Ejercicios

13.1 Sea

f (x, y) = 4 - x^{2} - y^{2}

la ecuación de una superficie

S .

1: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $R = (1, - 1, 2)$ "en la dirección del eje $X$ " (en la dirección del vector $v = (1, 0)$ )
$L_{X} (t) = R + t \cdot (1, 0, - 2)$
2: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $R = (1, - 1, 2)$ "en la dirección del eje $Y$ " (en la dirección del vector $v = (0, 1)$ )
$L_{Y} (t) = R + t \cdot (0, 1, 2)$
3: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $R = (1, - 1, 2)$ "en la direción del vector $u = (- 2, 1)$ "
$L_{u} (t) = R + t \cdot (- 2, 1, 6)$
4: Determine un vector normal a $S$ en $R = (1, - 1, 2)$
Si $G (x, y, z) = z - 4 + x^{2} + y^{2} = 0 ⟹ N = \nabla G (R) = (2, - 2, 1)$
5: Encuentre la ecuación cartesiana del plano tangente a $S$ en el punto $R = (1, - 1, 2) \in S .$
La superficie $S$ tiene ecuación $z = 4 - x^{2} - y^{2} .$ Si $G = z - 4 + x^{2} + y^{2}$ entonces un vector normal al plano es $N = \nabla G (R) = (2, - 2, 1) .$ Luego la ecuación cartesiana es $2 x - 2 y + z = 6 .$
6: Determine un vector $u$ para el cual la derivada direccional en $R = (1, - 1, 2) \in S$ es máxima y calcule su valor.

$D_{u} f (R)$ es máxima si $u = \nabla f (R) = (- 2, 2) .$ En este caso, $D_{\nabla f (R)} f (R) = | | \nabla f (R) | | = \sqrt{8} .$

13.2Sea

x^{2} + xyz + z^{3} = 1

la ecuación de una superficie

S .

Encuentre una ecuación cartesiana del plano tangente a

S

en el punto

R = (1, - 1, 1) \in S .

La superficie

S

tiene ecuación

G (x, y, z) = x^{2} + xyz + z^{3} - 1,

entonces

\nabla G = (2 x + yz, xz, xy + 3 z^{2}) .

Un vector normal al plano es

N = \nabla G (R) = (1, 1, 2) .

Luego la ecuación cartesiana es

x + y + 2 z = 2 .

13.3Considere la superficie

S : xyz + ln (xyz) - z = 0

y el punto

P (1, 1, 1) \in S

.

1.: Determine una ecuación del plano tangente a $S$ en $P$ .
2.: Determine una ecuación de la recta tangente a $S$ en $P$ en la dirección del eje $X$ .
3.: Determine una ecuación de la recta tangente a $S$ en $P$ , en la dirección del vector $v = (2, 3)$ .
4.: (*) Determine si hay algún punto $Q$ en la superficie $S$ en la que el plano tangente sea $x + y + z = 0$

1.

F (x, y, z) = xyz + ln (xyz) - z = 0

$\nabla F (P) = (F_{x}, F_{y}, F_{z}) |_{P} = {(yz + \frac{1}{x}, xz + \frac{1}{y}, xy + \frac{1}{z} - 1) |}_{P} = (2, 2, 1)$

$π : \nabla F (P) \cdot (x - 1, y - 1, z - 1) = 0$

$π : 2 x + 2 y + z = 5$

2.

.

$z_{x} (P) = - \frac{F_{x} (P)}{F_{z} (P)} = - \frac{2}{1} = - 2$

$ℓ : (x, y, z) = P + t (1, 0, z_{x} (P)); t \in ℝ$

$ℓ : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t (1, 0, - 2); t \in ℝ$

3.

.

$\nabla z (P) = (- \frac{F_{x} (P)}{F_{z} (P)}, - \frac{F_{y} (P)}{F_{z} (P)}) = (- 2, - 2)$

$ℓ : (x, y, z) = P + t (v_{1}, v_{2}, \nabla z (P) \cdot (v_{1}, v_{2})); t \in ℝ$

$\nabla z (P) \cdot (v_{1}, v_{2}) = (- 2, - 2) \cdot (2, 3) = - 10$

$ℓ : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t (1, 3, - 10); t \in ℝ$

4.

.

Si $Q = (a, b, c) \in S ⟹ abc + ln (abc) - c = 0,$ es decir, $abc > 0 .$

El plano tangente tiene ecuación $x + y + z = 0 ⟹ \nabla F (Q) = α (1, 1, 1)$ ( $\nabla F (Q)$ tiene la misma dirección que $(1, 1, 1)$ ) y $\nabla F (Q) \cdot Q = 0,$ entonces

${\begin{matrix} Q & \in & S \\ \nabla F (Q) & = & α (1, 1, 1) \\ F (Q) \cdot Q & = & 0 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} abc + ln (abc) - c & = & 0 \\ bc + \frac{1}{a} & = & α (E 2) \\ ac + \frac{1}{b} & = & α (E 3) \\ ab + \frac{1}{c} - 1 & = & α (E 4) \end{matrix}$

Este sistema no tiene solución. Hay varias maneras de verlo, por ejemplo, multiplicando (E2) por

a

, (E3) por

b

, (E4) por

c,

obtenemos

${\begin{matrix} abc + ln (abc) - c & = & 0 \\ abc + 1 & = & α a (E 2) \\ abc + 1 & = & α b (E 3) \\ abc + 1 - c & = & α c (E 4) \end{matrix}$

• Restando (E4) y (E5) se obtiene

(α - \frac{2}{3}) c = 0 ⟹

α = - 2 ∕ 3

(pues

c \neq 0 .)

• De (E2), (E3) y (E4) se despeja $- 2 a = c$ y $- 2 b = c .$

• Sustituyendo en (E5) queda $c^{3} ∕ 4 - c ∕ 3 + 1 = 0,$ resolviendo se obtiene $c \approx - 1.86 ⟹ abc < 0$

Pero la presencia de

ln (abc)

en la ecuación de

S

no permite que

abc < 0 .

Por tanto no existe

Q \in S .

13.4Considere la superficie

S : z = x^{2} + y^{2}

.

1.: (*) ¿Existe $P \in S$ tal que una ecuación del plano tangente a $S$ en $P$ es $2 x + 2 y + z = 0$ ?
2.: Determine un punto $Q \in S$ si se sabe que las rectas tangentes a $S$ en $Q,$ en las direcciones de $u = (1, 1)$ y $v = (- 1, 1)$ tienen una ecuación vectorial $L_{u} (t) = Q + t (1, 1, 5)$ y $L_{v} (t) = Q + t (- 1, 1, 4),$ respectivamente.

1.

Sea

G (x, y, z) = z - x^{2} - y^{2} .

P = (a, b, c) \in S ⟹ c = a^{2} + b^{2} .

El plano tangente tiene ecuación $2 x + 2 y + z = 0 ⟹ \nabla G (P) = λ (2, 2, 1),$ y además, $(2, 2, 1) \cdot P = 0$

${\begin{matrix} - 2 a & = & 2 λ \\ - 2 b & = & 2 λ \end{matrix} ⟹ a = - 1, b = - 1 y como P \in S ⟹ z = 2$

Pero si

P = (- 1, - 1, 2) ⟹ (- 1, - 1, 2) \cdot (2, 2, 1) = - 2 \neq 0 .

Por tanto no hay ‘un tal

P

con lo requerido.

2.

Sea

Q = (a, b, c) \in S ⟹ c = a^{2} + b^{2} .

Además

\nabla z (Q) = (2 a, 2 b)

De los datos tenemos que

${\begin{matrix} \nabla z (Q) \cdot (1, 1) & = & 5 \\ \nabla z (Q) \cdot (- 1, 1) & = & 4 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} 2 a + 2 b & = & 5 \\ - 2 a + 2 b & = & 4 \end{matrix} ⟹ a = \frac{1}{4} \land b = \frac{9}{4}$

Entonces

Q = (\frac{1}{4}, \frac{9}{4}, \frac{41}{8})

13.5Considere la superficie

S

de ecuación

z^{3} + xz + y = 1 .

P = (1, 1, 0) \in S .

Calcule una ecuación cartesiana del plano tangente en el punto

P

Como la superficie

S

tiene ecuación

G (x, y, z) = z^{3} + xz + y - 1,

la ecuación cartesiana del plano tangente en el punto

P

es

\nabla G (P) \cdot (x, y, z) = \nabla G (P) \cdot P .

•

\nabla G (x, y, z) = (z, 1, 3 z^{2} + x)

•

N = \nabla G (1, 1, 0) = (0, 1, 1)

La ecuación cartesiana del plano tangente en el punto $P$ es $y + z = 1 .$

13.6Calcule una ecuación vectorial de la recta normal a la superficie

S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

en el punto

P = (1 ∕ 2, 1 ∕ 2, 1 ∕ \sqrt{2})

La recta normal

L

pasa por

P

y va en la dirección de un vector normal a la superficie

S

e

P .

Podemos tomar

N = \nabla G (P) = (1, 1, 2 ∕ \sqrt{2}),

así una ecuación vectorial de la recta es

L : (x, y, z) = P + t (1, 1, 2 ∕ \sqrt{2}), t \in ℝ .

13.7 Considere la superficie

S

de ecuación

e^{xz} + xy = yz + 1 .

Sea

P = (0, 1, 0) \in S .

1: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $P$ "en la dirección del eje $X$ " (en la dirección del vector $v = (1, 0)$ )
$L_{X} (t) = P + t \cdot (1, 0, 1)$
2: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $P$ "en la dirección del eje $Y$ " (en la dirección del vector $v = (0, 1)$ )
$L_{Y} (t) = P + t \cdot (0, 1, 1)$
3: Determine una ecuación vectorial para la recta tangente a $S$ en $P$ "en la direción del vector $v = (2, - 4)$ "
$L_{v} (t) = P + t \cdot (2, - 4, - 2)$
4: Calcule una ecuación cartesiana del plano tangente a $S$ en $P .$
$- x - y - z = - 1$

13.8Considere la superficie

S

de ecuación

x^{2} + x z^{3} = - y^{2} z

y

P = (1, 0, - 1) \in S .

Calcule una ecuación cartesiana del plano tangente a

S

en el punto

P

Como

G (x, y, z) = x^{2} + x z^{3} + y^{2} z,

la ecuación cartesiana del plano tangente en el punto

P

es

\nabla G (P) \cdot (x, y, z) = \nabla G (P) \cdot P

•

\nabla G (x, y, z) = (2 x + z^{3}, 2 yz, y^{2} + 3 x z^{2})

• $N = \nabla G (1, 0, - 1) = (1, 0, 3)$

La ecuación cartesiana del plano tangente en el punto $P$ es $x + 3 z = - 2 .$

13.9 Considere la superficie

S : z = cos (x + sen y)

1.: Calcule $D_{v} z (1, 1)$ donde $v = (2, 1)$
2.: Calcule una ecuación vectorial de la recta tangente a $S$ en $P = (1, 1, z (1, 1))$ en la dirección del eje $X$
3.: Calcule una ecuación vectorial de la recta tangente a $S$ en $P = (1, 1, z (1, 1))$ en la dirección del eje $Y$
4.: Calcule una ecuación vectorial de la recta tangente a $S$ en $P = (1, 1, z (1, 1))$ en la dirección de $v = (2, 1)$
5.: Determine una ecuación vectorial y una ecuación cartesiana del plano tangente a $S$ en $P = (1, 1, z (1, 1))$

Se omite