Regla de la cadena.

10. Regla de la cadena.

Recordemos que en una variable, si $f (u)$ y $u (x)$ son derivables, entonces la regla de la cadena establece

\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \frac{du}{dx}

La regla de la cadena nos indica como varía $f$ conforme recorremos la trayectoria $u (x) .$ Formalmente es la derivada de $f$ en presencia de un cambio de variable $u .$ En funciones de varias variables la relación persiste en el siguiente sentido

Ya conocemos que si $f$ es diferenciable en $(x_{0}, y_{0})$ entonces hay entorno alrededor de $(x_{0}, y_{0})$ en el que

Δ f = f_{x} (x_{0}, y_{0}) dx + f_{y} (x_{0}, y_{0}) d y + E (x, y) con lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} \frac{E (x, y)}{| | (x, y) - (x_{0}, y_{0}) | |} = 0

En presencia de una composición de funciones (o mejor "un cambio de variable"), tenemos

Teorema 6 — (Regla de la cadena – Caso I)..

Sean $x = x (t)$ y $y = y (t)$ derivables y $z = f (x, y)$ diferenciable en $(x, y) = (x (t), y (t)),$ entonces si $z = f (x (t), y (t))$ es derivable,

\frac{dz}{dt} = \frac{∂f}{∂x} x^{'} (t) + \frac{∂f}{∂y} y^{'} (t)

Teorema 7 — (Regla de la cadena – Caso II.).

Sean $u = u (x, y)$ y $v = v (x, y)$ con derivadas parciales en $(x, y) .$ Si $z = f (u, v)$ es diferenciable en $(u, v) = (u (x, y), v (x, y))$ entonces $z = f (u, v)$ tiene derivadas parciales de primer orden en $(x, y)$ y

\begin{matrix} \frac{∂z}{∂x} & = & \frac{∂f}{∂u} \frac{∂u}{∂x} + \frac{∂f}{∂v} \frac{∂v}{∂x} \\ \frac{∂z}{∂y} & = & \frac{∂f}{∂u} \frac{∂u}{∂y} + \frac{∂f}{∂v} \frac{∂v}{∂y} \end{matrix}

También puede suceder que $x = x (u, v)$ y $y (u, v)$ . En este caso, si $f$ es diferenciable y estos cambios de variable tiene derivadas parciales entonces se puede derivar respecto $u$ y $v$ .

Regla de la cadena. Sea

f

diferenciable y los cambios de variable con derivadas parciales

1

z = f (x (t), y (t))

\frac{dz}{dt} = \frac{∂f}{∂x} x^{'} (t) + \frac{∂f}{∂y} y^{'} (t)

2

z = f (u (x, y), v (x, y))

\begin{matrix} \frac{∂z}{∂x} & = & \frac{∂f}{∂u} \frac{∂u}{∂x} + \frac{∂f}{∂v} \frac{∂v}{∂x} \\ \frac{∂z}{∂y} & = & \frac{∂f}{∂u} \frac{∂u}{∂y} + \frac{∂f}{∂v} \frac{∂v}{∂y} \end{matrix}

3

z = f (x (u, v), y (u, v))

\begin{matrix} \frac{∂z}{∂u} & = & \frac{∂f}{∂x} \frac{∂x}{∂u} + \frac{∂f}{∂y} \frac{∂y}{∂u} \\ \frac{∂z}{∂v} & = & \frac{∂f}{∂x} \frac{∂x}{∂v} + \frac{∂f}{∂y} \frac{∂y}{∂v} \end{matrix}

Ejemplo98Regla de la cadena

Sea $z (x, y) = x^{2} + 3 y^{2},$ donde $x = e^{t}$ y $y = cos (t)$ entonces

: $\begin{matrix} \frac{d z}{dt} & = & \frac{∂z}{\partial x} \frac{d x}{dt} + \frac{∂z}{\partial y} \frac{d y}{dt} \\ = & 2 x e^{t} - 6 y sen (t) = 2 e^{2 t} - 6 cos (t) sen (t) \end{matrix}$

Ejemplo99Regla de la cadena

Sea $z (x, y) = \sqrt{arctan (y ∕ x) + tan (xy)} .$ Podemos hacer un cambio de variable y calcular $\frac{∂z}{∂x}$ usando la regla de la cadena. Sea $u (x, y) = arctan (y ∕ x)$ y $v (x, y) = tan (xy),$ entonces $z = \sqrt{u + v} .$

\begin{matrix} \frac{∂z}{\partial x} & = & \frac{∂z}{∂u} \frac{∂u}{\partial x} + \frac{∂z}{∂v} \frac{∂v}{\partial x} \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{u + v}} \frac{1}{1 + {(y ∕ x)}^{2}} \cdot \frac{- y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{u + v}} y {sec}^{2} (x y) \end{matrix}

Al sustituir

u

v

obtenemos el resultado completo, si fuera necesario.

Ejemplo100Regla de la cadena

Sea $z (u, v) = x^{2} e^{y^{3}},$ donde $x = uv$ y $y = u^{2} - v^{3}$ entonces

\begin{matrix} \frac{∂z}{\partial u} & = & \frac{∂z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{∂z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \\ = & 2 x e^{y^{3}} \frac{∂x}{\partial u} + 3 x^{2} y^{2} e^{y^{3}} \frac{∂y}{\partial u} = 2 x e^{y^{3}} v + 3 x^{2} y^{2} e^{y^{3}} 2 u \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{∂z}{\partial v} & = & \frac{∂z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{∂z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \\ = & 2 x e^{y^{3}} \frac{∂x}{\partial v} + 3 x^{2} y^{2} e^{y^{3}} \frac{∂y}{\partial v} = 2 x e^{y^{3}} u + 3 x^{2} y^{2} e^{y^{3}} \cdot - 3 v^{2} \end{matrix}

Ejemplo101Regla de la cadena

Sea $f$ una función diferenciable y $z (x, y) = f (x^{2}, x y^{2}) .$ Para derivar usando la regla de la cadena usamos el cambio de variable $u = x^{2}$ y $v = x y^{2},$ entonces $z (x, y) = f (u, v)$ y

\begin{matrix} \frac{∂z}{\partial x} & = & \frac{∂f}{∂u} \cdot \frac{∂u}{\partial x} + \frac{∂f}{∂v} \cdot \frac{∂v}{\partial x} \\ = & \frac{∂f}{∂u} \cdot 2 x + \frac{∂f}{∂v} \cdot y^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{∂z}{\partial y} & = & \frac{∂f}{∂u} \cdot \frac{∂u}{\partial y} + \frac{∂f}{∂v} \cdot \frac{∂v}{\partial y} = \frac{∂f}{∂u} \cdot 0 + \frac{∂f}{∂v} \cdot 2 xy \end{matrix}

Ejemplo102Regla de la cadena

Sea $f$ una función derivable y $z = f (x, y)$ con $x = r cos 𝜃, y = r sen 𝜃,$ entonces

: $\begin{matrix} \frac{∂z}{\partial r} & = & \frac{∂f}{∂x} \frac{∂x}{\partial r} + \frac{∂f}{∂y} \frac{∂y}{\partial r} = \frac{∂f}{∂x} cos 𝜃 + \frac{∂f}{∂y} sen 𝜃 \end{matrix}$
: $\begin{matrix} \frac{∂z}{\partial 𝜃} & = & \frac{∂f}{∂x} \frac{∂x}{\partial 𝜃} + \frac{∂f}{∂y} \frac{∂y}{\partial 𝜃} = \frac{∂f}{∂x} \cdot - r sen 𝜃 + \frac{∂f}{∂y} r cos 𝜃 \end{matrix}$

Ejemplo103Regla de la cadena

Sea $V = V (P, T) .$ Si $P (V - b) e^{RV} = RT,$ con $b, R$ constantes, calcule $\frac{∂V}{∂T} .$

Solución. $V$ es función de $P$ y $T .$ Derivamos a ambos lados respecto a $T,$

\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{∂T} [P (V - b) e^{RV}] & = & \frac{\partial}{∂T} [RT] \\ P [V_{T} e^{RV} + (V - b) e^{RV} R V_{T}] & = & R \\ ∴ V_{T} & = & \frac{R}{P e^{RV} (1 + (V - b) R) .} \end{array}

Regla de la cadena y segundas derivadas parciales. Si

z = f (u, v)

tiene segundas derivadas parciales continuas, entonces las derivadas parciales de

f

siguen siendo funciones de

u

v .

Si $z = f (u, v),$ entonces $\frac{\partial}{∂x} (\frac{∂f}{∂u} (u, v)) = \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} \cdot \frac{∂u}{∂x} + \frac{\partial^{2} f}{∂v∂u} \cdot \frac{∂v}{∂x}$

Regla de la cadena y segundas derivadas parciales.

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{∂f}{∂u} (u, v)) = \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} \cdot \frac{∂u}{\partial x} + \frac{\partial^{2} f}{∂v∂u} \cdot \frac{∂v}{\partial x}

\frac{\partial}{\partial y} (\frac{∂f}{∂u} (u, v)) = \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} \cdot \frac{∂u}{\partial y} + \frac{\partial^{2} f}{∂v∂u} \cdot \frac{∂v}{\partial y}

Ejemplo104Regla de la cadena

Si $z = g (x^{2}) + f (arctan x, tan y),$ calcule $\frac{∂f}{∂x}$ , $\frac{∂f}{∂y},$ $\frac{\partial 2 z}{∂x∂y}$ y $\frac{\partial 2 z}{∂x 2}$

Solución. : Primero un cambio de variable $z = g (u) + f (v, w)$ con ${\begin{matrix} u & = & x^{2} \\ v & = & arctan x \end{matrix}$

1

\frac{∂z}{∂x} = g^{'} (u) \cdot 2 x + \frac{∂f}{∂v} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{∂f}{∂w} \cdot 0

2

\begin{matrix} \frac{\partial 2 z}{∂x 2} & = & \frac{\partial}{∂x} (2 x \cdot g^{'} (u) + \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \frac{∂f}{∂v} (v, w)) \end{matrix}

3

\frac{∂z}{∂y} = 0 + \frac{∂f}{∂v} \cdot 0 + \frac{∂f}{∂w} \cdot {sec}^{2} y

4

\begin{matrix} \frac{\partial 2 z}{∂x∂y} & = & \frac{\partial}{∂x} ({sec}^{2} y \cdot \frac{∂f}{∂w} (v, w)) \end{matrix}

Ejemplo105Regla de la cadena

Si $z (x, y) = g (y) \cdot f (x - 2 y, y^{3}) .$ Calcule $z_{x}$ y $z_{xy} .$

Solución. Cambio de variable: Sea $u = x - 2 y,$ $v = y^{3} .$ Entonces $z (x, y) = g (y) f (u, v) .$

$z_{x} = g (y) [f_{u} \cdot 1 + f_{v} \cdot 0] = g (y) f_{u} (u, v)$

$z_{x y} = g^{'} (y) \cdot 1 \cdot f_{u} + g (y) [- 2 f_{u u} + 3 y^{2} f_{u v}]$

Ejemplo106Regla de la cadena

Cambio de variable: Sea $z (x, y) = g (u, v)$ con $u = x^{2} y^{2}$ y $v = xy .$ Calcule $\frac{\partial 2 z}{∂y∂x} .$

Solución.

$\begin{matrix} \frac{∂z}{\partial x} & = & \frac{∂g}{∂u} \frac{∂u}{\partial x} + \frac{∂g}{∂v} \frac{∂v}{\partial x} & = & \frac{∂g}{∂u} \cdot 2 x y^{2} + \frac{∂g}{∂v} \cdot y \end{matrix}$

\begin{matrix} \frac{\partial 2 z}{\partial y ∂x} & = & \frac{\partial}{\partial y} [\frac{∂g (u, v)}{∂u}] \cdot 2 x y^{2} + \frac{\partial}{\partial y} [2 x y^{2}] \cdot \frac{∂g}{∂u} + \frac{∂g (u, v)}{∂v} + y \cdot \frac{\partial}{\partial y} [\frac{∂g (u, v)}{∂v}] \\ = & [\frac{\partial^{2} g}{\partial u^{2}} \cdot u_{y} + \frac{\partial^{2} g}{∂v ∂u} \cdot v_{y}] \cdot 2 x y^{2} + 4 xy \cdot \frac{∂g}{∂u} + \frac{∂g (u, v)}{∂v} + y \cdot [\frac{\partial^{2} g}{∂u ∂v} \cdot u_{y} + \frac{\partial^{2} g}{\partial v^{2}} \cdot v_{y}] \\ = & [\frac{\partial^{2} g}{\partial u^{2}} \cdot 2 y x^{2} + \frac{\partial^{2} g}{∂v ∂u} \cdot x] \cdot 2 x y^{2} + 4 xy \cdot \frac{∂g}{∂u} + \frac{∂g (u, v)}{∂v} + y \cdot [\frac{\partial^{2} g}{∂u ∂v} \cdot 2 y x^{2} + \frac{\partial^{2} g}{\partial v^{2}} \cdot x] \end{matrix}

Ejemplo107Regla de la cadena

Sea $F (u, v) = - u - v$ con $u^{2} = x - y$ y $v^{2} = x + y .$ Si $u \neq 0$ y $v \neq 0,$ verifique

a.): $F_{x} = - \frac{u + v}{2 uv} .$
b.): $F_{y} = \frac{v - u}{2 uv} .$

Solución. Primero veamos que $2 u u_{x} = 1,$ $2 v v_{x} = 1,$ $2 u u_{y} = - 1$ y $2 v v_{y} = 1 .$ Por lo tanto

a.): $F_{x} = F_{u} u_{x} + F_{v} v_{x} = - 1 \cdot \frac{1}{2 u} - 1 \cdot \frac{1}{2 v} = - \frac{u + v}{2 uv} .$
b.): $F_{y} = F_{u} u_{y} + F_{v} v_{y} = - 1 \cdot (- \frac{1}{2 u}) - 1 \cdot \frac{1}{2 v} = \frac{v - u}{2 uv} .$

11.1 Sea

z = x y^{2} + x

con

x = sen t

y = tan (t) .

Calcule

\frac{d z}{dt} .

\begin{array}{rcl} \frac{d z}{dt} & = & \frac{∂z}{∂x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{∂z}{∂y} \cdot \frac{d y}{dt} \\ = & (y^{2} + 1) \cdot cos t + 2 xy \cdot {sec}^{2} t \end{array}

11.2 Sea

w = x^{2} + 2 xy + y^{2}

con

x = t cos t

y = t sen t .

Calcule

\frac{dw}{dt} .

\frac{dw}{dt} = 2 t + 2 t sen 2 t + 2 t^{2} cos 2 t

11.3 Sea

z = u \sqrt{u + v^{2}}

con

u = xy

v = arctan (y ∕ x) .

Calcule

\frac{∂z}{∂x}

\frac{∂z}{∂y} .

\begin{array}{rcl} \frac{∂z}{∂x} & = & \frac{∂z}{∂u} \cdot \frac{∂u}{∂x} + \frac{∂z}{∂v} \cdot \frac{∂v}{∂x} \\ = & [\sqrt{u + v^{2}} + \frac{u}{2 \sqrt{u + v^{2}}}] \cdot y + [\frac{uv}{\sqrt{u + v^{2}}}] \cdot \frac{- y ∕ x^{2}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \end{array}

\begin{array}{rcl} \frac{∂z}{∂y} & = & \frac{∂z}{∂u} \cdot \frac{∂u}{∂y} + \frac{∂z}{∂v} \cdot \frac{∂v}{∂y} \\ = & [\sqrt{u + v^{2}} + \frac{u}{2 \sqrt{u + v^{2}}}] \cdot x + [\frac{uv}{\sqrt{u + v^{2}}}] \cdot \frac{1 ∕ x}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} \end{array}

11.4Sea

f (x, y) = x^{2} y

con

x (u, v) = u + v

y (u, v) = uv

. Calcule

\frac{∂f}{∂u}

\frac{∂f}{∂v}

\frac{∂f}{∂u} = 2 (u + v) (uv) + {(u + v)}^{2} v

\frac{∂f}{∂v} = 2 (u + v) (uv) + {(u + v)}^{2} u

11.5 Sea

z = g (y) \cdot f (x, y)

con

f

g

funciones con derivadas de segundo orden.

1: Calcule $\frac{∂z}{∂x}$
$\frac{∂z}{∂x} = g (y) \cdot [\frac{∂f}{∂x}]$
2: Calcule $\frac{∂z}{∂y}$
$\frac{∂z}{∂y} = g^{'} (y) \cdot f (x, y) + g (y) [\frac{∂f}{∂y}]$
3: Si $x = t^{2}$ y $y = u^{2} + t^{3},$ calcule $\frac{∂z}{∂t}$ y $\frac{∂z}{∂u}$

$\frac{∂z}{∂t} = g^{'} (y) \cdot 3 t^{2} \cdot f (x, y) + g (y) [\frac{∂f}{∂x} \cdot 2 t + \frac{∂f}{∂y} \cdot 3 t^{2}]$

$\frac{∂z}{∂u} = g^{'} (y) \cdot 2 u \cdot f (x, y) + g (y) [\frac{∂f}{∂x} \cdot 0 + \frac{∂f}{∂y} \cdot 2 u]$

11.6 Sea

z = f (xy, x) .

f

tiene derivadas parciales de segundo orden, calcular

\frac{\partial^{2} z}{∂y∂x} .

1.: $\frac{∂z}{∂x} = \frac{∂f}{∂u} \cdot y + \frac{∂f}{∂v}$
2.: Aplicamos regla del producto,
$\begin{array}{rcl} \frac{\partial^{2} z}{∂y∂x} & = & \frac{\partial}{∂y} [\frac{∂f}{∂u} \cdot y] + \frac{\partial}{∂y} [\frac{∂f}{∂v}] \\ = & 1 \cdot \frac{∂f}{∂u} + y [\frac{\partial 2 f}{∂u 2} \cdot x] + [\frac{\partial 2 f}{∂u∂v} \cdot x] \end{array}$

11.7 Sea

z = {ln}^{3} (xy) + f (xy, x) .

f

tiene derivadas parciales de segundo orden, calcular

\frac{\partial^{2} z}{∂y∂x} .

1.

\frac{∂z}{∂x} = 3 {ln}^{2} (xy) \cdot \frac{1}{x} + \frac{∂f}{∂u} \cdot y + \frac{∂f}{∂v}

2.

Aplicamos regla del producto,

\begin{array}{rcl} \frac{\partial^{2} z}{∂y∂x} & = & 6 ln (xy) \cdot \frac{1}{xy} + \frac{\partial}{∂y} [\frac{∂f}{∂u} \cdot y] + \frac{\partial}{∂y} [\frac{∂f}{∂v}] \\ = & 6 ln (xy) \cdot \frac{1}{xy} + 1 \cdot \frac{∂f}{∂u} + y [\frac{\partial 2 f}{∂u 2} \cdot x] + [\frac{\partial 2 f}{∂u∂v} \cdot x] \end{array}

11.8 Sea

g

derivable y

f

una función con derivadas parciales de segundo orden continuas. Determine

\frac{\partial^{2} z}{∂x∂y}

z = f (x sen (y), g (x))

Primero hacemos un cambio de variable:

z = f (U, V)

con

U = x sen (y)

V = g (x) .

\begin{matrix} \frac{∂z}{∂y} & = & \frac{∂f}{∂U} \cdot U_{y} + \frac{∂f}{∂V} \cdot V_{y} \\ = & \frac{∂f}{∂U} \cdot x cos y + \frac{∂f}{∂V} \cdot 0 \end{matrix} y \begin{matrix} \frac{\partial^{2} z}{∂x∂y} & = & \frac{\partial}{∂x} (\frac{∂f (U, V)}{∂U} \cdot x cos y) \\ = & (\frac{\partial^{2} f}{\partial U^{2}} \cdot U_{x} + \frac{\partial^{2} f}{∂V ∂U} \cdot V_{x}) x cos y + cos y \frac{∂f}{∂U} \\ = & (\frac{\partial^{2} f}{\partial U^{2}} \cdot sen y + \frac{\partial^{2} f}{∂V ∂U} \cdot g^{'} (x)) x cos y + cos y \frac{∂f}{∂U} \end{matrix}

11.9 Sea

T (x, t) = e^{- 3 x} sen (2 t - 3 x) .

Determine una constante

K

tal que

6 \frac{∂T}{∂t} + 3 \frac{\partial^{2} T}{∂x∂t} - 2 \frac{∂T}{∂x} = K \cdot T (x, t)

\frac{∂T}{∂t} = 2 e^{- 3 x} sen (2 t - 3 x)

$\frac{\partial^{2} T}{∂x∂t} = - 6 e^{- 3 x} cos (2 t - 3 x) + 6 e^{- 3 x} sen (2 t - 3 x)$

$\frac{∂T}{∂x} = - 3 e^{- 3 x} sen (2 t - 3 x) - 3 e^{- 3 x} cos (2 t - 3 x)$

$K = 24$ .

11.10 Sea

z

definida mediante

z = xf (y) + yg (x)

, con

f

g

funciones dos veces derivables. Calcule

K \in ℝ

de tal manera que se verifique la identidad

2 xy \frac{\partial^{2} z}{∂x∂y} - Kx \frac{∂z}{∂x} - Ky \frac{∂z}{∂y} + 2 z = 0 .

∙ \frac{∂z}{∂x} = f (y) + y g^{'} (x) ∙ \frac{∂z}{∂y} = x f^{'} (y) + g (x) ∙ \frac{\partial^{2} z}{∂x∂y} = f^{'} (y) + g^{'} (x)

Si $K = 2,$ entonces

\begin{matrix} 2 xy (f^{'} (y) + g^{'} (x)) - 2 x (f (y) + y g^{'} (x)) - 2 y (x f^{'} (y) + g (x)) + 2 z \\ = 2 xy f^{'} (y) + 2 xy g^{'} (x) - 2 xf (y) - 2 xy g^{'} (x) - 2 yx f^{'} (y) - 2 yg (x) + 2 z \\ = - 2 xf (y) - 2 yg (x) + 2 z = 0 ✓ pues 2 z = 2 xf (y) + 2 yg (x) \end{matrix}

11.11 Sea

z = \frac{∂f}{∂x} + \frac{∂f}{∂y},

donde

f = f (x, y)

es una función con derivadas de segundo orden. Si

x = u^{2} + v

y = u + v^{2},

calcule

\frac{∂z}{∂u}

\frac{∂z}{∂v} .

Sugerencia:

\frac{∂z}{∂u} = \frac{\partial}{∂u} (\frac{∂f}{∂x} (x, y) + \frac{∂f}{∂y} (x, y))

\begin{array}{rcl} \frac{∂z}{∂u} & = & \frac{\partial 2 f}{∂x 2} \cdot \frac{∂x}{∂u} + \frac{\partial 2 f}{∂y∂x} \cdot \frac{∂y}{∂u} + \frac{\partial 2 f}{∂x∂y} \cdot \frac{∂x}{∂u} + \frac{\partial 2 f}{∂y 2} \cdot \frac{∂y}{∂u} \\ = & \frac{\partial 2 f}{∂x 2} \cdot 2 u + \frac{\partial 2 f}{∂y∂x} \cdot 1 + \frac{\partial 2 f}{∂x∂y} \cdot 2 u + \frac{\partial 2 f}{∂y 2} \cdot 1 \end{array}

\begin{array}{rcl} \frac{∂z}{∂v} & = & \frac{\partial 2 f}{∂x 2} \cdot \frac{∂x}{∂v} + \frac{\partial 2 f}{∂y∂x} \cdot \frac{∂y}{∂v} + \frac{\partial 2 f}{∂x∂y} \cdot \frac{∂x}{∂u} + \frac{\partial 2 f}{∂y 2} \cdot \frac{∂y}{∂u} \\ = & \frac{\partial 2 f}{∂x 2} \cdot 1 + \frac{\partial 2 f}{∂y∂x} \cdot 2 v + \frac{\partial 2 f}{∂x∂y} \cdot 1 + \frac{\partial 2 f}{∂y 2} \cdot 2 v \end{array}

11.12Sea

w = g (x) + f (x, y)

con

x = r cos 𝜃

y = r sen 𝜃 .

Calcule

\frac{∂w}{∂𝜃}

\frac{∂w}{∂𝜃} = - g^{'} (x) \cdot r sen 𝜃 - \frac{∂f}{∂x} \cdot r sen 𝜃 + \frac{∂f}{∂y} \cdot r cos 𝜃

11.13 Sea

z = f (u, v)

, donde

u = x^{2} + y^{2},

v = xy .

f

tiene derivadas parciales de segundo orden

f_{u}, f_{uv}, f_{uu}

f_{vv}

continuas (es decir,

f_{uv} = f_{vu}

). Verifique que:

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = 2 \frac{∂f}{∂u} + 4 x^{2} \frac{\partial 2 f}{∂u 2} + 4 xy \frac{\partial 2 f}{∂u∂v} + y^{2} \frac{\partial 2 f}{∂v 2}

1.: $\frac{∂z}{∂x} = 2 x \frac{∂f}{∂u} + y \frac{∂f}{∂v}$
2.: Aplicamos la regla del producto,
$\begin{array}{rcl} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} & = & \frac{\partial}{∂x} [2 x \frac{∂f}{∂u}] + \frac{\partial}{∂x} [y \frac{∂f}{∂v}] \\ = & 2 \frac{∂f}{∂u} + 2 x [2 x \frac{\partial 2 f}{∂u 2} + y \frac{\partial 2 f}{∂v∂u}] + y [2 x \frac{\partial 2 f}{∂u∂v} + y \frac{\partial 2 f}{∂v 2}] \end{array}$
3.: Simplificando se obtiene el resultado.

11.14Sea

z = f (x^{2} + cos y, x^{2} - 1) - g (3 x y^{2})

con

g

derivable y

f

con derivadas parciales continuas y de segundo orden. Calcule

z_{xy}

Primero debemos hacer un cambio de variable para poder aplicar la regla de la cadena. Sea

z = f (u, v) - g (w) .

Entonces,

z_{y} = f_{u} \cdot - sen y - g (w) \cdot 6 xy .

z_{xy} = - sen y (f_{uu} \cdot 2 x + f_{uv} \cdot 2 x) - g^{″} (w) \cdot 3 y^{2} \cdot 6 xy + 6 y \cdot g^{'} (w)

11.15Sea

z = x^{2} f^{4} (xy, y^{2})

con

f

con derivadas parciales continuas. Calcule

z_{y}

z_{x}

Primero debemos hacer un cambio de variable para poder aplicar la regla de la cadena. Sea

z = x^{2} f^{4} (u, v) .

Entonces,

$z_{x} = 2 x f^{4} (u, v) + x^{2} (4 f^{3} (u, v) \cdot (f_{u} \cdot y + f_{v} \cdot 0))$

$z_{y} = x^{2} (4 f^{3} (u, v) \cdot (f_{u} \cdot x + f_{v} \cdot 2 y))$

11.16Considere

z = x \cdot f (\frac{y}{x}, e^{3 x} + 3 x) + h (x^{2} y^{2})

, donde

f

es una función con derivadas parciales de segundo orden continuas y

h

una función con derivadas de segundo orden continuas, calcule:

\frac{\partial^{2} z}{∂x∂y}

Sea

u = \frac{y}{x}

v = e^{3 x} + 3 x

w = x^{2} y^{2}

. Entonces

z = x \cdot f (u, v) + h (w)

\begin{array}{rcl} \frac{∂z}{∂y} & = & x \cdot \frac{∂f}{∂y} + \frac{∂h}{∂y} \\ = & x \cdot \frac{∂f}{∂y} + \frac{∂h}{∂y} \\ = & x \cdot (\frac{∂f}{∂u} \cdot \frac{∂u}{∂y} + \frac{∂f}{∂v} \cdot \frac{∂v}{∂y}) + h^{'} (w) \cdot \frac{∂w}{∂y} \\ = & x \cdot (\frac{∂f}{∂u} \cdot \frac{1}{x} + \frac{∂f}{∂v} \cdot 0) + h^{'} (w) \cdot 2 x^{2} y \\ = & \frac{∂f}{∂u} + h^{'} (w) \cdot 2 x^{2} y \end{array}

Ahora

\begin{array}{rcl} \frac{\partial^{2} z}{∂x∂y} & = & \frac{\partial (\frac{∂z}{∂y})}{∂x} \\ = & \frac{\partial (\frac{∂f}{∂u} + h^{'} (w) \cdot 2 x^{2} y)}{∂x} \\ = & \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} \cdot \frac{∂u}{∂x} + \frac{\partial^{2} f}{∂v∂u} \cdot \frac{∂v}{∂x} + h^{′′} (w) \frac{∂w}{∂x} \cdot 2 x^{2} y + h^{'} (w) \cdot 4 xy \\ = & \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} \cdot \frac{- y}{x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{∂v∂u} \cdot (3 e^{3 x} + 3) + h^{′′} (w) \cdot 2 x y^{2} \cdot 2 x^{2} y + h^{'} (w) \cdot 4 xy \\ = & \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} \cdot \frac{- y}{x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{∂v∂u} \cdot (3 e^{3 x} + 3) + h^{′′} (w) \cdot 4 x^{3} y^{3} + h^{'} (w) \cdot 4 xy \end{array}

11.17Considere

z = f (2 x^{2} y - y, x^{2}) + g (x^{2} - xy)

, donde

f

es una función con derivadas parciales de segundo orden continuas y

g

una función con derivadas de segundo orden continuas, calcule:

\frac{\partial^{2} z}{∂x∂y}

Cambio de variable:

z = f (u, v) + g (w)

\frac{∂z}{∂y} = \frac{∂f}{∂u} \cdot (2 x^{2} - 1) - x \cdot \frac{dg}{dw}

$\frac{\partial^{2} z}{∂x∂y} = 4 x \frac{∂f}{∂u} + (2 x^{2} - 1) (\frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} 4 xy + \frac{\partial^{2} f}{∂v∂u} 2 x) - g^{'} (w) - x \cdot g^{″} (w) \cdot (2 x - y)$

11.18 Sea

z = f (x^{2} - y, xy)

donde

s = x^{2} - y

t = xy .

Calcule

\frac{∂f}{∂t}

\frac{∂f}{∂s}

( Sugerencia: Calcule

z_{x}

z_{y}

y resuelva el sistema pensando en

\frac{∂f}{∂t}

\frac{∂f}{∂s}

como incognitas).

Las derivadas parciales que se piden aparecen cuando calculamos

\frac{∂z}{∂x}

\frac{∂z}{∂y} .

La idea es despejar a partir de estos dos cálculos.

${\begin{matrix} \frac{∂z}{∂x} & = & \frac{∂f}{∂s} \cdot 2 x + \frac{∂f}{∂t} \cdot y \\ ⟹ & \frac{∂f}{∂t} = \frac{1}{y + 2 x^{2}} [\frac{∂z}{∂x} + 2 x \cdot \frac{∂z}{∂y}] \\ \frac{∂z}{∂y} & = & \frac{∂f}{∂s} \cdot - 1 + \frac{∂f}{∂t} \cdot x \end{matrix}$

De manera análoga,

\frac{∂f}{∂s} = \frac{1}{y + 2 x^{2}} [\frac{∂z}{∂x} - y \cdot \frac{∂z}{∂y}]

11.19 Verifique que si

f

es diferenciable, la función

z = f (xy)

satisface la ecuación

x \frac{∂z}{∂x} - y \frac{∂z}{∂y} = 0

Sea

u = xy .

Con un cálculo directo obtenemos

\frac{∂z}{∂x} = yf (u)

\frac{∂z}{∂y} = x f^{'} (u)

Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene el resultado.

11.20Sea

u = f (r)

con

f

derivable y

r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} .

Mostrar que

x \frac{∂u}{∂x} + y \frac{∂u}{∂y} + z \frac{∂u}{∂z} = r f^{'} (r)

Observe que

$\frac{\partial}{∂x} (r^{2}) = \frac{\partial}{∂x} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) ⟹ 2 r \frac{∂r}{∂x} = 2 x$ , es decir, $\frac{∂r}{∂x} = \frac{x}{r} .$ De manera análoga,

$\frac{∂r}{∂y} = \frac{y}{r}$

$\frac{∂r}{∂z} = \frac{z}{r}$

Entonces

x \frac{∂u}{∂x} + y \frac{∂u}{∂y} + z \frac{∂u}{∂z} = x \cdot f^{'} (r) \cdot \frac{x}{r} + y \cdot f^{'} (r) \cdot \frac{y}{r} + z \cdot f^{'} (r) \frac{z}{r} = f^{'} (r) \cdot \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{r} = r f^{'} (r)

11.21Supongamos que

f

es una función con derivadas parciales de segundo orden continuas. Calcule

\frac{\partial^{2} z}{∂x∂y}

z (x, y) = \frac{f (u, v)}{x}

con

u = x^{3}

v = 3 y - 2

\frac{\partial^{2} z}{∂x∂y} = - \frac{3}{x^{2}} \cdot f_{v} + 3 x f_{vu}

11.22 (*) Supongamos que se sabe que

x \frac{∂z}{∂x} + y \frac{∂z}{∂y} = 2 x^{2} sen (xy) con x > 0 y y > 0

. Verifique que aplicando un cambio de variable de

(x, y)

(u, v)

donde

u = xy

v = x ∕ y;

entonces la ecuación

(∗)

se convierte en la ecuación

\frac{∂z}{∂u} = v sen u

. Sugerencia: Como

z = z (u, v);

calcule las derivadas parciales y luego despeje

x

y

en el cambio de variable. Al sustituir, obtiene el resultado.

Al aplicar el cambio de variable,

z

es una función de

u

v,

es decir,

z = z (u, v) .

Por tanto

$\frac{∂z}{∂x} = \frac{∂z}{∂u} u_{x} + \frac{∂z}{∂v} v_{y} = y \frac{∂z}{∂u} + \frac{1}{y} \frac{∂z}{∂v}$ y $\frac{∂z}{∂y} = x \frac{∂z}{∂u} - \frac{x}{y^{2}} \frac{∂z}{∂v}$

Sustituyendo $\frac{∂z}{∂x},$ $\frac{∂z}{∂y}$ , $x = \sqrt{uv}$ y $y = \sqrt{u ∕ v}$ en $(∗),$ nos queda

\frac{∂z}{∂u} = v sen u