7. ¿Puede fallar el método de Lagrange?

En general, el método de multiplicadores de Lagrange es muy eficiente, sin embargo los puntos críticos de L no necesariamente son solución del problema de optimización que da origen a L.

Consideremos el problema: Minimizar f(x,y) = x3 + y3 sujeto a la restricción g = x − y = 0.
(0,0) no es ni máximo ni mínimo local de f en D pues ∀ ⁡𝜖 > 0, (𝜖,𝜖) ∈D y (−𝜖,−𝜖) ∈D pero f(0,0) = 0 > f(−𝜖,−𝜖) = −2𝜖3 y f(0,0) = 0 < f(𝜖,𝜖) = 2𝜖3.

Sin embargo (0,0) satisface ∇ ⁡g(0,0) = (1,−1)≠(0,0) y es la única solución (con λ = 0 ) del sistema ∇ ⁡L(x,y,λ) = 0,

Lx = 3x2 − λ = 0 Ly = 3y2 − λ = 0 Lλ = x − y = 0

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Figura 5.14: (0,0,0) es punto crítico de L pero no es solución del problema

Cuando ∇ ⁡g se anula. El método de multiplicadores de Lagrange requiere que ∇ ⁡g no se anule en los puntos críticos de f sobre D para que el conjunto de puntos críticos de L contenga al conjunto de puntos críticos de f sobre D. Si ∇ ⁡g(x) se anula podrían pasar varias cosas de cuidado.

• Consideramos el problema de mínimizar la distancia de la curva (x − 1)3 − y2 = 0 al origen, es decir, minimizar d = x2 + y2 sujeta a (x − 1)3 − y2 = 0. Este problema es equivalente al problema:

Minimizar d = x2 + y2 sujeta a (x − 1)3 − y2 = 0.

x = 1 y y = 0 es una solución del problema (como se ve gráficamente), pues este punto está en la curva de restricción y también (x − 1)3 = y2 entonces (x − 1)3 ≥ 0⟹x ≥ 1. Por tanto de D, d(x,y) = x2 + y2 ≥ d(1,0) = 1.

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Figura 5.15: La distancia de la curva al origen se minimiza si x = 1 y y = 0

(1,0) no es punto crítico de L. La lagrangiana sería L(x,y,λ) = x2 + y2 − λ[(x − 1)3 − y2] y debemos resolver el sistema

{ 2x − 3λ(x − 1)2 = 0  (E1)  2y + 2yλ = 0  (E2)  (x − 1)3 − y2 = 0  (E3) 

Factorizando en (E2) obtenemos y = 0 y λ = −1. Sustituyendo y = 0 en (E3) nos da x = 1, pero este valor no es solución pues no satisface (E1). Sustituyendo λ = −1 en (E1) nos da la cuadrática 3x2 − 4x + 3 = 0 que tiene raíces complejas, así que el sistema no tiene soluciones en ℝ y los puntos críticos de L no detectan el mínimo local (1,0,1)

• Problema: Maximizar z = −y sujeto a la restricción y3 − x2 = 0
(0,0,0) es un máximo local para este problema pues como y3 = x2 entonces y ≥ 0 por lo que z(x,y) = −y ≤= 0 = z(0,0) ∀ ⁡(x,y) ∈D.

(0,0) no es punto crítico de L(x,y,λ) = −y − λ(y3 − x2). El sistema ∇ ⁡L = 0 no tiene solución. El método de multiplicadores de Lagrange no detecta el óptimo.

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Figura 5.16: Máximo local en (0,0,0)

• Problema: Maximizar z = 2x3 − 3x2 sujeto a la restricción (3 − x)3 − y2 = 0

Este problema tiene solo un máximo local cuando x = 3 y y = 0 pero este máximo no está dentro de los cuatro puntos críticos de L.

El sistema ∇ ⁡L = 0 tiene cuatro soluciones, todas con λ = 0,

(0,±33,0),

(1,±22,0)

y no detecta el máximo local en (3,0).

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Figura 5.17: Máximo local se alcanza en (3,0), pero éste no es punto crítico de L

• Problema: Mínimo z = x2 + y2 sujeto a la restricción x2 − y2 = 0

El mínimo local se alcanza en (0,0) y aunque ∇ ⁡g(0,0) = (0,0), ahora sí (0,0) es solución del problema de optimización. En este caso ∇ ⁡f(0,0) = (0,0) por lo que trivialmente la ecuación ∇ ⁡f − λ∇ ⁡g = 0 tiene infinitas solución (0,0,λ) con λ ∈ℝ.

Multiplicadores de Lagrange vs sustituir la restricción. Consideremos el problema

 Optimizar z = x2 − y2 sujeto a la restricción x2 + y2 = 1


Con multiplicadores de Lagrange

L(x,y,λ) = x2 − y2 − λ(x2 + y2 − 1)
∇ ⁡L = 0⟹(x,y,λ) = { (0,−1,−1) (0,1,−1) (1,0,1)
Con una sustitución
Si hacemos la sustitución y2 = 1 − x2 en z = x2 − y2, z = 2x2 − 1

dz dx = 0⟹(x,y) = { (0,−1) (0,1)

El método de sustitución funciona si hacemos la otra sustitución x2 = 1 − y2... pero...

Determinar extremos absolutos. Si el conjunto de puntos Ag donde la restricción g se anula, es cerrado y acotado y si f es continua entonces si hay extremos absolutos en Ag. Formalmente uno obtiene los valores de la función en los puntos críticos y los compara con los valores de la función en la frontera de Ag y así obtiene los extremos absolutos.

Los puntos críticos los detectamos usando el método de multiplicadores de Lagrange, pero también a veces hay extremos excepcionales en Ag en los que el gradiente de f o el de g se indefinen o puntos donde el gradiente de g se anula como el ejemplo anterior.