Introduccion

1. Introducción

¿Por qué, en una variable, en un punto crítico $p,$ $f$ alcanza un máximo local si $f^{″} (p) < 0$ ?. En una variable, los puntos críticos de $f$ son los puntos $x = p$ en los que $f^{'} (p) = 0$ (o en los que $f^{'}$ se indefine). Muchas veces se puede clasificar este punto crítico con el signo de $f^{″} (p) .$ Esto se puede establecer usando polinomios de Taylor. Según el teorema de Taylor, en los alrededores de $p$

Interpretación geométrica. Observe que le signo de $f^{″} (p) \neq 0$ decide el signo (y por tanto la concavidad) del polinomio de Taylor de orden dos: Como $f^{'} (p) = 0,$

f (x) - f (p) = \frac{1}{2} f^{″} (p) {(x - p)}^{2} + R_{2} (p, x)

por tanto, la cuadrática

y = f^{″} (p) {(x - p)}^{2}

siempre es positiva o siempre es negativa y además domina al resto

R_{2}

en algún entorno de

p .

f^{″} (p) = 0

no podemos decir algo del signo (solo nos queda el resto

R_{2} (p, x)

En la figura que sigue se muestra la gráfica del polinomio de Taylor $P_{2}$ y la gráfica de $f .$ Recordemos que

P_{2} (x) = f (p) + f^{'} (p) (x - p) + \frac{f^{″} (p)}{2} {(x - h)}^{2}

Figura 5.1: El signo de

f^{″} (p)

se usa para clasificar puntos críticos.

Formalmente, el signo de $f (p + h) - f (p)$ coincide con el signo del término de segundo orden (la parábola) $y = f^{″} (p) {(x - p)}^{2}$ en un entorno de $p$

Figura 5.2: Parábolas

f^{″} (p) {(x - p)}^{2}

con

f^{″} (p) > 0

f^{″} (p) < 0