Plano tangente, rectas tangentes y un vector normal.

13. Plano tangente, rectas tangentes y un vector normal.

Recta tangente "en la dirección de

v

". Sea

S

una superficie suave de ecuación

S : z = f (x, y) .

Como vimos en la introducción a las parametrizaciones de una curva, si una curva

C,

contenida en

S,

está parametrizada como

r (t) = (x (t), y (t), z (x (t), y (t)))

entonces, si tenemos un punto cualquiera es esta curva, digamos,

Q = r (t),

entonces un vector tangente a esta curva en

P

r^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t), \nabla z (P) \cdot (x^{'} (t), y^{'} (t))

La recta tangente a $S : z = f (x, y)$ en $P = (p_{0}, p_{1}, p_{2}) \in S,$ "en la dirección de $v = (v_{0}, v_{1})$ " se refiere a la recta tangente, en $P,$ a la curva $C$ de intersección entre la superficie $S$ y el plano generado por la recta

L (t) = (p_{0}, p_{1}) + t \cdot (v_{0}, v_{1})

Como

x = x (t) = p_{0} + t v_{0}

y = y (t) = p_{1} + t v_{1},

la curva

C

tiene ecuación paramétrica

C : r (t) = (p_{0} + t v_{0}, p_{1} + t v_{1}, z (x, y)) con {\begin{matrix} x & = & p_{0} + t v_{0} \\ y & = & = p_{1} + t v_{1} \\ P & = & r (0) \end{matrix}

Entonces: como

P = r (0),

un vector tangente en

P

"en la dirección de

v = (v_{0}, v_{1})

" es

r^{'} (0) = (v_{0}, v_{1}, \nabla z P) \cdot (v_{0}, v_{1}))

Por tanto una ecuación vectorial de la recta tangente en

P

"en la dirección de

v

" sería

L_{T} (t) = P + t \cdot r^{'} (0), es decir, L_{T} (t) = P + t \cdot (v_{0}, v_{1}, \nabla z (P) \cdot (v_{0}, v_{1}))

Podemos multiplicar

r^{'} (0)

por

1 ∕ | | v | |

si queremos que esta ecuación quede en términos de la derivada direccional,

L_{v} (t) = P + t \cdot \frac{r^{'} (0)}{| | v | |} = P + t \cdot (\frac{v_{0}}{| | v | |}, \frac{v_{1}}{| | v | |}, D_{v} z (P))

Rectas tangentes en la dirección de

v

S

tiene ecuación

z = f (x, y)

con

f

diferenciable, entonces una ecuación paramétrica de la recta tangente a

P = (p_{0}, p_{1}, p_{2})

en la dirección del eje

X

se obtiene tomando

v = (1, 0)

y una ecuación paramétrica de la recta tangente a

P

en la dirección del eje

Y

se obtiene tomando

v = (0, 1)

• $L_{_{X}} (t) = P + t \cdot (1, 0, z_{x} (P)) o L_{_{X}} (x) = (x, p_{1}, p_{2} + (x - x_{0}) f_{x} (p_{0}, p_{1}))$

• $L_{_{Y}} (t) = P + t \cdot (0, 1, z_{y} (P)) o L_{_{y}} (x) = (p_{0}, y, p_{2} + (y - p_{1}) f_{y} (p_{0}, p_{1}))$

• La recta tangente en

P,

en dirección de

v \in ℝ^{2}

L_{v} (t) = P + t \cdot (v_{0}, v_{1}, \nabla z (P) \cdot (v_{0}, v_{1}))

o, en términos de la derivada direccional,

L_{v} (t) = P + t \cdot (\frac{v_{0}}{| | v | |}, \frac{v_{1}}{| | v | |}, D_{v} z (P))

Figura 4.22:

v = (1, 0)

Figura 4.23:

v = (0, 1)

Figura 4.24:

v = (v_{0}, v_{1})

Un Vector normal. Sea

S : z = f (x, y)

una superficie suave y

P \in S .

Del párrafo anterior sabemos que dos vectores tangentes a

S

P

son

(1, 0, z_{x} (P))

(0, 1, z_{y} (P)),

entonces un vector normal a

S

P

N (P) = (1, 0, z_{x} (P)) \times (0, 1, z_{y} (P)) = (- f_{x} (P), - f_{y} (P), 1)

Si tenemos

S : G (x, y, z) = 0,

entonces usamos derivación implícita y (si

G_{z} (P) \neq 0

)

N (P) = (- f_{x} (P), - f_{y} (P), 1) = (\frac{G_{x}}{G_{z}}, \frac{G_{y}}{G_{z}}, \frac{G_{z}}{G_{z}})

Como solo nos interesa la dirección, podemos tomar

N (P) = (G_{x} (P), G_{y} (P), G_{z} (P))

como un vector normal.

Un vector normal []

No hay un solo vector normal, aunque todos tienen la misma dirección, el tamaño puede variar.

•

S

tiene ecuación

z = f (x, y)

entonces si ponemos

G (x, y, z) = z - f (x, y),

un vector normal es

N = (- z_{x}, - z_{y}, 1)

•

S

está definida de manera implícita por

G (x, y, z) = 0,

entonces un vector normal es

N_{1} = \nabla G = (G_{x}, G_{y}, G_{z}) o también N_{2} = (\frac{G_{x}}{G_{z}}, \frac{G_{y}}{G_{z}}, 1) = \frac{1}{G_{z}} (G_{x}, G_{y}, G_{z}) si G_{z} \neq 0 .

Figura 4.25: Tangentes y un vector normal a

S

P

Ecuación cartesiana del plano tangente. Podemos obtener la ecuación cartesiana del plano tangente (si existiera) usando un vector normal a la superficie $S .$ Como ya vimos, si $S : G (x, y, z) = 0,$ entonces un vector normal a $S$ en $P \in S$ es

N (P) = \nabla G (P)

Figura 4.26:

\nabla G (P)

es perpendicular (al plano tangente) a

S

P

Así, una ecuación del plano tangente en

P \in S

a x + b y + c z = d con (a, b, c) = \nabla G (P) y d = \nabla G (P) \cdot P .

Plano Tengente

•

Si la superficie

S

tiene ecuación

G (x, y, z) = 0

con

G

diferenciable, el plano tangente en

P \in S

tiene ecuación cartesiana

G_{x} (P) x + G_{y} (P) y + G_{z} (P) z = \nabla G (P) \cdot P

•

S

tiene ecuación

z = f (x, y)

con

f

diferenciable, entonces

G (x, y, z) = z - f (x, y)

\nabla G (P) = (- z_{x} (P), - z_{y} (P), 1),

por tanto el plano tangente en

P = (p_{0}, p_{1}, p_{2}) \in S

tiene ecuación cartesiana

\begin{matrix} G_{x} (P) x + G_{y} (P) y + G_{z} (P) z & = & \nabla G (P) \cdot P \end{matrix}

Es decir,

z_{x} (P) (x - p_{0}) + z_{y} (P) (y - p_{1}) = z - p_{2}

Ejemplo110

Sea $S$ la superficie de ecuación $f (x, y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}},$ si $(x, y) \neq (0, 0)$ y $f (0, 0) = 0 .$ Aunque $f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0) = 0,$ no hay plano tangente pues la función es discontinua en este punto (aunque esté definida).

Ejemplo111

Sea $S$ una superficie de ecuación $z = ln (x^{2} + y^{2}) + x (y + 3)$ y $P = (1, 0, 3) \in S .$

1.: Determine una ecuación de la recta tangente en la dirección del eje $X,$ es decir, en la dirección de $v = (1, 0) .$
2.: Determine una ecuación de la recta tangente en la dirección $v = (- 1, 3) .$
3.: Determine una ecuación cartesiana del plano tangente a $S$ en $P$

Solución. Podemos usar las ecuaciones que indicamos más arriba.

1.

\frac{∂z}{∂x} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}} + y + 3

{\frac{∂z}{∂x} |}_{Q} = 5 .

Entonces una ecuación de la recta tangente en la dirección del eje

X

L_{_{X}} (t) = P + t \cdot (1, 0, 5)

2.

Como

\nabla z = (\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}} + y + 3, \frac{2 y}{x^{2} + y^{2}} + x),

entonces, una ecuación de la recta tangente en la dirección

v = (- 1, 3)

L_{_{v}} (t) = P + t \cdot (- 1, 3, \nabla z (1, 0) \cdot (- 1, 3)) = P + t \cdot (- 1, 3, (5, 1) \cdot (- 1, 3)) = P + t \cdot (- 1, 3, - 2)

o, en términos de la derivada direccional,

L_{_{v}} (t) = P + t \cdot (- \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}, \frac{- 2}{10})

3.

G (x, y, z) = z - ln (x^{2} + y^{2}) - x (y + 3)

entonces

\nabla G = (- \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}} + y + 3, - \frac{2 y}{x^{2} + y^{2}} + x, 1) .

Un vector normal es

N = (- 5, - 1, 1) .

Una ecuación cartesiana del plano tangente a

S

Q

- 5 x - y + z = (- 5, - 1, 1) \cdot (1, 0, 3) = - 2

Ejemplo112

Sea $S$ la superficie de ecuación $z = x^{2} + 2 y^{2} .$ Obtener una ecuación cartesiana del plano tangente a $S$ en $P = (1, 1, 3) .$

Solución.

Primera manera. En este caso $z_{x} (x, y) = 2 x$ y $z_{y} (x, y) = 4 y .$ Entonces una ecuación cartesiana sería,

z_{x} (1, 1) (x - 1) + z_{y} (1, 1) (y - 1) = z - 3,

es decir,

2 (x - 1) + 4 (y - 1) = z - 3,

Otra manera. Sea

S : G (x, y, z) = z - x^{2} - 2 y^{2} = 0 .

Entonces un vector normal al plano tangente a

S

P

\nabla G = (- 2 x, - 4 y, 1) .

Ahora,

\nabla G (1, 1, 3) = (- 2, - 4, 1),

entonces una ecuación del plano tangente es

\begin{array}{rcl} - 2 x - 4 y + 1 z & = & \nabla G (1, 1, 3) \cdot P \\ = & - 3 \end{array}

Ejemplo113

Consideremos la superficie $S$ de ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .$ Sea $P = (1 ∕ \sqrt{3}, 1 ∕ \sqrt{3}, 1 ∕ \sqrt{3}) \in S .$ Calculemos la ecuación cartesiana del plano tangente en $P .$

•: La ecuación de $S$ es $G (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0 .$
•: $\nabla G (x, y, z) = (2 x, 2 y, 2 z) .$
•: $N = \nabla G (P) = (2 ∕ \sqrt{3}, 2 ∕ \sqrt{3}, 2 ∕ \sqrt{3})$ y $d = P \cdot \nabla G (P) = 2$
•: Una ecuación cartesiana del plano tangente: $\frac{2}{\sqrt{3}} x + \frac{2}{\sqrt{3}} y + \frac{2}{\sqrt{3}} z = 2$ o también $x + y + z = \sqrt{3} .$

Ejemplo114

Consideremos la superficie $S$ de ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .$ y $P = (0, 1, 0) \in S .$ Calcule la ecuación del plano tangente a $S$ en $P .$

Solución. Sea

G (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 .

Entonces

\nabla G (x, y, z) = (2 x, 2 y, 2 z) .

Por tanto un vector normal es

N = G (0, 1, 0) = (0, 2, 0)

La ecuación cartesiana del plano tangente a

S

P

0 \cdot x + 2 \cdot y + 0 \cdot z = 2,

es decir

y = 1 .

Observe que en este punto, como $\nabla z (x, y) = (- \frac{x}{z}, - \frac{x}{z})$ , la derivada direccional no existe.

Ejemplo115

Consideremos la superficie $S$ de ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .$ Encuentre los puntos $Q = (a, b, c) \in S$ tal que el plano tangente en $Q$ sea paralelo al plano $2 x - y + 3 z = 1 .$

Solución. $Q$ tiene tres incógnitas así que necesitamos, en principio, tres ecuaciones.

•

Como

Q \in S,

esto nos da una ecuación:

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 .

•

Como el plano tangente en

Q

es paralelo al plano

2 x - y + 3 z = 1,

sus vectores normales deben ser paralelos, es decir

\nabla G (Q) = λ (2, - 1, 3)

esto nos da tres ecuaciones adicionales y una incógnita más, $λ .$

•

Para encontrar

Q

solo debemos resolver el sistema

{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} & = & 1 \\ \nabla G (Q) & = & λ (2, - 1, 3) \end{matrix}

es decir,

{\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} & = & 1 \\ (2 a, 2 b, 2 c) & = & λ (2, - 1, 3) \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} & = & 1 \\ 2 a & = & 2 λ \\ 2 b & = & - λ \\ 2 c & = & 3 λ \end{matrix}

Resolviendo, obtenemos las dos soluciones

Q = (- \frac{1}{\sqrt{2 ∕ 7}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, - \frac{3}{\sqrt{14}}), λ = - \sqrt{2 ∕ 7} y Q = (\frac{1}{\sqrt{2 ∕ 7}}, - \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}), λ = \sqrt{2 ∕ 7}