Ejercicios

3.1 Calcule y clasifique los puntos críticos de la función

f (x, y) = - 3 x^{2} y + x^{2} + x y^{3} .

f_{y} = - 3 x^{2} + 3 x y^{2} = 0 ⟹ x = 0 \lor x = y^{2}

Los puntos críticos son

(0, 0)

y

P = (\frac{4}{25}, \frac{2}{5}) .

En

(0, 0)

el criterio no decide, en

(\frac{4}{25}, \frac{2}{5}, f (p))

es punto de silla.

3.2 Calcule y clasifique los puntos críticos de la función

f (x, y) = x^{4} + y^{4} - 4 xy + 1 .

Puntos críticos.

{\begin{matrix} \frac{∂f}{∂x} & = & 4 x^{3} - 4 y & = & 0 & ⟹ & y = x^{3}, \\ \frac{∂f}{∂y} & = & 4 y^{3} - 4 x & = & 0 & ⟹ & x (x^{8} - 1) = 0 & ⟹ & {\begin{matrix} x & = & 0 \\ x & = & \pm 1 \end{matrix} \end{matrix}

Puntos críticos:

(0, 0), (1, 1), (- 1, - 1) .

Clasificación. $D_{2} (x, y) = f_{xx} \cdot f_{yy} - {(f_{xy})}^{2} = 12 x^{2} \cdot 12 y^{2} - 16 .$


$p$	$f_{xx} (p)$	$f_{yy} (p)$	${(f_{xy} (p))}^{2}$	$D_{2} (p)$	Clasificación

$(0, 0)$	$0$	$0$	$16$	$- 16$	$(0, 0, 1)$ es punto de silla.

$(1, 1)$	$12$	$12$	$16$	$128$	$(1, 1, - 1)$ es mínimo local.

$(- 1, - 1)$	$12$	$12$	$16$	$128$	$(- 1, - 1, - 1)$ es mínimo local

3.3 Determine y clasifique los puntos críticos de

f (x, y) = x^{3} + 3 x y^{2} - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 4 .

Puntos críticos.

${\begin{matrix} f_{x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x & = & 0 (E 1) \\ f_{y} = 6 xy - 6 y & = & 0 (E 2) \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} 3 (x^{2} + y^{2} - 2 x) & = & 0 \\ 6 y (x - 1) & = & 0 ⟹ y = 0 o x = 1 . \end{matrix}$

• Si

y = 0,

sustituyendo en

(E 1)

queda

3 (x^{2} - 2 x) = 0 ⟹ x = 0, x = 2 .

• Si

x = 1,

sustituyendo en

(E 1)

queda

3 (y^{2} - 1) = 0 ⟹ y = 1, y = - 1 .

Finalmente, tenemos cuatro puntos críticos: $(0, 0), (2, 0), (1, 1)$ y $(1, - 1) .$

Clasificación.

D_{2} (x, y) = f_{xx} \cdot f_{yy} - {(f_{xy})}^{2} = (6 x - 6) \cdot (6 x - 6) - 36 y^{2} .

$∙$: En $(0, 0) f$ alcanza un máximo relativo, pues $D_{2} (0, 0) = 36 > 0$ y $f_{xx} (0, 0) = - 6 < 0 .$
$∙$: En $(2, 0) f$ alcanza un mínimo relativo pues $D_{2} (2, 0) = 36 > 0$ y $f_{xx} (2, 0) = 6 > 0 .$
$∙$: En $(1, 1) f$ no alcanza un extremo pues $D_{2} (1, 1) = - 36 < 0$ (punto de silla).
$∙$: En $(1, - 1) f$ no alcanza un extremo pues $D_{2} (1, - 1) = - 36 < 0$ (punto de silla).

3.4 Sea

z = xy + \frac{a}{x} + \frac{b}{y}

la ecuación de una superficie (con

a

y

b

constantes). Si

P = (1, 2)

es un punto crítico de

z,

determine si en

p

la función alcanza un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de silla.

Como

P = (1, 2)

es punto crítico, las derivadas parciales de

z

se anulan en

P,

es decir

${\begin{matrix} {\frac{∂z}{∂x} |}_{(1, 2)} & = & 0 \\ {\frac{∂z}{∂x} |}_{(1, 2)} & = & 0 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} {(y - \frac{a}{x^{2}}) |}_{(1, 2)} & = & 0 \\ {(x - \frac{b}{y^{2}}) |}_{(1, 2)} & = & 0 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} 2 - \frac{a}{1^{2}} & = & 0 \\ 1 - \frac{b}{2^{2}} & = & 0 \end{matrix} ⟹ a = 2 y b = 4$

Ahora,

D_{2} (x, y) = (\frac{2 a}{x^{3}}) (\frac{2 b}{y^{3}}) - 1^{2} = (\frac{4}{x^{3}}) (\frac{8}{y^{3}}) - 1 .

• $D_{2} (1, 2) = 3$ y $z_{xx} (1, 2) = 4 > 0 .$ Luego, en el punto $P = (2, 1)$ $z$ alcanza un mínimo relativo.

3.5 Calcular y clasificar los puntos críticos de

z = 4 x^{2} - xy + y^{2}

.

• Puntos críticos: Resolvemos el sistema,

{\begin{matrix} z_{x} = & 8 x - y & = & 0 ⟹ 8 x = y \\ ⟹ 16 y = y ⟹ y = 0 \end{matrix}

así, el único punto crítico es $(0, 0)$ .

• Test: $D_{2} (x, y) = 8 \cdot 2 \cdot - {(- 1)}^{2} = 15$ (es constante) y puesto que $z_{xx} = 8 > 0,$ entonces $=$ (0, 0, 0) es un mínimo relativo.

3.6Calcule y clasifique los puntos críticos de

z = (x^{2} - y^{2}) e^{- x^{2} - y^{2}}

.

La gráfica de

f

es,

• Puntos críticos: El sistema es ${\begin{matrix} z_{x} = & 2 x e^{- x^{2} - y^{2}} - 2 x e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} - y^{2}) & = & 0 \end{matrix}$

Simplificando queda ${\begin{matrix} e^{- x^{2} - y^{2}} 2 x (1 - x^{2} + y^{2}) & = & 0 \end{matrix}$

como $e^{- x^{2} - y^{2}} > 0$ entonces nos queda el sistema

${\begin{matrix} 2 x (1 - x^{2} + y^{2}) & = & 0 \end{matrix}$

Tenemos 4 casos:

• caso 1.) $2 x = 0 y 2 y = 0 .$ Entonces $x = 0$ y $y = 0$ .

• caso 2.) $2 x = 0 y (1 + x^{2} - y^{2}) = 0$ . Entonces $x = 0$ y $y = \pm 1$

• caso 3.) $- 2 y = 0 y (1 - x^{2} + y^{2}) = 0 .$ Entonces $y = 0$ y $x = \pm 1$

• caso 4.) $(1 - x^{2} + y^{2}) = 0 y (1 + x^{2} - y^{2}) = 0$ . Este caso es inconsistente pues quedaría

x^{2} - y^{2} = 1 y x^{2} - y^{2} = - 1

• Test: Calculamos $H$ y evaluamos cada uno de los cinco puntos.

$z_{xx} = 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (2 x^{4} - x^{2} (2 y^{2} + 5) + y^{2} + 1)$

$z_{yy} = 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} (2 y^{2} - 1) - 2 y^{4} + 5 y^{2} - 1)$

$z_{xy} = 4 xy e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} - y^{2})$

Luego tenemos:

• Para $P = (0, 0, 0)$ , $D_{2} (p) = - 4$ . $P$ es un punto de silla.

• Para $(0, 1, - 1 ∕ e)$ , $D_{2} (p) = 2.165 > 0 z_{xx} = 1.47 < 0$ . Se trata de un mínimo relativo.

• Para $(0, - 1, - 1 ∕ e)$ , $D_{2} (p) = 2.165 > 0 z_{xx} = 1.47 < 0$ . Se trata de un mínimo relativo.

• Para $(1, 0, 1 ∕ e)$ , $D_{2} (p) = 2.165 > 0 z_{xx} = - 1.47 < 0$ . Se trata de un máximo relativo.

• Para $(- 1, 0, - 1 ∕ e)$ , $D_{2} (p) = 2.165 > 0 z_{xx} = - 1.47 < 0$ . Se trata de un máximo relativo.

3.7Hallar el punto del paraboloide

P : z = x^{2} + y^{2} + 2

más cercano al punto

Q = (2, 2, 2)

.

La distancia del punto al paraboloide es

d (x, y) = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(x^{2} + y^{2})}^{2}} .

Puntos críticos: Debemos resolver el sistema

\begin{array}{rcl} x - 2 + 2 x (x^{2} + y^{2}) & = & 0 \\ y - 2 + 2 y (y^{2} + y^{2}) & = & 0 \end{array}

Como $x = 0, y = 0$ no es solución del sistema, podemos asumir que $x \neq 0$ y $y \neq 0 .$ Luego, despejando $x^{2} + y^{2} = \frac{2 - x}{2 x} = \frac{2 - y}{2 y} ⟹ x = y .$

Ahora, sustiyendo $x = y$ en cualquiera de las ecuaciones, obtenemos $x - 2 + 4 x^{3} = 0 .$ La calculadora nos da las soluciones $x = 0.68939835 . . ., y = 0.68939835 . . . .$

Clasificación. $D_{2} (x, y) = [(1 + 4 x^{2} + 2 (x^{2} + y^{2})] \cdot [1 + 4 y^{2} + 2 (x^{2} + y^{2})] - 16 x^{2} y^{2} .$ Evaluamos $D_{2} (0.68939835 . . ., 0.68939835 . . .) = 19.4466 . . . > 0$ y $f_{xx} (0.68939835 . . ., 0.68939835 . . .) > 0,$ es decir, el punto en el paraboloide dónde se alcanza la distancia mínima al punto $(2, 2, 2)$ es $(0.68939835 . . ., 0.68939835 . . ., z (0.68939835 . . ., 0.68939835 . . .)) .$

3.8Calcule y clasifique los puntos críticos de

z = 4 xy - 2 x^{2} - y^{4}

Los puntos críticos son

(0, 0), (1, 1)

y

(- 1, - 1)

3.9¿Cuáles deben ser las dimensiones de un envase de forma rectangular, de volumen de

10

cm

^{3}

y costo mínimo, si el material de los lados de la caja cuestan

10

colones el centímetro cuadrado y el material de la tapa y el fondo cuestan

20

colones el centímetro cuadrado?.

Suponga que las dimensiones de la caja son

x

cm de ancho,

y

cms de largo y

z

cms de alto, entonces su volumen es :

10 = xyz ⟹ z = \frac{10}{xy}

Por otro lado, el costo total esta dado por

c (x, y, z) = 20 xz + 20 yz + 40 xy

De donde obtenemos que

$c (x, y) = \frac{200}{x} + \frac{200}{y} + 40 xy$

Calculando las derivadas parciales, formamos el siguiente sistema

${\begin{matrix} \frac{∂c}{∂x} & = & 40 y - \frac{200}{x^{2}} & = & 0 (E1) \end{matrix}$

Multiplicando por (E1) por

x

a ambos lados y (E2) por

y

ambos lados, obtenemos

x = y .

Sustituyendo en (E1) obtenemos

x = y = \sqrt[3]{5}

$D_{2} (x, y) = \frac{160000}{x^{3} y^{3}} - 1600$ y al evaluar en el punto $P = (\sqrt[3]{5}, \sqrt[3]{5})$ , tenemos que $((\sqrt[3]{5}, \sqrt[3]{5}, 120 \sqrt[3]{5})$ es un mínimo local.

Respuesta: Las dimensiones de la caja con costo mínimo son $x = \sqrt[3]{5}, y = \sqrt[3]{5}$ y $z = 10 ∕ \sqrt[3]{25}$ .

3.10 Calcule y clasifique los puntos críticos de

z = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 x y^{2}}{2} + y^{3}

{\begin{matrix} z_{x} = x^{2} - x - \frac{3 y^{2}}{2} & = & 0 (E1) \end{matrix}

Sustituyendo

y = 0

en (E1) se obtienen los puntos críticos

(0, 0)

y

(1, 0)

Sustituyendo $y = x$ en (E1) se obtiene otro punto crítico, $(- 2, - 2)$

D_{2} (x, y) = (2 x - 1) (6 y - 3 x) - 9 y^{2} ⟹ {\begin{matrix} D_{2} (0, 0) & = & 0 ∴ el criterio no decide \\ D_{2} (1, 0) & = & - 3, ∴ (1, 0, - 1 ∕ 6) es punto de silla \end{matrix}

3.11 Calcule el volumen de la caja de base rectángular más grande, que tenga caras en los planos

x = 0, y = 0, z = 0,

en el primer octante, y un vértice en el plano

2 x + 2 y + 2 z = 10

(haga un dibujo).

El volumnes es

V = xyz .

V = xyz = xy (5 - x - y)

con

x > 0

y

y > 0 .

El volumen es máximo si

x = y = \frac{5}{3},

es decir, el volumen máximo es

V = \frac{125}{27}

3.12 Resuelva el ejercicio anterior si el plano tiene ecuación

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1,

con

abc > 0

con

a, b, c

números positivos.

V = xyz = xy (c (- \frac{x}{a} - \frac{y}{b} + 1))

con

x, y, a, b, c

todos positivos. El volumen es máximo si

x = \frac{a}{3},

y = \frac{b}{3},

es decir, el volumen máximo es

V = \frac{abc}{27}

3.13 Encuentre las dimensiones da la caja de base rectángular de máximo volumen, si el área de su superficie total debe ser de

64 c m^{2}

El área de la superficie es

S (x, y, h) = 2 xh + 2 yh + 2 xy = 64 .

Despejando

h

obtenemos que le volumen es

V = xy \frac{32 - xy}{x + y}

. Resolviendo

\nabla V = (0, 0)

obtenemos

x = y = \sqrt{32 ∕ 3}

.

3.14Sea

z = yx e^{- x} + y^{2} .

Calcule y clasifique los puntos críticos de

z .

Puntos críticos:

(0, 0)

y

(1, - 1 ∕ 2 e) .

El punto

(0, 0, 0)

es punto de silla y en

(1, - 1 ∕ 2 e)

la función alcanza un mínimo local.