Gradiente, curvas y superficies de nivel.

16. Gradiente, curvas y superficies de nivel.

Recordemos que

1: Si $z = f (x, y)$ entonces la curva $z = c$ (i.e. $c = f (x, y)$ ) la llamamos "curva de nivel".
2: Si tenemos $w = g (x, y, z),$ la superficie $w = 0$ (i.e. $0 = g (x, y, z)$ ), se denomina superficie de nivel $w = 0 .$

El gradiente es perpendicular a las curvas o superficies de nivel.

Teorema 9 — El gradiente es perpendicular a las curvas o superficies de nivel.

Sea $f : D \subset ℝ^{n} \to ℝ$ una función diferenciable en un punto $P$ . Si $\nabla f (P) \neq 0$ , entonces el vector gradiente $\nabla f (P)$ es ortogonal (perpendicular) a la curva (o superficie) de nivel que pasa por $P$

El gradiente es perpendicular a la tangente a la curva en $P$ , eso es lo que siginifica "el gradiente es perpendicular a la curva" en $P$

1

C : c = f (x, y)

es una curva de nivel entonces en cada punto

(x_{0}, y_{0})

de la curva, el gradiente

\nabla f (x_{0}, y_{0})

es perpendicular a la tangente a la curva en ese punto (si cumple las condiciones del Teorema 9).

Si $z$ está definida de manera implícita por $G (x, y, z) = 0$ entonces

\nabla z (x, y) = (- \frac{G_{x}}{G_{z}}, - \frac{G_{y}}{G_{z}})

\nabla f

y curvas de nivel

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En el plano, los vectores perpendiculares a una curva no siempre son "gradientes", ver Ejemplo 116.

2

Consideremos la "superficie de nivel"

S : G (x, y, z) = 0 .

Entonces

\nabla G (x_{0}, y_{0}, z_{0})

es perpendicular a la superficie en

(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in S

, es decir, es normal al plano tangente en este punto.

\nabla G (x_{0}, y_{0}, z_{0})

es perpendicular a cada curva de la superficie

S,

que pasa por

P = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) .

La perpendicularidad se refiere a las tangentes, entonces

\nabla G (x_{0}, y_{0}, z_{0})

es perpendicular al plano tangente en este punto.

1

Las rectas tangentes a las trazas

x = x_{0}

y = y_{0}

, en

P

, tienen ecuación

\begin{matrix} L_{x} (t) & = & P + t (1, 0, z_{x} (x_{0}, y_{0})) \\ L_{y} (t) & = & P + t (0, 1, z_{y} (x_{0}, y_{0})) \end{matrix}

2

El plano tangente en

P

tiene ecuación paramétrica

Π_{T} : P + t (1, 0, z_{x} (x_{0}, y_{0})) + s (0, 1, z_{y} (x_{0}, y_{0}))

o en forma cartesiana, eliminando $t = x - x_{0}$ , $s = y - y_{0}$ :

Π_{T} : z = z_{0} + z_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + z_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})

3

G (x, y, z) = z - f (x, y)

entonces

\nabla G (P) = (1, 0, z_{x} (x_{0}, y_{0})) \times (0, 1, z_{y} (x_{0}, y_{0})) = (- z_{x} (x_{0}, y_{0}), - z_{y} (x_{0}, y_{0}), 1)

En general

(- z_{x}, - z_{y}, 1) = \frac{1}{G_{z}} (G_{x}, G_{y}, G_{z})

G_{z} \neq 0

Gradientes

\nabla z (x, y)

\nabla G (x, y, z)

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Ejemplo117Gradiente y vector tangente

Sea $S : z = y^{2} - x^{2} - x^{3} .$ Luego $C : z = 0$ , es la curva de nivel, $y^{2} - x^{2} - x^{3} = 0 .$ Sea $P = (1 ∕ 6, \sqrt{7} ∕ \sqrt{216})$ $\in C .$ Calcule $\nabla z (P)$ y verifique que es perpendicular a la tangente en $P$

Solución.

1

\nabla z (x, y) = (- 2 x - 3 x^{2}, 2 y)

2

\nabla z (P) = (\frac{- 5}{12}, \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{54}})

3

Recta tangente en

P

: Tomado

x = t

, obtemeos una parametrización

r (t)

y un vector tangente en

r^{'} (1 ∕ 6)

P

(la dirección de la recta tangente).

(a): $r (t) = (t, \pm \sqrt{t^{3} + t^{2}})$
(b): $r^{'} (t) = (1, \pm \frac{3 t^{2} + 2 t}{2 \sqrt{t^{3} + t^{2}}})$
(c): Vector tangente $r^{'} (1 ∕ 6) = (1, \frac{5}{2} \sqrt{\frac{3}{14}})$

4

Y efectivamente

\nabla z (P) \cdot r^{'} (1 ∕ 6) = 0

Fig. 4.10:

\nabla z (P) \cdot r^{'} (1 ∕ 6) = 0

Ejemplo118Gradiente y plano tangente

Considere la superficie $S$ de ecuación

\frac{1}{9} {(z - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = 0 .

Sea $P = (3, 2, 1 + 3 \sqrt{3}) \in S$ . Calcular $\nabla G (P)$ y una ecuación cartesiana y una ecuación vectorial del plano tangente en $P$ .

Solución.

1

G (x, y, z) = \frac{1}{9} {(z - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4

, entonces

\begin{matrix} \nabla G (x, y, z) & = & (G_{x}, G_{y}, G_{z}) \\ = & (2 (x - 2), 2 (y - 2), \frac{2}{9} (z - 1)) \end{matrix}

2

\nabla G (P) = (2, 0, \frac{2}{\sqrt{3}})

3

Plano tangente

Π_{T}

P

(a)

Un vector normal al plano es

N = (2, 0, \frac{2}{\sqrt{3}})

, entonces una ecuación cartesiana es

\begin{matrix} Π_{T} : 2 x + 0 . \cdot y + \frac{2}{\sqrt{3}} z & = & N \cdot P \\ = & 12 + \frac{2}{\sqrt{3}} \end{matrix}

(b)

Una ecuación vectorial del plano se obtiene derivando

z

de manera implícita,

\begin{matrix} Π_{T} : & P + t (1, 0, z_{x} (P)) + s (0, 1, z_{y} (P)) \\ P + t (1, 0, - \sqrt{3}) + s (0, 1, 0), t, s \in ℝ \end{matrix}

Fig. 4.11:

\nabla G (P)

17.1 Sea

S : z = {(x^{2} - 2 x + y^{2})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) + 1

P = (1, 0, 1)

1: Determine $\nabla z$
$\nabla z = (2 (2 x - 2) (x^{2} - 2 x + y^{2}) - 2 x, 4 y (x^{2} - 2 x + y^{2}) - 2 y)$
2: Determine $\nabla z (1, 0)$
$\nabla z (1, 0) = (- 2, 0)$
3: Determine $\nabla G (x, y, z)$
$\nabla G (x, y, z) = (2 (2 x - 2) (x^{2} - 2 x + y^{2}) - 2 x, 4 y (x^{2} - 2 x + y^{2}) - 2 y, - 1)$
4: Determine $\nabla G (P)$
$\nabla G (P) = (2, 0, 1)$
5: Determine una ecuación cartesiana del plano tangente a $S$ en $P$
$Π_{T} : 2 x + z = 3$
6: Determine una ecuación vectorial del plano tangente a $S$ en $P$
$Π_{T} : P + t (1, 0, - 2) + s (0, 1, 0), t, s \in ℝ$
7: Determine un vector tangente $v_{T} = (v_{1}, v_{2})$ a la curva de nivel $z = 1$ en $(1, 0)$
Como $v_{T} \cdot \nabla z (1, 0) = 0$ , entonces $- 2 v_{1} = 0, v_{2} \in ℝ$ . es decir, cualquier vector de la forma $v_{T} = (0, v_{2}), v_{2} \neq 0$ . es un vector tangente. En particular $v_{T} = (0, 1)$
8: Determine una parametrizacion de la traza $x = 1$ (es en el espacio) y un vector tangente a esa curva en $P = (1, 0, 1)$ .
Si $x = 1$ nos queda $z = {(- 1 + y^{2})}^{2} - (1 + y^{2}) + 1$ . Tomando $y = t$ , una parametrización es $r (t) = (1, t, t^{4} - 3 t^{2} + 1)$ . Un vector tangente es $(1, 0, z_{y} (1, 0)) = (0, 1, 0)$ o también $r^{'} (0) = (0, 1, 0)$
9: Determine una parametrizacion de la traza $y = 0$ (es en el espacio) y un vector tangente a esa curva en $P = (1, 0, 1)$ .
Se omite.