15. Gradiente.

Definición 13 — Campo Gradiente.

Sea f : D ⊆ ℝn→ℝ una función (o campo) escalar diferenciable en una región R, entonces la función (o campo) gradiente def es la función vectorial denotada por ∇ ⁡f : R ⊆ ℝn→ℝn definida por

∇ ⁡f(x1,x2,...,xn) = (fx1,fx2,...,fxn)

Gradiente

1
f : D ⊆ ℝ2→ℝ,
∇ ⁡f(x,y) = (fx,fy) = ∂f ∂xi + ∂f ∂yj

Si z está definida de manera implícita por F(x,y,z) = 0 entonces

∇ ⁡f(x,y) = (fx,fy) = −Fx Fzi + −Fy Fzj
2
f : D ⊆ ℝ3→ℝ,
∇ ⁡f(x,y,z) = (fx,fy,fz) = ∂f ∂xi + ∂f ∂yj + ∂f ∂z k
3
Sea S : G(x,y,z) = 0. Esta ecuación podría definir a z como función implícita z = z(x,y) o es una "superficie de nivel w = 0" si w = G(x,y,z). Entonces podríamos calcular dos gradientes: Uno en el plano y otro en el espacio.
{ ∇ ⁡z(x,y) = −Gx Gzi + −Gy Gzj ∇ ⁡G(x,y,z) = ∂G ∂x i + ∂G ∂y j + ∂G ∂z k

Representación geométrica del campo gradiente. El gradiente ∇ ⁡f es un campo vectorial. Una manera de visualizar el campo gradiente gráficamente es anclar en cada punto P el respectivo vector ∇ ⁡f(P) (se traslada desde el origen). En aplicaciones de visualización el vector se escala y se ancla en el punto de tal manera que el punto quede en el medio del vector.

Por ejemplo, consideremos el campo ∇ ⁡z = (−y,x). En la figura 4.8 a.) se dibujan dos vectores anclados en el punto, en la figura 4.8 b.) se dibujan dos vectores anclados con el punto en el medio y en la figura 4.8 c.) se hace la representación gráfica del campo escalando los vectores, tal y como se acostumbra.

PIC

Fig. 4.8: Campo gradiente ∇ ⁡z = (−y,x).

Propósito: Visualizar campos gradientes en dos dimensiones y en tres dmensiones. Al hacer clic en cada bóton se genera primero una muestra de puntos Pi y luego se evalúa el campo gradiente en esos puntos y luego se representan los vectores ∇ ⁡f(Pi) trasladados hasta Pi

Ejemplos de campo gradiente ∇ ⁡f
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El widget anterior sugiere que los gradientes apuntan localmente en una dirección que tiene que ver con la variación de la función f y, efectivamente así es. La derivada direccional (Seccion 4.) en la dirección del vector unitario v, denotada Dvf, es la tasa de cambio de f en la dirección v.
En la Sección 18. se establece que Dvf ⋅v es la proyección ortogonal de ∇ ⁡f sobre v, por lo que la máxima tasa de cambio se alcanza en la dirección de ∇ ⁡f(P)

PIC

Fig. 4.9:

Dirección de máximo crecimiento
1
Sea f diferenciable en P. El vector gradiente ∇ ⁡f(P) apunta en la dirección de máximo crecimiento de f respecto a P

Es decir, si nos desplazamos una pequeña distancia, la mayor tasa de incremento se obtiene siguiendo la dirección de ∇ ⁡f

v = ∇ ⁡f(P)apunta en la dirección de máximo crecimiento de f, respecto a P
2
La tasa de cambio máxima en esa dirección es ∥∇ ⁡f(P)∥.

Propósito: Visualizar como los gradientes apuntan en la dirección de máximo crecimiento de la superficie en cada punto. Las flechas están escaladas para poder ver elcampo gradiente.

Ejemplo de campo gradiente y dirección de crecimiento
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Ejemplo114Método de Ascenso del Gradiente

Geométricamente, el gradiente posee una propiedad esencial: Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función en ese punto.

Aplicación: Método de Ascenso del Gradiente Para encontrar un máximo local de f de forma iterativa, partimos de un punto inicial ("adivinanza inicial") x0 = (x0,y0) y actualizamos mediante la regla:

xk+1 = xk + α∇ ⁡f(xk),

donde α > 0 es la tasa de aprendizaje. En cada paso, nos movemos en la dirección donde la función crece más rápido, por eso sumamos α∇ ⁡f(xk) al estado actual xk.

La tasa α no es necesariamente constante. Se puede actualizar en cada iteración, una estrategia conocida como Learning Rate Decay (decaimiento de la tasa) o Adaptive Learning Rates (tasas adaptativas). Esto permite dar pasos grandes al inicio y reducir la magnitud progresivamente para un ajuste fino cerca del óptimo.

Propósito: Visualizar con un ejemplo el método iterativo de "descenso del gradiente": desde un punto inicial nos desplazamos una pequeña distancia. Como la mayor tasa de incremento se obtiene siguiendo la dirección de ∇ ⁡f, nos movemos siguiendo la regla

xk+1 = xk + α∇ ⁡f(xk),

una tasa de aprendizaje α = 0.08

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Ejemplo115Cálculo con gradientes

1
Si f(x,y) = sen ⁡ xy + x2y2, calcule ∇ ⁡f(π,1).

Solución. El gradiente está dado por :

∇ ⁡f(x,y) = (ycos ⁡ xy + 2xy2) i + (xcos ⁡ xy + 2x2y)j

y evaluando

∇ ⁡f(π,1) = (2π − 1)i + (2π2 − π)j

2
Si x2 + y2 + z2 = 1, calcule ∇ ⁡z(x,y).

Solución. Debemos derivar de manera implícita. Excepto en la circunferencia x2 + y2 = 1 (curva de nivel z = 0), se puede calcular

∇ ⁡f(x,y) = (−Fx Fz, −Fy Fz,) = −x zi + −y zj

3
Si G(x,y,z) = x2z + z3y + xyz, calcule ∇ ⁡G(x,y,z) y, suponiendo que G = 0 define de manera implicíta a z = z(x,y), calcule ∇ ⁡z(x,y).

Solución.

1
∇ ⁡G(x,y,z) = (Gx,Gy,Gz) = (2xz + yz)i + (z3 + xz)j + (x2 + 3z2y + xz)k
2
Si G = 0 define de manera implicíta a z = z(x,y),, entonces ∂z ∂x = −Gx Gz = − 2xz + yz x2 + 3z2y + xy,∂z ∂y = −Gy Gz = − z3 + xz x2 + 3z2y + xy

Por lo tanto:

∇ ⁡z(x,y) = − 1 x2 + 3z2y + xy (2xz + yz,z3 + xz )

Ejemplo116Cálculo de gradientes

Consideremos la superficie S de ecuación x2 + y2 + z2 = 1.

El gradiente de z es (derivando implícitamente)

∇ ⁡z(x,y) = (−x z, −y z).

1
∇ ⁡z (1∕3,1∕3,1∕3) = (−1, − 1).
2
∇ ⁡z (−1∕2,1∕2,1∕2) = (1∕(22), − 1)
3
∇ ⁡z (0,0,1) = (0,0)
4
∇ ⁡z (1,0,0) Indefinido
5
∇ ⁡z no esta definida en los puntos de la curva de nivel z = 0, es decir, x2 + y2 = 1.