Ejercicios

12.1 Sea

f (x, y) = 4 - x^{2} - y^{2}

la ecuación de una superficie

S .

1: Calcule $D_{u} f (R)$ si $u = (- 2, 1)$ y $R = (1, - 1, 2)$ es un punto en la superficie.

$\nabla f = (- 2 x, - 2 y)$
$D_{u} f (R) = \nabla f (R) \cdot \frac{u}{| | u | |} = (- 2, 2) \cdot \frac{(- 2, 1)}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$
2: Determine el punto $P = (a, b, c) \in S$ para el cual la derivada direccional de $f$ en $P$ es $\sqrt{2}$ en dirección de $u = (- 2, 1)$ y $\sqrt{5}$ en la dirección de $v = (1, 1) .$

$\begin{array}{rcl} D_{u} f (P) & = & (- 2 a, - 2 b) \cdot (- 2, 1) ∕ \sqrt{5} = \sqrt{2} ⟹ 4 a - 2 b = \sqrt{10} \\ D_{v} f (P) & = & (- 2 a, - 2 b) \cdot (1, 1) ∕ \sqrt{2} = \sqrt{5} ⟹ - 2 a - 2 b = \sqrt{10} \end{array}$
Entonces, $a = 0$ y $b = - \sqrt{5 ∕ 2} .$ $P = (0, - \sqrt{5 ∕ 2}, 3 ∕ 2) .$
3: Determine un vector $u$ para el cual la derivada direccional en $R = (1, - 1, 2) \in S$ es máxima y calcule su valor.

$D_{u} f (R)$ es máxima si $u = \nabla f (R) = (- 2, 2) .$ En este caso, $D_{\nabla f (R)} f (R) = | | \nabla f (R) | | = \sqrt{8} .$

12.2 Sea

x^{2} + xyz + z^{3} = 1

la ecuación de una superficie

S .

1: Calcule $D_{u} z (Q)$ si $u = (- 2, 1)$ y $Q = (1, 2, 0) \in S$

$\nabla f = (- \frac{2 x + yz}{xy + 3 z^{2}}, \frac{- xz}{xy + 3 z^{2}})$
$D_{u} f (Q) = \nabla z (Q) \cdot \frac{v}{| | v | |} = (- 1, 0) \cdot \frac{(- 2, 1)}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
2: Determine $b \in ℝ - {0}$ tal que en $P = (1, b, 0) \in S$ y $D_{u} z (P) = \sqrt{2} .$

$D_{v} z (P) = (- 2 ∕ b, 0) \cdot (- 2, 1) ∕ \sqrt{5} = \sqrt{2} ⟹ b = 4 ∕ \sqrt{10}$
3: Determine un vector $u$ para el cual la derivada direccional en $R = (1, - 1, 1) \in S$ es mínima y calcule su valor.

$D_{u} z (R)$ es mínima si $u = - \nabla z (R) = (1 ∕ 2, 1 ∕ 2) .$ En este caso, $D_{\nabla z (R)} z (R) = - | | \nabla z (R) | | = - \sqrt{1 ∕ 2} .$

12.3 Considere la superficie

S

de ecuación

z^{3} + xz + y = 1 .

P = (1, 1, 0) \in S

1: Calcule $D_{u} z (P)$ donde $u = (1, - 2)$

$z = z (x, y)$ está definida de manera implícita. Sea $F (x, y, z) = z^{3} + xz + y - 1 .$

$\nabla z = (- \frac{F_{x}}{F_{z}}, - \frac{F_{y}}{F_{z}},) = (- \frac{z}{3 z^{2} + x}, - \frac{1}{3 z^{2} + x});$

$\begin{array}{rcl} D_{u} z (P) & = & \nabla z (P) \cdot \frac{(1, - 2)}{\sqrt{5}} \\ = & (0, - 1) \cdot \frac{(1, - 2)}{\sqrt{5}} = 2 ∕ \sqrt{5} \approx 0.894427 . \end{array}$
2: ¿Cuál es el máximo valor que podría alcanzar la derivada direccional en $P$ y en cuál dirección $v$ se alcanza?

El máximo valor que podría alcanzar la derivada direccional en $P$ es $| | \nabla z (P) | | = 1$ cuando $v = \nabla z (P) = (0, - 1) .$

12.4 Considere la superficie

S

de ecuación

xy z^{2} = 8 z .

P = (1, 1, 8) \in S

1: Calcule $D_{u} z (P)$ donde $u = (- 5, \sqrt{2})$

$z = z (x, y)$ está definida de manera implícita. Sea $F (x, y, z) = xy z^{2} - 8 z .$

$\nabla z = (- \frac{F_{x}}{F_{z}}, - \frac{F_{y}}{F_{z}},) = (- \frac{y z^{2}}{2 zxy - 8}, - \frac{x z^{2}}{2 zxy - 8});$

$\begin{array}{rcl} D_{u} z (P) & = & \nabla z (P) \cdot \frac{(- 5, \sqrt{2})}{\sqrt{27}} \\ = & (- 8, - 8) \cdot \frac{(- 5, \sqrt{2})}{\sqrt{27}} = \frac{40 - 8 \sqrt{2}}{\sqrt{27}} \approx 5.52068 \end{array}$
2: ¿Cuál es el máximo valor que podría alcanzar la derivada direccional en $P$ y en cuál dirección $v$ se alcanza?

12.5 Considere la superficie

S

de ecuación

e^{xz} + xy = yz + 1 .

Sea

P = (0, 1, 0) \in S .

Calcule la derivada direccional de

z

en

P

en la dirección del vector

u = (1, 2) .

D_{u} z (P) = (1, 1) \cdot \frac{(1, 2)}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}

12.6Considere la superficie

S

de ecuación

x^{2} + x z^{3} = - y^{2} z

y

P = (1, 0, - 1) \in S .

Calcule

D_{u} z (P)

donde

u = (1, - 1)

z

está definida de manera implícita. Sea

G (x, y, z) = x^{2} + x z^{3} + y^{2} z

$\nabla z = (- \frac{G_{x}}{G_{z}}, - \frac{G_{y}}{G_{z}},) = (- \frac{2 x + z^{3}}{y^{2} + 3 x z^{2}}, - \frac{2 yz}{y^{2} + 3 x z^{2}})$

$\begin{matrix} D_{u} z (P) & = & \nabla z (P) \cdot \frac{(1, - 1)}{\sqrt{2}} \end{matrix}$