}} - λ (x - 2 y + 4 z - 4)

Δ L = 0 ⟹ {\begin{matrix} x & = & \frac{20}{21} \\ y & = & \frac{2}{21} \\ z & = & \frac{17}{21} \end{matrix}

$P = (\frac{20}{21}, \frac{2}{21}, \frac{17}{21}) \in Π$ y $d (Q, Π) = | | Q - P | | = \frac{1}{\sqrt{21}}$

6.7 Considere el problema: "Optimizar

f (x, y) = x^{2} + y^{3} + 1

sujeto a la restricción

x^{2} - y^{2} = - 1

" tiene un máximo y un mínimo local. Utilizando multiplicadores de Lagrange, determine el máximo local y el mínimo local.

L (x, y, λ) = x^{2} + y^{3} + 1 - λ (x^{2} - y^{2} + 1) ⟹ {\begin{matrix} 2 x (1 - λ) & = & 0 ⟹ x = 0 \lor λ = 1 \\ 3 y^{2} + 2 λy = 0 & = & 0 (E2) \end{matrix}

$∙$ $x = 0$ en (E2) nos da $y = \pm 1$ y sustituyendo en (E2) nos da $λ = \pm 3 ∕ 2,$ así que $(0, \pm 1)$ son dos puntos críticos.

$∙$ $λ = 1$ en (E2) nos da $y = 0$ y $y = - 2 ∕ 3$ pero al sustituir en (E3) no nos da solución.

Puntos críticos: $(0, - 1), (0, 1) .$ Máximo local $(0, 1, 2)$ y mínimo local $(0, - 1, 0)$

6.8 Considere el problema: "Optimizar

f (x, y) = x^{2} + y^{3} + 1

sujeto a la restricción

x^{2} - y^{2} = 1

" tiene varios máximos y un mínimos locales. Utilizando multiplicadores de Lagrange, determine los máximos locales y los mínimos locales.

Puntos críticos:

(1, 0, 1), (- 1, 0, 1), (\frac{\sqrt{13}}{3}, - \frac{2}{3}), (\frac{- \sqrt{13}}{3}, - \frac{2}{3}) .

Los máximo locales son

(1, 0, 2)

(- 1, 0, 2)

y los mínimos locales son

(\frac{\sqrt{13}}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{58}{27})

(- \frac{\sqrt{13}}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{58}{27})

6.9Considere el plano

Π : x - 2 y + 4 z = 4

Q = (1, 0, 1) \notin Π .

Determine el punto

P = (x, y, z) \in Π

tal que la distancia

d (Q, Π) = d (Q, P)

es mínima.

L (x, y, z, λ) = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2}} - λ (x - 2 y + 4 z - 4)

Δ L = 0 ⟹ {\begin{matrix} x & = & \frac{20}{21} \\ y & = & \frac{2}{21} \\ z & = & \frac{17}{21} \end{matrix}

$P = (\frac{20}{21}, \frac{2}{21}, \frac{17}{21}) \in Π$ y $d (Q, Π) = | | Q - P | | = \frac{1}{\sqrt{21}}$

6.10Considere la superficie

S : z = x^{2} - y^{2}

Q = (0, 2, 2) \notin S .

Determine el punto

P = (x, y, z) \in S

tal que la distancia

d (Q, S) = d (Q, P)

es mínima.

L (x, y, z, λ) = \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2}} - λ (z - x^{2} - y^{2})

Δ L = 0 ⟹ x = 0, y 2 y^{3} - 3 y - 2 = 0 .

La solución de la cúbica se puede hacer con la calculadora. De este modo:

$P \approx (0, 1.47569, 2.17765)$ y $d (Q, Π) = | | Q - P | | \approx 0.553592$

6.11 Considere la superficie

S

de ecuación

x y^{2} z = 32 .

1: Si $(x, y, z) \in S$ entonces $x \neq 0, y \neq 0$ y $z \neq 0,$ ¿Porqué?
Como $x y^{2} z = 32$ entonces $x$ , $y$ ni $z$ puede ser nulos (sino el producto sería 0).
2: Use multiplicadores de Lagrange para encontrar los puntos $Q = (x, y, z) \in S$ que están más cerca del origen $O = (0, 0, 0)$ .
Problema: "Minimizar $d (Q, O)$ sujeto a la restricción $x y^{2} z = 32 .$ "

"Minimizar $d = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ sujeto a la restricción $x y^{2} z = 32 .$ "

Sea $L (x, y, z, λ) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} - λ (x y^{2} z - 32) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} - λ x y^{2} z - 32 λ) .$

$∙$ Puntos críticos.

${\begin{matrix} L_{x} & = & 0 \\ L_{y} & = & 0 \\ L_{z} & = & 0 \\ L_{λ} & = & 0 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} - λ y^{2} z & = & 0 (E1) \\ \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} - 2 λ xyz & = & 0 (E2) \\ \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} - λ x y^{2} & = & 0 (E3) \\ x y^{2} z - 32 & = & 0 (E4) \end{matrix}$

Como $x, y$ y $z$ son no nulos, podemos despejar $λ$ en las ecuaciones (E1), (E2) y (E3),

$λ = \overset{2 x^{2} = y^{2}}{\overset{︷}{\frac{x}{y^{2} z \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} = \frac{y}{2 xyz \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}}} = \frac{z}{x y^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}},$

de donde obtenemos $2 x^{2} = y^{2}$ y $y^{2} = 2 z^{2},$ es decir $x = \pm z$ y $y^{2} = 2 z^{2} .$ Sustituyendo en la ecuación (E4) nos queda $z \cdot 2 z^{2} \cdot z = 2 z^{4} = 32,$ es decir $z = \pm 2 .$

Finalmente, como $y^{2} > 0$ y como $x y^{2} z = 32$ entonces $x$ y $z$ deben tener el mismo signo, es decir, $x = z$ y $y = \pm \sqrt{2} z .$ Tenemos solo cuatro posibles soluciones,

$Q_{1} = (2, - 2 \sqrt{2}, 2);$ $λ = 1 ∕ 8,$
$Q_{2} = (2, - 2 \sqrt{2}, 2);$ $λ = 1 ∕ 8,$

$Q_{3} = (- 2, 2 \sqrt{2}, - 2);$ $λ = 1 ∕ 8,$

$Q_{4} = (- 2, 2 \sqrt{2}, - 2);$ $λ = 1 ∕ 8 .$

Como $d (Q_{1}, O) = d (Q_{2}, O) = d (Q_{3}, O) = d (Q_{4}, O)$ , los cuatro puntos son los puntos de $S$ más cercanos al origen.

6.12 La densidad de una superficie metálica esférica de ecuación

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

está dada por

ρ = 2 + xz + y^{2} .

Encuentre los puntos donde la densidad es mayor y menor.

Problema: “Maximizar

ρ = 2 + xz + y^{2}

sujeto a la restricción

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 = 0

”.

Sea $L (x, y, z, λ) = 2 + xz + y^{2} - λ (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4) .$ Factorizando en la ecuación $L_{y} = 0$ obtenemos los casos $y = 0$ y $λ = 1,$ y con las ecuaciones $L_{x} = 0$ y $L_{z} = 0$ obtenemos los casos $z = 0$ y $λ = \pm 1 ∕ 2 .$ Resolviedo para estos casos se obtienen los cuatro puntos críticos: $(0, \pm 2, 0), (\pm \sqrt{2}, 0, \pm \sqrt{2}), (\pm \sqrt{2}, 0, \mp \sqrt{2}) .$

Aplicando nuestro criterio de clasificación obtenemos que $ρ$ es máximo en los puntos $(0, \pm 2, 0)$ y mínimo en los puntos $(\pm \sqrt{2}, 0, \mp \sqrt{2}) .$

6.13Maximizar

z = 1 - y

sujeto a la condición

x^{6} + y^{6} = 1 .

(0, - 1, 2) .

6.14 Obtener el máximo local de

f (x, y) = 9 - x^{2} - y^{2}

sujeta a

x + y = 3

x = 3 ∕ 2, y = 3 ∕ 2, λ = - 3 .

6.15 Sean

k

una constante positiva y

C (r, h) = 2 k r^{2} + 2.5 (2 krh)

con

r, h > 0 .

Minimizar

C (r, h)

sujeta a la restricción

k r^{2} h = 1000

L (r, h, λ) = + 2 k r^{2} + 5 hkr - λ (hk r^{2} - 1000)

r \approx \frac{10.7722}{\sqrt[3]{k}}, h \approx \frac{8.61774}{\sqrt[3]{k}}, λ \approx 0.464159 \sqrt[3]{k}

6.16Determine los valores máximos y mínimos de

z = x^{2} y^{2}

sujeta a la condición

x^{2} + y^{2} = 1

λ = 0, x = - 1, y = 0, λ = 0, x = 1, y = 0, λ = 0, y = - 1, x = 0, λ = 0, y = 1, x = 0, λ = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{\sqrt{2}}, y = - \frac{1}{\sqrt{2}}, λ = \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{\sqrt{2}}, y = \frac{1}{\sqrt{2}}, λ = \frac{1}{2}, x = \frac{1}{\sqrt{2}}, y = - \frac{1}{\sqrt{2}}, λ = \frac{1}{2}, x = \frac{1}{\sqrt{2}}, y = \frac{1}{\sqrt{2}} .

El valos mínimo es $0$ y el valor máximo $\frac{1}{4} .$

6.17Calcule el valor mínimo de la función

f (x, y) = x^{2} + {(y - 2)}^{2}

(x, y)

son puntos de la hipérbola

x^{2} - y^{2} = 1 .

(\pm \sqrt{2}, 1)

λ = 1 .

Observe que

x = 0

no satisface la restricción.

6.18 Un tanque sin tapa, de forma de caja rectangular, debe tener un volumen de 8000 cm

^{3} .

Los costos anuales de calefacción se calculan de la siguiente manera: $2 por cm

^{2}

para el fondo y para dos de las caras laterales (opuestas) y $4 por cm

^{2}

para las restantes dos caras laterales. Hallar las dimensiones del tanque que minimizan el costo.

Si las dimensiones son

x, y

para la base y

z

para la altura, el problema consiste en minimizar

C (x, y, z) = 2 xy + 2 \cdot 2 xz + 4 \cdot 2 yz

sujeto a la restricción

V = xyz = 8000

(entonces

x, y, z > 0

). Aquí suponemos que las carascon costo $4 cm

^{2}

son las de lados

y

z

Si lo resolvemos por Lagrange,

$L (x, y, z, λ) = 2 xy + 4 xz + 8 yz - λ (xyz - 8000)$

Resolvemos ${\begin{matrix} L_{x} & = & 0 \\ L_{y} & = & 0 \\ L_{z} & = & 0 \\ L_{λ} & = & 0 \end{matrix} ⟹ x = 40, y = 20, z = 10$ (y $λ = 2 ∕ 5$ )

6.19Se quiere construir un cilindro circular recto con fondo pero sin tapa (ver figura). Si se dispone de

48 π c m^{2}

de lata para construirlo; use multiplicadores de Lagrange para determinar las dimensiones del cilindro de tal manera que su volumen sea máximo.

Problema: "Maximizar

V (r, h) = π r^{2} h

sujeto a

48 π = 2 πr h + π r^{2} .

$∙$

L (r, h, λ) = π r^{2} h - λ (2 r h + r^{2} - 48) .

$∙$

{\begin{matrix} L_{r} = 2 πrh - λ (2 h + 2 r) & = & 0 (1) \\ L_{h} = π r^{2} - λ 2 r & = & 0 (2) \\ L_{λ} = 2 r h + r^{2} & = & 48 (3) \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} λ & = & \frac{πrh}{h + r}, pues h > 0 y r > 0 . \\ λ & = & πr ∕ 2 \\ 2 r h + r^{2} & = & 48 \end{matrix}

Ahora,

λ = λ ⟹ \frac{πrh}{h + r} = \frac{π}{2} r ⟹ r (h - r) = 0 ⟹ r = h

(

r > 0

Luego, sustituimos $r = h$ en la ecuación $(3) :$

$2 r h + r^{2} = 48 ⟹ 2 h^{2} + h^{2} = 48 ⟹ h = \pm 4 .$

$∴$ Las dimensiones son $h = 4$ y $r = 4 .$

6.20 Se desea construir un tanque para almacenar agua caliente en un cilindro con un tope esférico (media esfera).
El tanque se debe diseñar de tal manera que puede almacenar

300

^{3}

de líquido. Determinar la altura total y el diámetro del tanque de tal manera que la pérdida de calor en la superficie sea mínima. ( La pérdida de calor en la superficie será mínima si su área es mínima).

Problema: “Minimizar

A = 3 π r^{2} + 2 πrh

sujeto a la restricción

V = π r^{2} h + \frac{2}{3} π r^{3} = 400

”

La altura total es

h + r \approx 8.49

m y el diámetro es

d \approx 8.49

6.21(*) Consideremos el problema: Minimizar

f (x, y) = x^{3} + y^{3}

sujeto a la restricción

g = x - y = 0 .

(0, 0)

no es ni máximo ni mínimo local de

f

D

pues

\forall 𝜖 > 0,

(𝜖, 𝜖) \in D

(- 𝜖, - 𝜖) \in D

pero

f (0, 0) = 0 > f (- 𝜖, - 𝜖) = - 2 𝜖^{3}

f (0, 0) = 0 < f (𝜖, 𝜖) = 2 𝜖^{3}

. Sin embargo, verifique que

(0, 0)

es la única solución del sistema

\nabla L (x, y, λ) = 0

(*) Se omite

6.22(*) Consideremos el problema: Maximizar

z = - y

sujeto a la restricción

y^{3} - x^{2} = 0 .

El punto

(0, 0, 0)

es un máximo local para este problema pues como

y^{3} = x^{2}

entonces

y \geq 0

por lo que

z (x, y) = - y \leq = 0 = z (0, 0)

\forall (x, y) \in D .

Verfique que

(0, 0)

no es punto crítico de

L (x, y, λ) = - y - λ (y^{3} - x^{2}) .

(*) Se omite