Maximos y minimos locales. Caso n = 3.

5. Máximos y mínimos locales. Caso $n = 3$ .

La derivada de $f : ℝ^{3} \to ℝ$ es la "forma lineal" $Df (p) (v) = \nabla f (p) \cdot v$ . Un punto $p$ es un punto crítico si $Df (p) = 0$ , i.e.,

\nabla f (p) = 0 ⟺ \frac{∂f}{\partial x_{i}} (p) = 0, i = 1, 2, 3 .

Un punto crítico que no es ni máximo ni mínimo local se llama punto de silla.

Como en cálculo en una variable, los extremos locales son puntos críticos, es decir, en el caso de que $f$ sea diferenciable, la derivada de $f$ se anula en los puntos críticos.

Para clasificar los puntos críticos usamos la fórmula de Taylor de segundo orden. En el caso de tres variables tenemos el siguiente teorema

Teorema 15 — Criterio de clasificación.

Sea $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ una función de tres variables con derivadas parciales de segundo orden continuas en un punto $p = (p_{1}, p_{2}, p_{3})$ . Definamos los tres determinantes principales (menores principales) de la matriz Hessiana $H (p)$ como sigue:

D_{1} (p) = det [\begin{matrix} f_{x_{1} x_{1}} (p) \end{matrix}]

D_{2} (p) = det [\begin{matrix} f_{x_{1} x_{1}} (p) & f_{x_{1} x_{2}} (p) \\ f_{x_{2} x_{1}} (p) & f_{x_{2} x_{2}} (p) \end{matrix}]

D_{3} (p) = det [\begin{matrix} f_{x_{1} x_{1}} (p) & f_{x_{1} x_{2}} (p) & f_{x_{1} x_{3}} (p) \\ f_{x_{2} x_{1}} (p) & f_{x_{2} x_{2}} (p) & f_{x_{2} x_{3}} (p) \\ f_{x_{3} x_{1}} (p) & f_{x_{3} x_{2}} (p) & f_{x_{3} x_{3}} (p) \end{matrix}]

Entonces:

$∙$

f

alcanza un mínimo local en

p

si:

D_{1} (p) > 0, D_{2} (p) > 0, D_{3} (p) > 0

(Es decir, todos los determinantes principales son positivos).

$∙$

f

alcanza un máximo local en

p

si:

D_{1} (p) < 0, D_{2} (p) > 0, D_{3} (p) < 0

(Es decir, los determinantes de orden impar son negativos y el de orden par es positivo).

$∙$

Si ninguna de estas condiciones se cumple (por ejemplo, si

D_{3} = 0

o si los signos no siguen el patrón anterior), el criterio es inconcluso y en

p

podría haber o no haber un extremo local.

Ejemplo132Puntos críticos y clasificación

Determine y clasifique los puntos críticos de $f (x, y, z) = x^{2} + 3 y^{2} + 4 z^{2} - 2 xy - 2 yz + 2 xz$

Solución.

1

Puntos críticos: Resolvemos el sistema

{\begin{matrix} f_{x} = & x - y + z & = & 0 \\ f_{y} = & - x + 3 y - z & = & 0 \\ f_{z} = & x - y + 4 z & = & 0 \end{matrix}

así, el único punto crítico es $P = (0, 0, 0)$ .

2

Test: Como tenemos una función de tres variables, calculamos

D_{1} (p), D_{2} (p)

D_{3} (p)

D_{3} (p) = Det (\begin{matrix} f_{xx} (p) & f_{xy} (p) & f_{xz} (p) \\ f_{yx} (p) & f_{yy} (p) & f_{yz} (p) \\ f_{zx} (p) & f_{zy} (p) & f_{zz} (p) \end{matrix}) = Det (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 3 & - 1 \\ 1 & - 1 & 4 \end{matrix}) > 0

D_{2} (p) = Det (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix}) > 0, D_{1} (p) = f_{x} x (p) = 1 > 0

por lo tanto en

P = (0, 0, 0)

f

alcanza un mínimo local. El mínimo local es

(0, 0, 0, f (p))

Ejemplo133Puntos críticos y clasificación

Determine y clasifique los puntos críticos de $f (x, y, z) = x^{2} - y^{2} - zy$ .

Solución.

1

Puntos críticos: Resolvemos el sistema

{\begin{matrix} f_{x} = & 2 x & = & 0 \\ f_{y} = & - 2 y - z & = & 0 \\ f_{z} = & - y & = & 0 \end{matrix}

así, el único punto crítico es $P = (0, 0, 0)$ .

• Test: Como tenemos una función de tres variables, calculamos

D_{1} (p), D_{2} (p)

D_{3} (p)

$D_{3} (p) = Det (\begin{matrix} f_{xx} (p) & f_{xy} (p) & f_{xz} (p) \\ f_{yx} (p) & f_{yy} (p) & f_{yz} (p) \\ f_{zx} (p) & f_{zy} (p) & f_{zz} (p) \end{matrix}) = Det (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix}) = - 2 < 0$

D_{2} (p) = Det (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{matrix}) = - 4 < 0, D_{1} (p) = f_{xx} (p) = 2 > 0

Tenemos que en $(0, 0, 0, f (0, 0, 0))$ es un punto de silla

Como en cálculo en una variable, los extremos

locales

de una función de varias variables son puntos donde la función alcanza un máximo o un mínimo en un entorno del dominio de la función. Si la función está definida en una región

D,

los extremos globales son los puntos donde la función toma valores máximos o mínimos y esto podría suceder en cualquier parte de la región en consideración. Recordemos que un entorno abierto alrededor de

p \in ℝ^{n}

de radio

δ

es el conjunto

U_{δ} (p) = {x \in ℝ^{n} : | | x - p | | < δ}

(discos sin borde en

ℝ^{2}

y el interior de esferas en

ℝ^{3}

Definición 18 — (Extremos locales)..

Sea $f$ función escalar de $n$ variables, $f : ℝ^{n} \to ℝ .$

$f$ tiene un máximo local en $p = (p_{1}, p_{2}, . . ., p_{n}) \in R^{n}$ si existe un entorno abierto $U_{δ} (p)$ tal que $f (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}) \leq f (p)$ para todo $(x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}) \in U_{δ} (p) .$ El punto $(p_{1}, p_{2}, . . ., p_{n}, f (p))$ se dice un máximo local de $f$ y el número $f (p)$ es el máximo de $f$ en el entorno $U_{δ} (p) .$

$f$ tiene un mínimo local en $p = (p_{1}, p_{2}, . . ., p_{n}) \in R^{n}$ si existe un entorno abierto $U_{δ} (p)$ tal que $f (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}) \geq f (p)$ para todo $(x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}) \in U_{δ} (p) .$ El punto $(p_{1}, p_{2}, . . ., p_{n}, f (p))$ se dice un mínimo local de $f$ y el número $f (p)$ es el mínimo de $f$ en el entorno $U_{δ} (p) .$

Si las desigualdades de la definición anterior se cumplen para todos los puntos en el dominio de

f,

entonces

f

tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto) en

p .

Puntos críticos y extremos locales

Recordemos que la derivada de $f : ℝ^{n} \to ℝ$ en $p$ es el funcional lineal

Df (p) (v) = \nabla f (p) \cdot v,

donde $\nabla f (p)$ es el vector gradiente. Identificamos $Df (p)$ con $\nabla f (p)$ , aunque en rigor son objetos distintos (Teorema de representación de Riesz).

Un punto $p \in ℝ^{n}$ es un punto crítico de $f$ si $Df (p) = 0$ (como funcional) o si $Df (p)$ no está definida. Equivalentemente, si $f$ es diferenciable:

\frac{∂f}{\partial x_{i}} (p) = 0, i = 1, \dots, n .

Un punto crítico que no es máximo ni mínimo local se llama punto de silla.

Como en cálculo en una variable, los extremos locales son puntos críticos: si $f$ es diferenciable, $Df (p) = 0$ en todo extremo local.

Teorema 16.

Sea $U \subset ℝ^{n}$ un conjunto abierto y $f : U \subset ℝ^{n} \to ℝ$ diferenciable, si $p \in ℝ^{n}$ es un extremo local de $f$ entonces $D f (p) = 0,$ es decir, $p$ es punto crítico de $f .$

Clasificación de puntos críticos

La fórmula de Taylor de segundo orden en $n$ variables dice que si $U_{δ} (p)$ es un entorno alrededor de $p \in ℝ^{n}$ y $f : U \subseteq ℝ^{n} \to ℝ,$ es de clase $C^{2}$ en $U_{δ} (p),$ entonces si $h = (h_{1}, . . ., h_{n}) \in ℝ^{n},$ existe $0 < ξ < 1$ tal que

f (x + h) = f (x) + \sum_{i = 1}^{n} h_{i} \frac{∂f}{\partial x_{i}} (x) + R_{1} (x, h) con R_{1} (x, h) = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} h_{i} h_{j} \frac{\partial 2 f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (x + ξ h) .

Si definimos

D^{2} f = (\begin{matrix} \frac{\partial 2 f}{\partial x_{1} \partial x_{1}} & . . . & \frac{\partial 2 f}{\partial x_{1} \partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial 2 f}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & . . . & \frac{\partial 2 f}{\partial x_{n} \partial x_{n}} \end{matrix}),

entonces

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} h_{i} h_{j} \frac{\partial 2 f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (x + ξ h) = h \cdot D^{2} f (x + ξ h) \cdot h^{T} .

Así, la fórmula de Taylor de segundo orden se puede escribir como,

f (x + h) = f (x) + D f (x) \cdot h^{T} + \frac{1}{2} h \cdot D^{2} f (x + ξ h) \cdot h^{T}, 0 < ξ < 1 .

La matriz Hess siana² de $f$ en $x$ es la matriz $D^{2} f (x) .$

Evaluando en un punto crítico $p,$ $Df (p) = 0$ y la fórmula de Taylor de segundo orden queda

f (p + h) - f (p) = h \cdot D^{2} f (x + ξ h) \cdot h^{T}, para algún ξ \in] 0, 1 [.

También se puede expresar como:

f (p + h) - f (p) = h \cdot D^{2} f (p) \cdot h^{T} + | | h | |^{2} E_{2} (p, h), con E_{2} (p, h) \to 0 si h \to 0

Como el error

| | h | |^{2} E_{2} (p, h) \to 0

más rápido que

| | h | |^{2},

entonces en un entorno pequeño de

p,

el signo de la resta

f (p + h) - f (p)

es el signo de

h \cdot D^{2} f (p) \cdot h^{T} .

$h \cdot D^{2} f (p) \cdot h^{T}$ depende de $h .$ Para establecer si $h \cdot D^{2} f (p) \cdot h^{T}$ es positiva o negativa para todos los valores de $h$ en un entorno, se usa la teoría de formas cuadráticas.

Matriz definida positiva y matriz definida negativa.

Definición 19.

Una forma cuadrática $g : ℝ^{n} \to ℝ,$ $g (h) = h \cdot A_{n \times n} \cdot h^{T},$ es definida positiva si $g (h) \geq 0$ para todo $h \in ℝ^{n}$ y $g (h) = 0$ solo si $h = 0 .$ Similarmente, $g$ es definida negativa si $g (h) \leq 0$ para todo $h \in ℝ^{n}$ y $g (h) = 0$ solo si $h = 0 .$

Del álgebra lineal se sabe que si $A = {(a_{ij})}_{n \times n}$ y

D_{1} = a_{11}, D_{2} = Det [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \end{matrix}] \dots D_{n} = Det [\begin{matrix} a_{11} . . . & . . . a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \end{matrix}]

entonces

• $h \cdot A_{n \times n} \cdot h^{T}$ es definitiva positiva si $D_{i} > 0$ para $i = 1, 2, . . ., n$

• $h \cdot A_{n \times n} \cdot h^{T}$ es definitiva negativa si sgn $(D_{i}) = {(- 1)}^{i}$ para $i = 1, 2, . . ., n$

Test de clasificación. Para funciones de varias variables la clasificación de un punto crítico

p

se puede establecer si

h \cdot D^{2} f (p) \cdot h^{T}

es definida positiva o definida negativa. Esto se hace calculando los menores

D_{1}, D_{2}, . . ., D_{n} .

Teorema 17 — (Condición suficiente)..

Sea $U$ un conjunto abierto y $f : U \subseteq ℝ^{n} \to ℝ$ de clase $C^{2}$ en $U$ y $p \in U$ un punto crítico de $f .$ Si $h \cdot D^{2} f (p) \cdot h^{T}$ es definida positiva, entonces $p$ es un mínimo relativo de $f .$ Similarmente, si $h \cdot D^{2} f (p) \cdot h^{T}$ es definida negativa, entonces $p$ es un máximo relativo de $f .$

En la demostración de este teorema se establece que si

h \cdot D^{2} f (p) \cdot h^{T}

es definida positiva entonces en la fórmula de Taylor obtenemos

f (p + h) - f (p) \geq 0

en un entorno de

p,

es decir

f (p)

es un valor mínimo local. Similarmente, si

h \cdot D^{2} f (p) \cdot h^{T}

es definida negativa entonces en la fórmula de Taylor obtenemos

f (p + h) - f (p) \leq 0

en un entorno de

p,

es decir

f (p)

es un valor máximo local.

Clasificación de puntos críticos en el caso de dos variables.

De acuerdo a lo que hemos establecido en la sección anterior, en el caso de dos variables es sencillo determinar si $h \cdot D^{2} f (p) \cdot h^{T}$ es definida positiva o definida negativa. En este caso,

h \cdot D^{2} f (p) \cdot h^{T} = (h_{1} h_{2}) (\begin{matrix} f_{xx} (p) & f_{xy} (p) \\ f_{yx} (p) & f_{yy} (p) \end{matrix}) (\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \end{matrix}) .

f

tiene derivadas parciales de segundo orden continuas, las derivadas mixtas son iguales y entonces

D_{1} (p) = f_{xx} (p)

D_{2} = f_{xx} (p) \cdot f_{yy} (p) - {[f_{xy} (p)]}^{2} .

En este caso a veces se usa

f_{xx} (p)

en vez de

D_{1}

D_{2} (p)

en vez de

D_{2} .

Teorema 18 — Condición suficiente.

Sea $f : ℝ^{2} \to ℝ$ de clase $C^{3}$ en un conjunto abierto $U$ de $ℝ^{2} .$ Sea

D_{2} (x, y) = f_{xx} (x, y) \cdot f_{yy} (x, y) - {[f_{xy} (x, y)]}^{2} .

Si $(x_{0}, y_{0}) \in U$ es punto crítico de $f,$ entonces

1.: si $D_{2} (x_{0}, y_{0}) > 0$ y $f_{xx} (x_{0}, y_{0}) > 0,$ entonces $f$ alcanza un mínimo local en $(x_{0}, y_{0}) .$
2.: si $D_{2} (x_{0}, y_{0}) > 0$ y $f_{xx} (x_{0}, y_{0}) < 0,$ entonces $f$ alcanza un máximo local en $(x_{0}, y_{0}) .$
3.: Si $D_{2} (x_{0}, y_{0}) < 0,$ entonces $(x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$ es u punto de silla.

Criterio de clasificación para $n \geq 3$ .

Del teorema de Taylor y de la teoría de formas cuadráticas, podemos obtener las siguientes condiciones suficientes para un máximo o un mínimo local.

Teorema 19.

Sea $D_{1} (p), D_{2} (p), . . ., D_{n} (p),$ $n$ determinantes definidos como sigue:

D_{i} (p) = Det {[\begin{matrix} f_{x_{1} x_{1}} (p) & f_{x_{1} x_{2}} (p) & \dots & f_{x_{1} x_{i}} (p) \\ f_{x_{2} x_{1}} (p) & f_{x_{2} x_{2}} (p) & \dots & f_{x_{2} x_{i}} (p) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix}]}_{i \times i}

Entonces,

$∙$: $f$ alcanza un un mínimo en $p$ si $D_{1} (p) > 0, D_{2} (p) > 0, . . ., D_{n} (p) > 0$
$∙$: $f$ alcanza un un máximo en $p$ si todos los determinantes pares son positivos y todos los determinantes impares son negativos, i. e., $D_{i} (p) > 0$ si $i$ es par $D_{i} (p) < 0$ si $i$ es impar
$∙$: Si ninguna de estas condiciones es satisfecha, entonces en $p$ podría haber o no haber un extremo local.

El criterio no decide si

D_{i} (p) = 0

para algún

i

En los siguientes ejercicios calcule y clasifique (si el criterio lo permite) los puntos críticos de las siguientes funciones:

6.1

f (x, y, z) = 4 xy - 2 x^{2} - 3 y^{2} + z^{2},

{\begin{matrix} 4 y - 4 x & = & 0 \\ 4 x - 6 y & = & 0 \\ 2 z & = & 0 \end{matrix}

• Solo un punto crítico

p = (0, 0, 0)

• ${D_{3} (p), D_{2} (p), D_{1} (p)} = {16, 8 - 4}$

• $(0, 0, 0, f (p))$ es punto de silla

6.2

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{3} - yz - x,

{\begin{matrix} 2 x - 1 & = & 0 \\ 2 y - z & = & 0 \end{matrix}

• Puntos críticos:

p = (1 ∕ 2, 0, 0)

q = (1 ∕ 2, 1 ∕ 12, 1 ∕ 6)

• En $p$ la función $f$ alcanza un punto de silla y en $q$ un mínimo local.

6.3

f (x, y, z) = x^{2} - y^{2} + xy + z

6.4

f (x, y, z) = x^{2} - z^{2} - zyx

6.5

f (x, y, z) = x^{2} - xy + x z^{2} + x + y^{2} - z^{2}

{\begin{matrix} 2 x - y + z^{2} + 1 & = & 0 \\ 2 y - x & = & 0 \\ 2 xz - 2 z & = & 0 ⟹ 2 z (x - 1) = 0 \end{matrix}

• Solo un punto crítico

p = (- \frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, 0)

• ${D_{3} (p), D_{2} (p), D_{1} (p)} = {- 10, 3 2}$

• $(- \frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, 0, f (p))$ es punto de silla

5. Máximos y mínimos locales. Caso n = 3.

Puntos críticos y extremos locales

Clasificación de puntos críticos

Clasificación de puntos críticos en el caso de dos variables.

Criterio de clasificación para n ≥ 3.

5. Máximos y mínimos locales. Caso $n = 3$ .

Criterio de clasificación para $n \geq 3$ .