Derivada direccional

12. Derivada direccional

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de

z = f (x, y)

en el punto

x = (x_{0}, y_{0})

en la dirección de un vector unitario arbitrario

v = (a, b)

, para esto consideremos la superficie

S

con ecuación

z = f (x, y)

(la gráfica de

f

) y sea

z_{0} = f (x_{0}, y_{0})

. Entonces el punto

P = (x_{0}, y_{0}, z_{0})

pertenece a

S

. El plano vertical generado por la recta

L

que pasa por el punto

(x_{0}, y_{0}, 0)

en la dirección del vector

v,

interseca a la superficie

S

en la curva

C

. La pendiente de la recta tangente

T

a la curva

C

en el punto

P

es la tasa de cambio de

z

en la dirección del vector

v

Figura 4.17: Derivada direccional

Sea $Q = (x, y, z)$ otro punto sobre la curva $C$ , y sean $P^{'} = (x_{0}, y_{0})$ y $Q^{'} = P^{'} + h v$ las proyecciones ortogonales sobre el plano $XY$ de los puntos $P$ y $Q,$ entonces

P^{'} Q^{'} = Q^{'} - P^{'} = h v

para algún escalar $h$ . Así pues,

x - x_{0} = ha ⟹ x = x_{0} + ha

y - y_{0} = hb ⟹ y = y_{0} + hb

Figura 4.18:

| | P^{'} Q^{'} | | = h | | v | |

El cambio sobre recta

L

| | P^{'} Q^{'} | | = h | | v | | = h

pues

v

es unitario, por tanto la razón de cambio está dada por

\frac{Δ z}{h | | v | |} = \frac{Δ z}{h} = \frac{z - z_{0}}{h} = \frac{f (x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f (x_{0}, y_{0})}{h}

y al tomar el límite cuando

h \to 0

(siempre y cuando este límite exista) obtenemos la tasa de cambio instantánea de

z

(con respecto a la distancia) en la dirección de

v,

la cual se llama derivada direccional de

f

en la dirección de

v

Definición 12 ((Derivada direccional).).

Sea $f : D \subset ℝ^{2} \to ℝ$ una función escalar y sean $(x_{0}, y_{0}) \in D$ y $v = (a, b)$ un vector unitario, entonces la derivada direccional de $f$ en $(x_{0}, y_{0})$ en la dirección del vector unitario $v,$ está dada por :

\begin{matrix} D_{v} f (x_{0}, y_{0}) & = & lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f (x_{0}, y_{0})}{h} \end{matrix}

Aplicando regla de la cadena, obtenemos una fórmula para la derivada direccional en términos del gradiente. Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la dirección de un vector

v = (a, b)

no necesariamente unitario, entonces si

(x, y) = (x_{0} + ha, y_{0} + hb),

\begin{matrix} D_{v} f (x_{0}, y_{0}) & = & lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f (x_{0}, y_{0})}{h | | v | |} \\ = & \frac{1}{| | v | |} \cdot {\frac{d}{dh} f (x, y) |}_{h = 0} \\ = & \frac{1}{| | v | |} \cdot (\frac{∂f}{∂x} \cdot x_{h} + \frac{∂f}{∂y} \cdot y_{h}) \end{matrix}

Teorema 10 — (Cálculo de la derivada direccional)..

Sea $f : D \subset ℝ^{n} \to ℝ$ una función escalar diferenciable en $D,$ entonces $f$ tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector no nulo $v = (a, b)$ y está dada por:

\begin{matrix}  \end{matrix}

Ejemplo105

Calcule la derivada direccional $D_{v} f (x, y)$ si $f (x, y) = x^{3} - 3 xy + 4 y^{2}$ y $v = (\sqrt{3}, 1) .$ Calcule $D_{v} f (1, 2)$ .

Solución.

•: Evaluar el gradiente: Como $\nabla f (x, y) = (3 x^{2} - 3 y, - 3 x + 8 y)$ entonces $\nabla f (1, 2) = (- 3, 13)$
•: $| | v | | = 2$
•: Cálculo: ${\begin{matrix} D_{u} f (1, 2) & = & \nabla f (1, 2) \cdot \frac{v}{| | v | |} \\ = & (- 3, 13) \cdot \frac{(\sqrt{3}, 1)}{2} \end{matrix}$

Ejemplo106

Calcule la derivada direccional de $f (x, y, z) = x sen (yz),$ en el punto $P = (1, 3, 0)$ en la dirección del vector $v = i + 2 j - k .$

Solución.

•

El vector gradiente de la función

f

esta dado por

$\nabla f (x, y, z) = (sen (yz), xz cos (yz), xy cos (yz))$

evaluando en

P

tenemos que

\nabla f (1, 3, 0) = (0, 0, 3)

•

Por otro lado, como

| | v | | = \sqrt{6},

un vector unitario en la dirección de

v

\frac{v}{| | v | |} = \frac{1}{\sqrt{6}} i + \frac{2}{\sqrt{6}} j - \frac{1}{\sqrt{6}} k = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, - \frac{1}{\sqrt{6}})

•

Cálculo:

D_{v} f (1, 3, 0) = \nabla f (1, 3, 0) \cdot \frac{v}{| | v | |} = (0, 0, 3) \cdot (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{- 1}{\sqrt{6}}) = - \frac{3}{\sqrt{6}}

Componente. La fórmula

D_{v} f (x, y) = \nabla f (x, y) \cdot \frac{v}{| | v | |}

nos dice que la derivada direccional es la componente (un escalar) del vector gradiente

\nabla f (P)

en la dirección del vector

v

Figura 4.19:

Dirección de máximo y mínimo cambio. Suponga que tenemos una función

f

de dos o de tres variables y consideramos todas las posibles derivadas direccionales de

f

en un punto

P

dado. Esto proporciona las tasas de cambio de

f

en todas las posibles direcciones. De modo que podemos plantear la siguiente pregunta : ¿En cuál de estas direcciones

f

cambia con mayor velocidad?, y ¿cuál es la máxima razón de cambio?.

Intuitivamente, de acuerdo a la figura , la derivada direccional en $P$ aumenta conforme el vector $v$ se acerca al gradiente.

Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema.

Teorema 11 — (Dirección de máximo cambio)..

Sea $f : D \subseteq ℝ^{2} \to ℝ$ una función escalar. El valor máximo de la derivada direccional $D_{v} f$ en $(x, y)$ es $| | \nabla f (x, y) | |$ y se presenta cuando el vector no nulo $v$ tiene la misma dirección que el vector gradiente $\nabla f (x, y)$ .

\begin{array}{rcl} D_{v} f (x, y) & = & \nabla f (x, y) \cdot \frac{v}{| | v | |} \\ = & | | \nabla f (x, y) | | cos 𝜃 . \end{array}

donde $𝜃$ es el ángulo entre el vector unitario $\frac{v}{| | v | |}$ y el vector $\nabla f (x, y) .$

El valor de

D_{v} f (x, y)

aumenta o disminuye solo si

cos 𝜃

cambia (si giramos el vector

v

).
Así que el máximo valor se obtiene cuando

cos 𝜃 = 1

(es decir

𝜃 = 0

). Por tanto

D_{v} f (x, y)

es máxima cuando

𝜃 = 0

y en ese caso

v

\nabla f (x, y)

son paralelos.

Figura 4.20:

Valor mínimo: El valor mínimo de la derivada direccional en

(x, y)

- | | \nabla f (x, y) | |

y ocurre cuando

v

tiene la misma dirección

- \nabla f (x, y) .

Observación: $f$ se mantiene constante sobre las curvas de nivel; la dirección (un vector $u$ ) en la que el cambio (instantáneo) de $f$ respecto a $P$ es nulo es la dirección de un vector perpendicular a $\nabla f (P) .$ Que la derivada direccional se anule en $P$ en la dirección de $u$ no significa, por supuesto que en esta dirección la función se mantenga constante (esto solo pasa sobre las curvas de nivel) excepto que la curva de nivel sea una recta.

Ejemplo107

Considere la placa rectangular que se muestra en la figura de la derecha. Si la temperatura en un punto

(x, y)

de la placa está dada por

T (x, y) = 4 {(x - 2)}^{2} - 7 {(y - 0.4)}^{2}

determine la dirección en la que debe de ir un insecto que está en el punto $P = (0, 0)$ , para que se caliente lo más rápidamente. ¿Y qué debe hacer el insecto si desea ir por un camino en el que la temperatura se mantenga constante?

Figura 4.21: Mejor dirección, respecto a

(0, 0)

Solución.

La dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente respeto a $P$ es la dirección del gradiente (vector magenta en la figura): $\nabla T (x, y) = (8 (x - 2), - 14 (y - 0.4)) ⟹ \nabla T (0, 0) = (- 16, 5.6)$

En cuanto a la otra pregunta, aunque la derivada direccional es nula en la dirección de un vector perpendicular al gradiente (vector rojo en la figura) esto solo dice que la razón de cambio instántaneo en esa dirección es cero. La trayectoria en la que la temperatra se mantiene constante es la curva de nivel

T (x, y) = T (0, 0)

(curvas blancas). Es por ahí donde debería caminar el insecto.

Ejemplo108

Suponga que la temperatura en un punto $(x, y, z)$ en el espacio está dada por

T (x, y, z) = \frac{80}{1 + x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2}}

donde

T

está medida en grados centígrados y

x, y, z

están en metros. ¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura respecto al punto

(1, 1, - 2)

? ¿Cuál es la máxima tasa de incremento ?

Solución. El gradiente de $T$ es

\nabla T (x, y, z) = - \frac{160 x}{{(1 + x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2})}^{2}} i - \frac{320 y}{{(1 + x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2})}^{2}} j - \frac{480 z}{{(1 + x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2})}^{2}} k

Evaluando en el punto

P = (1, 1, - 2)

obtenemos

\nabla T (1, 1, - 2) = \frac{5}{8} (- i - 2 j + 6 k)

Por tanto, la temperatura se incrementa con mayor rapidez en la dirección del vector gradiente

v = - i - 2 j + 6 k

La tasa máxima de incremento es la longitud del vector gradiente

| | \nabla T (1, 1, - 2) | | = \frac{5}{8} | | - i - 2 j + 6 k | | = \frac{5 \sqrt{41}}{8}

Ejemplo109

Considere la superficie $S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ y $P = (1 ∕ \sqrt{3}, 1 ∕ \sqrt{3}, \sqrt{10 ∕ 3}) .$ Derivando implícitamente obtenemos,

\nabla z = (- \frac{x}{z}, - \frac{y}{z}) y \nabla z (P) = (- \frac{1}{\sqrt{10}}, - \frac{1}{\sqrt{10}})

En particular, la pendiente de la recta tangente en

P

en la dirección de

v = (1, 1)

D_{(1, 1)} z (P) = \nabla z (1 ∕ \sqrt{3}, 1 ∕ \sqrt{3}) \cdot \frac{(1, 1)}{\sqrt{2}} = - \sqrt{2} \approx - 1.41421

mientras que la pendiente de la recta tangente en

P

en la dirección de

\nabla z (P)

D_{\nabla z (P)} z (P) = \nabla z (P) \cdot \frac{\nabla z (P)}{| | \nabla z (P) | |} = | | \nabla z (P) | | = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.44721