Derivada direccional II

18. Derivada direccional II

En la sección 7. habíamos establecido la derivada direccional: Si

S

es una superficie de ecuación

S : z = f (x, y)

entonces la derivada direccional de

f

x_{0} \in ℝ^{2}

en la dirección del vector unitario

v

, es la pendiente de la tangente en

P = f (x_{0})

sobre la curva de intesección del plano generado por la recta

L : x_{0} + h v, h \in ℝ

, es decir,

\frac{d}{dh} f (x_{0} + h v)

La idea principal es que la derivada direccional en la dirección de

v

, es la derivada de

f

sobre una trayectoria

r (h) = x_{0} + h v

, por eso podemos aplicar la regla de la cadena.

Si $x_{0} = (x_{0}, y_{0})$ y $v = (a, b)$ , hacemos el cambio de variable $x = x_{0} + ha$ y $y = y_{0} + hb$ , entonces, usando la regla de la cadena, obtenemos que la derivada direccional es

\frac{d}{dh} f (x_{0} + h v) = \frac{d}{dh} f (x, y) = \frac{∂f}{∂x} a + \frac{∂f}{∂y} b = \nabla f (x_{0}, y_{0}) \cdot v

Fig. 4.12:

Definición 14 — Derivada direccional.

Sea $f : D \subset ℝ^{2} \to ℝ$ una función escalar y sean $(x_{0}, y_{0}) \in D$ y $v = (a, b)$ un vector unitario, entonces la derivada direccional de $f$ en $(x_{0}, y_{0})$ en la dirección del vector unitario $v,$ está dada por :

\begin{matrix} D_{v} f (x_{0}, y_{0}) & = & lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f (x_{0}, y_{0})}{h} \end{matrix}

Si $f : D \subset ℝ^{n} \to ℝ$ diferenciable y $v \in ℝ^{n}$ , entonces

\begin{matrix} D_{v} f (x) & = & lim_{h \to 0} \frac{f (x + h v) - f (x)}{h} \end{matrix}

Teorema 10 — (Cálculo de la derivada direccional).

Sea $f : D \subset ℝ^{2} \to ℝ$ una función escalar diferenciable en $D,$ entonces $f$ tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector no nulo $v = (a, b) \neq 0$ y está dada por:

\begin{matrix} D_{v} f (x, y) & = & \nabla f (x, y) \cdot \frac{v}{| | v | |} = f_{x} (x, y) \frac{a}{| | v | |} + f_{y} (x, y) \frac{b}{| | v | |} \end{matrix}

Si $f : D \subset ℝ^{n} \to ℝ$ es diferenciable y $v \in ℝ^{n}$ (no nulo), entonces

\begin{matrix} D_{v} f (x) & = & \nabla f (x) \cdot \frac{v}{| | v | |} \end{matrix}

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de

z = f (x, y)

en el punto

x = (x_{0}, y_{0})

en la dirección de un vector unitario arbitrario

v = (a, b)

, para esto consideremos la superficie

S

con ecuación

z = f (x, y)

(la gráfica de

f

) y sea

z_{0} = f (x_{0}, y_{0})

. Entonces el punto

P = (x_{0}, y_{0}, z_{0})

pertenece a

S

. El plano vertical generado por la recta

L

que pasa por el punto

(x_{0}, y_{0}, 0)

en la dirección del vector

v,

interseca a la superficie

S

en la curva

C

. La pendiente de la recta tangente

T

a la curva

C

en el punto

P

es la tasa de cambio de

z

en la dirección del vector

v

Sea $Q = (x, y, z)$ otro punto sobre la curva $C$ , y sean $P^{'} = (x_{0}, y_{0})$ y $Q^{'} = P^{'} + h v$ las proyecciones ortogonales sobre el plano $XY$ de los puntos $P$ y $Q,$ entonces

P^{'} Q^{'} = Q^{'} - P^{'} = h v

para algún escalar $h$ . Así pues,

x - x_{0} = ha ⟹ x = x_{0} + ha

y - y_{0} = hb ⟹ y = y_{0} + hb

El cambio sobre recta $L$ es $| | P^{'} Q^{'} | | = h | | v | | = h$ pues $v$ es unitario, por tanto la razón de cambio está dada por

\frac{Δ z}{h | | v | |} = \frac{Δ z}{h} = \frac{z - z_{0}}{h} = \frac{f (x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f (x_{0}, y_{0})}{h}

y al tomar el límite cuando

h \to 0

(siempre y cuando este límite exista) obtenemos la tasa de cambio instantánea de

z

(con respecto a la distancia) en la dirección de

v,

la cual se llama derivada direccional de

f

en la dirección de

v

Aplicando regla de la cadena, obtenemos una fórmula para la derivada direccional en términos del gradiente. Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la dirección de un vector

v = (a, b)

no necesariamente unitario, entonces si

(x, y) = (x_{0} + ha, y_{0} + hb),

\begin{matrix} D_{v} f (x_{0}, y_{0}) & = & lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f (x_{0}, y_{0})}{h | | v | |} \\ = & \frac{1}{| | v | |} \cdot {\frac{d}{dh} f (x, y) |}_{h = 0} \\ = & \frac{1}{| | v | |} \cdot (\frac{∂f}{∂x} \cdot \frac{dx}{dh} + \frac{∂f}{∂y} \cdot \frac{dy}{dh}) \\ = & \frac{1}{| | v | |} \cdot (\frac{∂f}{∂x} \cdot a + \frac{∂f}{∂y} \cdot b) \end{matrix}

Derivada direccional

D_{v} f (x, y)

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Ejemplo119Cálculo de derivadas direccionales

Calcule la derivada direccional $D_{v} f (x, y)$ si $f (x, y) = x^{3} - 3 xy + 4 y^{2}$ y $v = (\sqrt{3}, 1) .$ Y también calcule $D_{v} f (1, 2)$ .

Solución.

1: Evaluar el gradiente: $\nabla f (x, y) = (3 x^{2} - 3 y, - 3 x + 8 y)$ entonces $\nabla f (1, 2) = (- 3, 13)$
2: $| | v | | = 2$
3: Cálculo: ${\begin{matrix} D_{u} f (1, 2) & = & \nabla f (1, 2) \cdot \frac{v}{| | v | |} \\ = & (- 3, 13) \cdot \frac{(\sqrt{3}, 1)}{2} \\ = & - 3 \frac{\sqrt{3}}{2} + 13 \frac{1}{2} \end{matrix}$

Ejemplo120Cálculo de derivadas direccionales

Calcule la derivada direccional de $f (x, y, z) = x sen (yz),$ en el punto $P = (1, 3, 0)$ en la dirección del vector $v = i + 2 j - k .$

Solución.

1

El vector gradiente de la función

f

esta dado por

\nabla f (x, y, z) = (sen (yz), xz cos (yz), xy cos (yz))

Evaluando en $P$ tenemos que $\nabla f (1, 3, 0) = (0, 0, 3)$ .

2

Por otro lado, como

| | v | | = \sqrt{6},

un vector unitario en la dirección de

v

\frac{v}{| | v | |} = \frac{1}{\sqrt{6}} i + \frac{2}{\sqrt{6}} j - \frac{1}{\sqrt{6}} k = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, - \frac{1}{\sqrt{6}})

3

Cálculo:

D_{v} f (1, 3, 0) = \nabla f (1, 3, 0) \cdot \frac{v}{| | v | |} = (0, 0, 3) \cdot (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{- 1}{\sqrt{6}}) = - \frac{3}{\sqrt{6}}

Componentes del gradiente La fórmula

D_{v} f (x, y) = \nabla f (x, y) \cdot \frac{v}{| | v | |}

nos dice que la derivada direccional es la componente (un escalar) del vector gradiente

\nabla f (P)

en la dirección del vector

v

. En la dirección del gradiente hay un tasa de cambio, entonces la derivada direccional es la parte de esa tasa de cambio, al ir en dirección de

v

Fig. 4.13:

Dirección de máximo y mínimo cambio. Suponga que tenemos una función

f

de dos o de tres variables y consideramos todas las posibles derivadas direccionales de

f

en un punto

P

dado. Esto proporciona las tasas de cambio de

f

en todas las posibles direcciones. De modo que podemos plantear la siguiente pregunta : ¿En cuál de estas direcciones

f

cambia con mayor velocidad?, y ¿cuál es la máxima razón de cambio?.

Intuitivamente, de acuerdo a la Figura 4.13, la derivada direccional en $P$ aumenta (en valor absoluto) conforme el vector $v$ se acerca al gradiente.

Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema.

Teorema 11 — (Dirección de máximo cambio).

Sea $f : D \subseteq ℝ^{2} \to ℝ$ una función escalar. El valor máximo de la derivada direccional $D_{v} f$ en $(x, y)$ es $| | \nabla f (x, y) | |$ y se presenta cuando el vector (no nulo) $v$ tiene la misma dirección que el vector gradiente $\nabla f (x, y)$ (no nulo).

Podemos justificar esto, informalmente, de la manera que sigue. Primero recordemos que si

𝜃 = ∡ u, v

entonces

u \cdot v = | | u | | \cdot | | v | | cos (𝜃) .

Ahora

\begin{array}{rcl} D_{v} f (x, y) & = & \nabla f (x, y) \cdot \frac{v}{| | v | |} \\ = & | | \nabla f (x, y) | | cos 𝜃 . \end{array}

donde $𝜃$ es el ángulo entre el vector unitario $\frac{v}{| | v | |}$ y el vector $\nabla f (x, y) .$

Fig. 4.14:

El valor de $D_{v} f (x, y)$ aumenta o disminuye solo si $cos 𝜃$ cambia (si giramos el vector $v$ ).

Así que el máximo valor se obtiene cuando $cos 𝜃 = 1$ (es decir $𝜃 = 0$ ). Por tanto $D_{v} f (x, y)$ es máxima cuando $𝜃 = 0$ y en ese caso $v$ y $\nabla f (x, y)$ son paralelos.

Derivada direccional

1

D_{v} f (x) = \nabla f (x) \cdot \frac{v}{| | v | |}

2

D_{v} f (x) = 0 si v ⊥ \nabla f (x)

3

Valor máximo: El valor máxnimo de la derivada direccional en

P

| | \nabla f (P) | |

y ocurre cuando

v

tiene la misma dirección que

\nabla f (P) .

D_{\nabla f} f (P) = | | \nabla f (P) | |

4

Valor mínimo: El valor mínimo de la derivada direccional en

P

- | | \nabla f (P) | |

y ocurre cuando

v

tiene la misma dirección que

- \nabla f (P) .

D_{- \nabla f} f (P) = - | | \nabla f (P) | |

5

La recta tangente en

P,

en dirección de

v \in ℝ^{2}

L_{v} (t) = P + t \cdot (v_{0}, v_{1}, \nabla z (P) \cdot (v_{0}, v_{1}))

o, en términos de la derivada direccional,

L_{v} (t) = P + t \cdot (\frac{v_{0}}{| | v | |}, \frac{v_{1}}{| | v | |}, D_{v} z (P))

6

f

es diferenciable, en

P

existe un plano tangente y todas las curvas que pasen por

P

sobre la superficie

z = f (x, y)

tienen su recta tangente contenida en ese mismo plano (la existencia de todas las derivadas direccionales no implica diferenciabilidad).

Observación:

f

se mantiene constante sobre las curvas de nivel; la dirección (un vector

v

) en la que el cambio (instantáneo) de

f

respecto a

P,

es nulo es la dirección de un vector perpendicular a

\nabla f (P) .

Que la derivada direccional se anule en

P

en la dirección de

u

no significa, por supuesto que en esta dirección la función se mantenga constante (esto solo pasa sobre las curvas de nivel) excepto que la curva de nivel sea una recta.

Propósito: Visualizar las direcciones de máximo y mínimo crecimiento de la curva en un punto. Puede manipular el vecor dirección (verde) en el plano 2D y arrastrar el punto para obtener el gradiente. La pendiente de la recta tangente a la curva de intersección cambia a máxima pendiente, mínima pendiente o pendiente nula si se escoge la dirección $v$ perpendicular al gradiente

Use SHIFT-arrastre para mover la superficie y arrastre para rotar.

Gradiente y derivada direccional

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Ejemplo121Dirección de cambio máximo

Considere la placa rectangular que se muestra en la figura de la derecha. Si la temperatura en un punto

(x, y)

de la placa está dada por

T (x, y) = 4 {(x - 2)}^{2} - 7 {(y - 0.4)}^{2}

determine la dirección en la que debe de ir un insecto que está en el punto $P = (0, 0)$ , para que se caliente lo más rápidamente. ¿Y qué debe hacer el insecto si desea ir por un camino en el que la temperatura se mantenga constante?

Fig. 4.15: Mejor dirección, respecto a

(0, 0)

Solución.

Tenemos $\nabla T (x, y) = (8 (x - 2), - 14 (y - 0.4)) ⟹ \nabla T (0, 0) = (- 16, 5.6)$

La dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente respeto a $P$ es la dirección del gradiente $\nabla T (0, 0) = (- 16, 5.6)$

En cuanto a la otra pregunta, aunque la derivada direccional es nula en la dirección de un vector perpendicular al gradiente (vector rojo en la Figura 4.15) esto solo dice que la razón de cambio instántaneo en esa dirección es cero. La trayectoria en la que la temperatra se mantiene constante es la curva de nivel

T (x, y) = T (0, 0)

(curvas blancas). Es por ahí donde debería caminar el insecto.

Ejemplo122Dirección de cambio máximo

Suponga que la temperatura en un punto $(x, y, z)$ en el espacio está dada por

T (x, y, z) = \frac{80}{1 + x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2}}

donde

T

está medida en grados centígrados y

x, y, z

están en metros. ¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura respecto al punto

(1, 1, - 2)

? ¿Cuál es la máxima tasa de incremento ?

Solución.

El gradiente de $T$ es

\nabla T (x, y, z) = - \frac{160 x}{{(1 + x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2})}^{2}} i - \frac{320 y}{{(1 + x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2})}^{2}} j - \frac{480 z}{{(1 + x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2})}^{2}} k

Evaluando en el punto

P = (1, 1, - 2)

obtenemos

\nabla T (1, 1, - 2) = \frac{5}{8} (- i - 2 j + 6 k)

Por tanto, la temperatura se incrementa con mayor rapidez en la dirección del vector gradiente

v = - i - 2 j + 6 k

La tasa máxima de incremento es la longitud del vector gradiente

$| | \nabla T (1, 1, - 2) | | = \frac{5}{8} | | - i - 2 j + 6 k | | = \frac{5 \sqrt{41}}{8}$

Ejemplo123

Considere la superficie $S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ y $P = (1 ∕ \sqrt{3}, 1 ∕ \sqrt{3}, \sqrt{10 ∕ 3}) .$ Derivando implícitamente obtenemos,

\nabla z = (- \frac{x}{z}, - \frac{y}{z}) y \nabla z (P) = (- \frac{1}{\sqrt{10}}, - \frac{1}{\sqrt{10}})

En particular, la pendiente de la recta tangente en

P

en la dirección de

v = (1, 1)

D_{(1, 1)} z (P) = \nabla z (1 ∕ \sqrt{3}, 1 ∕ \sqrt{3}) \cdot \frac{(1, 1)}{\sqrt{2}} = - \sqrt{2} \approx - 1.41421

mientras que la pendiente de la recta tangente en

P

en la dirección de

\nabla z (P)

D_{\nabla z (P)} z (P) = \nabla z (P) \cdot \frac{\nabla z (P)}{| | \nabla z (P) | |} = | | \nabla z (P) | | = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.44721

19.1 Sea

f (x, y) = 4 - x^{2} - y^{2}

la ecuación de una superficie

S .

1: Calcule $D_{u} f (R)$ si $u = (- 2, 1)$ y $R = (1, - 1, 2)$ es un punto en la superficie.

$\nabla f = (- 2 x, - 2 y)$
$D_{u} f (R) = \nabla f (R) \cdot \frac{u}{| | u | |} = (- 2, 2) \cdot \frac{(- 2, 1)}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$
2: Determine el punto $P = (a, b, c) \in S$ para el cual la derivada direccional de $f$ en $P$ es $\sqrt{2}$ en dirección de $u = (- 2, 1)$ y $\sqrt{5}$ en la dirección de $v = (1, 1) .$

$\begin{array}{rcl} D_{u} f (P) & = & (- 2 a, - 2 b) \cdot (- 2, 1) ∕ \sqrt{5} = \sqrt{2} ⟹ 4 a - 2 b = \sqrt{10} \\ D_{v} f (P) & = & (- 2 a, - 2 b) \cdot (1, 1) ∕ \sqrt{2} = \sqrt{5} ⟹ - 2 a - 2 b = \sqrt{10} \end{array}$
Entonces, $a = 0$ y $b = - \sqrt{5 ∕ 2} .$ $P = (0, - \sqrt{5 ∕ 2}, 3 ∕ 2) .$
3: Determine un vector $u$ para el cual la derivada direccional en $R = (1, - 1, 2) \in S$ es máxima y calcule su valor.

$D_{u} f (R)$ es máxima si $u = \nabla f (R) = (- 2, 2) .$ En este caso, $D_{\nabla f (R)} f (R) = | | \nabla f (R) | | = \sqrt{8} .$

19.2 Sea

x^{2} + xyz + z^{3} = 1

la ecuación de una superficie

S .

1: Calcule $D_{u} z (Q)$ si $u = (- 2, 1)$ y $Q = (1, 2, 0) \in S$

$\nabla f = (- \frac{2 x + yz}{xy + 3 z^{2}}, \frac{- xz}{xy + 3 z^{2}})$
$D_{u} f (Q) = \nabla z (Q) \cdot \frac{v}{| | v | |} = (- 1, 0) \cdot \frac{(- 2, 1)}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
2: Determine $b \in ℝ - {0}$ tal que en $P = (1, b, 0) \in S$ y $D_{u} z (P) = \sqrt{2} .$

$D_{v} z (P) = (- 2 ∕ b, 0) \cdot (- 2, 1) ∕ \sqrt{5} = \sqrt{2} ⟹ b = 4 ∕ \sqrt{10}$
3: Determine un vector $u$ para el cual la derivada direccional en $R = (1, - 1, 1) \in S$ es mínima y calcule su valor.

$D_{u} z (R)$ es mínima si $u = - \nabla z (R) = (1 ∕ 2, 1 ∕ 2) .$ En este caso, $D_{\nabla z (R)} z (R) = - | | \nabla z (R) | | = - \sqrt{1 ∕ 2} .$

19.3 Considere la superficie

S

de ecuación

z^{3} + xz + y = 1 .

P = (1, 1, 0) \in S

1: Calcule $D_{u} z (P)$ donde $u = (1, - 2)$

$z = z (x, y)$ está definida de manera implícita. Sea $F (x, y, z) = z^{3} + xz + y - 1 .$

$\nabla z = (- \frac{F_{x}}{F_{z}}, - \frac{F_{y}}{F_{z}},) = (- \frac{z}{3 z^{2} + x}, - \frac{1}{3 z^{2} + x});$

$\begin{array}{rcl} D_{u} z (P) & = & \nabla z (P) \cdot \frac{(1, - 2)}{\sqrt{5}} \\ = & (0, - 1) \cdot \frac{(1, - 2)}{\sqrt{5}} = 2 ∕ \sqrt{5} \approx 0.894427 . \end{array}$
2: ¿Cuál es el máximo valor que podría alcanzar la derivada direccional en $P$ y en cuál dirección $v$ se alcanza?

El máximo valor que podría alcanzar la derivada direccional en $P$ es $| | \nabla z (P) | | = 1$ cuando $v = \nabla z (P) = (0, - 1) .$

19.4 Considere la superficie

S

de ecuación

xy z^{2} = 8 z .

P = (1, 1, 8) \in S

1: Calcule $D_{u} z (P)$ donde $u = (- 5, \sqrt{2})$

$z = z (x, y)$ está definida de manera implícita. Sea $F (x, y, z) = xy z^{2} - 8 z .$

$\nabla z = (- \frac{F_{x}}{F_{z}}, - \frac{F_{y}}{F_{z}},) = (- \frac{y z^{2}}{2 zxy - 8}, - \frac{x z^{2}}{2 zxy - 8});$

$\begin{array}{rcl} D_{u} z (P) & = & \nabla z (P) \cdot \frac{(- 5, \sqrt{2})}{\sqrt{27}} \\ = & (- 8, - 8) \cdot \frac{(- 5, \sqrt{2})}{\sqrt{27}} = \frac{40 - 8 \sqrt{2}}{\sqrt{27}} \approx 5.52068 \end{array}$
2: ¿Cuál es el máximo valor que podría alcanzar la derivada direccional en $P$ y en cuál dirección $v$ se alcanza?

19.5 Considere la superficie

S

de ecuación

e^{xz} + xy = yz + 1 .

Sea

P = (0, 1, 0) \in S .

Calcule la derivada direccional de

z

P

en la dirección del vector

u = (1, 2) .

D_{u} z (P) = (1, 1) \cdot \frac{(1, 2)}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}

19.6Considere la superficie

S

de ecuación

x^{2} + x z^{3} = - y^{2} z

P = (1, 0, - 1) \in S .

Calcule

D_{u} z (P)

donde

u = (1, - 1)

z

está definida de manera implícita. Sea

G (x, y, z) = x^{2} + x z^{3} + y^{2} z

$\nabla z = (- \frac{G_{x}}{G_{z}}, - \frac{G_{y}}{G_{z}},) = (- \frac{2 x + z^{3}}{y^{2} + 3 x z^{2}}, - \frac{2 yz}{y^{2} + 3 x z^{2}})$

$\begin{matrix} D_{u} z (P) & = & \nabla z (P) \cdot \frac{(1, - 1)}{\sqrt{2}} \end{matrix}$

19.7 Sea

S

una superficie de ecuación

z = ln (x^{2} + y^{2}) + x (y + 3)

P = (1, 0, 3) \in S .

1.: Determine una ecuación de la recta tangente en la dirección del eje $X,$ es decir, en la dirección de $v = (1, 0) .$
2.: Determine una ecuación de la recta tangente en la dirección $v = (- 1, 3) .$
3.: Determine una ecuación cartesiana del plano tangente a $S$ en $P$

Podemos usar las ecuaciones que indicamos más arriba.

1.

\frac{∂z}{∂x} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}} + y + 3

{\frac{∂z}{∂x} |}_{Q} = 5 .

Entonces una ecuación de la recta tangente en la dirección del eje

X

L_{_{X}} (t) = P + t \cdot (1, 0, 5)

2.

Como

\nabla z = (\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}} + y + 3, \frac{2 y}{x^{2} + y^{2}} + x),

entonces, una ecuación de la recta tangente en la dirección

v = (- 1, 3)

L_{_{v}} (t) = P + t \cdot (- 1, 3, \nabla z (1, 0) \cdot (- 1, 3)) = P + t \cdot (- 1, 3, (5, 1) \cdot (- 1, 3)) = P + t \cdot (- 1, 3, - 2)

o, en términos de la derivada direccional,

L_{_{v}} (t) = P + t \cdot (- \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}, \frac{- 2}{10})

3.

G (x, y, z) = z - ln (x^{2} + y^{2}) - x (y + 3)

entonces

\nabla G = (- \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}} + y + 3, - \frac{2 y}{x^{2} + y^{2}} + x, 1) .

Un vector normal es

N = (- 5, - 1, 1) .

Una ecuación cartesiana del plano tangente a

S

Q

- 5 x - y + z = (- 5, - 1, 1) \cdot (1, 0, 3) = - 2

19.8 Sea

S

la superficie de ecuación

z = x^{2} + 2 y^{2} .

Obtener una ecuación cartesiana del plano tangente a

S

P = (1, 1, 3) .

Primera manera. En este caso

z_{x} (x, y) = 2 x

z_{y} (x, y) = 4 y .

Entonces una ecuación cartesiana sería,

z_{x} (1, 1) (x - 1) + z_{y} (1, 1) (y - 1) = z - 3,

es decir,

2 (x - 1) + 4 (y - 1) = z - 3,

Otra manera. Sea

S : G (x, y, z) = z - x^{2} - 2 y^{2} = 0 .

Entonces un vector normal al plano tangente a

S

P

\nabla G = (- 2 x, - 4 y, 1) .

Ahora,

\nabla G (1, 1, 3) = (- 2, - 4, 1),

entonces una ecuación del plano tangente es

\begin{array}{rcl} - 2 x - 4 y + 1 z & = & \nabla G (1, 1, 3) \cdot P \\ = & - 3 \end{array}

19.9 Consideremos la superficie

S

de ecuación

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .

Sea

P = (1 ∕ \sqrt{3}, 1 ∕ \sqrt{3}, 1 ∕ \sqrt{3}) \in S .

Calcular la ecuación cartesiana del plano tangente en

P .

1.: La ecuación de $S$ es $G (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0 .$
2.: $\nabla G (x, y, z) = (2 x, 2 y, 2 z) .$
3.: $N = \nabla G (P) = (2 ∕ \sqrt{3}, 2 ∕ \sqrt{3}, 2 ∕ \sqrt{3})$ y $d = P \cdot \nabla G (P) = 2$
4.: Una ecuación cartesiana del plano tangente: $\frac{2}{\sqrt{3}} x + \frac{2}{\sqrt{3}} y + \frac{2}{\sqrt{3}} z = 2$ o también $x + y + z = \sqrt{3} .$

19.10 Consideremos la superficie

S

de ecuación

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .

P = (0, 1, 0) \in S .

Calcule la ecuación del plano tangente a

S

P .

Sea

G (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 .

Entonces

\nabla G (x, y, z) = (2 x, 2 y, 2 z) .

Por tanto un vector normal es

N = G (0, 1, 0) = (0, 2, 0)

La ecuación cartesiana del plano tangente a

S

P

0 \cdot x + 2 \cdot y + 0 \cdot z = 2,

es decir

y = 1 .

Observe que en este punto, como $\nabla z (x, y) = (- \frac{x}{z}, - \frac{x}{z})$ , la derivada direccional no existe.

19.11 Consideremos la superficie

S

de ecuación

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .

Encuentre los puntos

Q = (a, b, c) \in S

tal que el plano tangente en

Q

sea paralelo al plano

2 x - y + 3 z = 1 .

Q

tiene tres incógnitas así que necesitamos, en principio, tres ecuaciones.

1.

Como

Q \in S,

esto nos da una ecuación:

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 .

2.

Como el plano tangente en

Q

es paralelo al plano

2 x - y + 3 z = 1,

sus vectores normales deben ser paralelos, es decir

\nabla G (Q) = λ (2, - 1, 3)

esto nos da tres ecuaciones adicionales y una incógnita más, $λ .$

1.

Para encontrar

Q

solo debemos resolver el sistema

{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} & = & 1 \\ \nabla G (Q) & = & λ (2, - 1, 3) \end{matrix}

es decir,

{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} & = & 1 \\ (2 a, 2 b, 2 c) & = & λ (2, - 1, 3) \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} & = & 1 \\ 2 a & = & 2 λ \\ 2 b & = & - λ \\ 2 c & = & 3 λ \end{matrix}

Resolviendo, obtenemos las dos soluciones

Q = (- \frac{1}{\sqrt{2 ∕ 7}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, - \frac{3}{\sqrt{14}}), λ = - \sqrt{2 ∕ 7} y Q = (\frac{1}{\sqrt{2 ∕ 7}}, - \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}), λ = \sqrt{2 ∕ 7}

19.12 Sea

f (x, y) = 4 - x^{2} - y^{2}

la ecuación de una superficie

S .

1: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $R = (1, - 1, 2)$ "en la dirección del eje $X$ " (en la dirección del vector $v = (1, 0)$ )
$L_{X} (t) = R + t \cdot (1, 0, - 2)$
2: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $R = (1, - 1, 2)$ "en la dirección del eje $Y$ " (en la dirección del vector $v = (0, 1)$ )
$L_{Y} (t) = R + t \cdot (0, 1, 2)$
3: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $R = (1, - 1, 2)$ "en la direción del vector $u = (- 2, 1)$ "
$L_{u} (t) = R + t \cdot (- 2, 1, 6)$
4: Determine un vector normal a $S$ en $R = (1, - 1, 2)$
Si $G (x, y, z) = z - 4 + x^{2} + y^{2} = 0 ⟹ N = \nabla G (R) = (2, - 2, 1)$
5: Encuentre la ecuación cartesiana del plano tangente a $S$ en el punto $R = (1, - 1, 2) \in S .$
La superficie $S$ tiene ecuación $z = 4 - x^{2} - y^{2} .$ Si $G = z - 4 + x^{2} + y^{2}$ entonces un vector normal al plano es $N = \nabla G (R) = (2, - 2, 1) .$ Luego la ecuación cartesiana es $2 x - 2 y + z = 6 .$
6: Determine un vector $u$ para el cual la derivada direccional en $R = (1, - 1, 2) \in S$ es máxima y calcule su valor.

$D_{u} f (R)$ es máxima si $u = \nabla f (R) = (- 2, 2) .$ En este caso, $D_{\nabla f (R)} f (R) = | | \nabla f (R) | | = \sqrt{8} .$

19.13Sea

x^{2} + xyz + z^{3} = 1

la ecuación de una superficie

S .

Encuentre una ecuación cartesiana del plano tangente a

S

en el punto

R = (1, - 1, 1) \in S .

La superficie

S

tiene ecuación

G (x, y, z) = x^{2} + xyz + z^{3} - 1,

entonces

\nabla G = (2 x + yz, xz, xy + 3 z^{2}) .

Un vector normal al plano es

N = \nabla G (R) = (1, 1, 2) .

Luego la ecuación cartesiana es

x + y + 2 z = 2 .

19.14Considere la superficie

S : xyz + ln (xyz) - z = 0

y el punto

P (1, 1, 1) \in S

1.: Determine una ecuación del plano tangente a $S$ en $P$ .
2.: Determine una ecuación de la recta tangente a $S$ en $P$ en la dirección del eje $X$ .
3.: Determine una ecuación de la recta tangente a $S$ en $P$ , en la dirección del vector $v = (2, 3)$ .
4.: (*) Determine si hay algún punto $Q$ en la superficie $S$ en la que el plano tangente sea $x + y + z = 0$

1.

F (x, y, z) = xyz + ln (xyz) - z = 0

$\nabla F (P) = (F_{x}, F_{y}, F_{z}) |_{P} = {(yz + \frac{1}{x}, xz + \frac{1}{y}, xy + \frac{1}{z} - 1) |}_{P} = (2, 2, 1)$

$π : \nabla F (P) \cdot (x - 1, y - 1, z - 1) = 0$

$π : 2 x + 2 y + z = 5$

2.

$z_{x} (P) = - \frac{F_{x} (P)}{F_{z} (P)} = - \frac{2}{1} = - 2$

$ℓ : (x, y, z) = P + t (1, 0, z_{x} (P)); t \in ℝ$

$ℓ : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t (1, 0, - 2); t \in ℝ$

3.

$\nabla z (P) = (- \frac{F_{x} (P)}{F_{z} (P)}, - \frac{F_{y} (P)}{F_{z} (P)}) = (- 2, - 2)$

$ℓ : (x, y, z) = P + t (v_{1}, v_{2}, \nabla z (P) \cdot (v_{1}, v_{2})); t \in ℝ$

$\nabla z (P) \cdot (v_{1}, v_{2}) = (- 2, - 2) \cdot (2, 3) = - 10$

$ℓ : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t (1, 3, - 10); t \in ℝ$

4.

Si $Q = (a, b, c) \in S ⟹ abc + ln (abc) - c = 0,$ es decir, $abc > 0 .$

El plano tangente tiene ecuación $x + y + z = 0 ⟹ \nabla F (Q) = α (1, 1, 1)$ ( $\nabla F (Q)$ tiene la misma dirección que $(1, 1, 1)$ ) y $\nabla F (Q) \cdot Q = 0,$ entonces

${\begin{matrix} Q & \in & S \\ \nabla F (Q) & = & α (1, 1, 1) \\ F (Q) \cdot Q & = & 0 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} abc + ln (abc) - c & = & 0 \\ bc + \frac{1}{a} & = & α (E 2) \\ ac + \frac{1}{b} & = & α (E 3) \\ ab + \frac{1}{c} - 1 & = & α (E 4) \end{matrix}$

Este sistema no tiene solución. Hay varias maneras de verlo, por ejemplo, multiplicando (E2) por

a

, (E3) por

b

, (E4) por

c,

obtenemos

${\begin{matrix} abc + ln (abc) - c & = & 0 \\ abc + 1 & = & α a (E 2) \\ abc + 1 & = & α b (E 3) \\ abc + 1 - c & = & α c (E 4) \end{matrix}$

• Restando (E4) y (E5) se obtiene

(α - \frac{2}{3}) c = 0 ⟹

α = - 2 ∕ 3

(pues

c \neq 0 .)

• De (E2), (E3) y (E4) se despeja $- 2 a = c$ y $- 2 b = c .$

• Sustituyendo en (E5) queda $c^{3} ∕ 4 - c ∕ 3 + 1 = 0,$ resolviendo se obtiene $c \approx - 1.86 ⟹ abc < 0$

Pero la presencia de

ln (abc)

en la ecuación de

S

no permite que

abc < 0 .

Por tanto no existe

Q \in S .

19.15Considere la superficie

S : z = x^{2} + y^{2}

1.: (*) ¿Existe $P \in S$ tal que una ecuación del plano tangente a $S$ en $P$ es $2 x + 2 y + z = 0$ ?
2.: Determine un punto $Q \in S$ si se sabe que las rectas tangentes a $S$ en $Q,$ en las direcciones de $u = (1, 1)$ y $v = (- 1, 1)$ tienen una ecuación vectorial $L_{u} (t) = Q + t (1, 1, 5)$ y $L_{v} (t) = Q + t (- 1, 1, 4),$ respectivamente.

1.

Sea

G (x, y, z) = z - x^{2} - y^{2} .

P = (a, b, c) \in S ⟹ c = a^{2} + b^{2} .

El plano tangente tiene ecuación $2 x + 2 y + z = 0 ⟹ \nabla G (P) = λ (2, 2, 1),$ y además, $(2, 2, 1) \cdot P = 0$

${\begin{matrix} - 2 a & = & 2 λ \\ - 2 b & = & 2 λ \end{matrix} ⟹ a = - 1, b = - 1 y como P \in S ⟹ z = 2$

Pero si

P = (- 1, - 1, 2) ⟹ (- 1, - 1, 2) \cdot (2, 2, 1) = - 2 \neq 0 .

Por tanto no hay ‘un tal

P

con lo requerido.

2.

Sea

Q = (a, b, c) \in S ⟹ c = a^{2} + b^{2} .

Además

\nabla z (Q) = (2 a, 2 b)

De los datos tenemos que

${\begin{matrix} \nabla z (Q) \cdot (1, 1) & = & 5 \\ \nabla z (Q) \cdot (- 1, 1) & = & 4 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} 2 a + 2 b & = & 5 \\ - 2 a + 2 b & = & 4 \end{matrix} ⟹ a = \frac{1}{4} \land b = \frac{9}{4}$

Entonces

Q = (\frac{1}{4}, \frac{9}{4}, \frac{41}{8})

19.16Considere la superficie

S

de ecuación

z^{3} + xz + y = 1 .

P = (1, 1, 0) \in S .

Calcule una ecuación cartesiana del plano tangente en el punto

P

Como la superficie

S

tiene ecuación

G (x, y, z) = z^{3} + xz + y - 1,

la ecuación cartesiana del plano tangente en el punto

P

\nabla G (P) \cdot (x, y, z) = \nabla G (P) \cdot P .

•

\nabla G (x, y, z) = (z, 1, 3 z^{2} + x)

•

N = \nabla G (1, 1, 0) = (0, 1, 1)

La ecuación cartesiana del plano tangente en el punto $P$ es $y + z = 1 .$

19.17Calcule una ecuación vectorial de la recta normal a la superficie

S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

en el punto

P = (1 ∕ 2, 1 ∕ 2, 1 ∕ \sqrt{2})

La recta normal

L

pasa por

P

y va en la dirección de un vector normal a la superficie

S

P .

Podemos tomar

N = \nabla G (P) = (1, 1, 2 ∕ \sqrt{2}),

así una ecuación vectorial de la recta es

L : (x, y, z) = P + t (1, 1, 2 ∕ \sqrt{2}), t \in ℝ .

19.18 Considere la superficie

S

de ecuación

e^{xz} + xy = yz + 1 .

Sea

P = (0, 1, 0) \in S .

1: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $P$ "en la dirección del eje $X$ " (en la dirección del vector $v = (1, 0)$ )
$L_{X} (t) = P + t \cdot (1, 0, 1)$
2: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $P$ "en la dirección del eje $Y$ " (en la dirección del vector $v = (0, 1)$ )
$L_{Y} (t) = P + t \cdot (0, 1, 1)$
3: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $P$ "en la direción del vector $v = (2, - 4)$ "
$L_{v} (t) = P + t \cdot (2, - 4, - 2)$
4: Calcule una ecuación cartesiana del plano tangente a $S$ en $P .$
$- x - y - z = - 1$

19.19Considere la superficie

S

de ecuación

x^{2} + x z^{3} = - y^{2} z

P = (1, 0, - 1) \in S .

Calcule una ecuación cartesiana del plano tangente a

S

en el punto

P

Como

G (x, y, z) = x^{2} + x z^{3} + y^{2} z,

la ecuación cartesiana del plano tangente en el punto

P

\nabla G (P) \cdot (x, y, z) = \nabla G (P) \cdot P

•

\nabla G (x, y, z) = (2 x + z^{3}, 2 yz, y^{2} + 3 x z^{2})

• $N = \nabla G (1, 0, - 1) = (1, 0, 3)$

La ecuación cartesiana del plano tangente en el punto $P$ es $x + 3 z = - 2 .$

19.20 Considere la superficie

S : z = cos (x + sen y)

1.: Calcule $D_{v} z (1, 1)$ donde $v = (2, 1)$
2.: Calcule una ecuación vectorial de la recta tangente a $S$ en $P = (1, 1, z (1, 1))$ en la dirección del eje $X$
3.: Calcule una ecuación vectorial de la recta tangente a $S$ en $P = (1, 1, z (1, 1))$ en la dirección del eje $Y$
4.: Calcule una ecuación vectorial de la recta tangente a $S$ en $P = (1, 1, z (1, 1))$ en la dirección de $v = (2, 1)$
5.: Determine una ecuación vectorial y una ecuación cartesiana del plano tangente a $S$ en $P = (1, 1, z (1, 1))$

Se omite