Gradiente, curvas y superficies de nivel.

11. Gradiente, curvas y superficies de nivel.

Recordemos que si $z = f (x, y)$ entonces la curva $z = c$ (es decir, $c = f (x, y)$ ) la llamamos "curva de nivel". Si tenemos $w = g (x, y, z),$ la superficie $w = 0$ (es decir $0 = g (x, y, z)$ ), se denomina superficie de nivel $w = 0 .$

El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel. Formalmente: Consideremos una superficie suave $S$ de ecuación $z = f (x, y) .$ Sea $C$ la curva de nivel $f (x, y) = c$ (definida en un conjunto abierto de $ℝ^{2}$ ). Supongamos que $C$ está paramerizado por $r (t) = (x (t), y (t))$ con $t \in] a, b [.$ Ahora,

Figura 4.13: El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel

\begin{matrix} f (r (t)) = c & ⟹ & \frac{d}{dt} f (x (t), y (t)) = 0 \end{matrix}

Es decir,

\nabla f (r (t)) \cdot r^{'} (t) = 0

Esto nos dice que si $x_{0} = r (t_{0}) \in C$ con $t_{0} \in [a, b [,$ entonces $\nabla f (r (t_{0}))$ es perpendicular al vector tangente $r^{'} (t_{0}),$ es en este sentido que decimos que el gradiente en $x_{0}$ es perpendicular a la curva de nivel.

Razonando de manera similar podemos establecer que si $S$ es una superficie de ecuación $G (x, y, z) = 0,$ con $G$ derivable con continuidad en el plano $XY,$ y si $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in S,$ entonces,

1.

Si se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita en

P,

se tiene

\nabla z (x, y) = (- \frac{G_{x}}{G_{z}}, - \frac{G_{y}}{G_{z}})

El vector $\nabla z (x_{0}, y_{0})$ es perpendicular a la curva de nivel $z = z_{0},$ es decir $\nabla z (x_{0}, y_{0})$ es perpendicular al vector tangente en $(x_{0}, y_{0}) .$ Si necesitamos un vector perpendicular, podríamos usar solamente $(- G_{x}, - G_{y}) .$ Por supuesto, si la ecuación de la superficie es $z = f (x, y),$ podemos calcular el gradiente de la manera usual tomando $G = z - f (x, y) = 0$ y entonces $G_{z} = 1 .$

Figura 4.14:

\nabla z (x_{0}, y_{0}, z_{0})

es perpendicular a la curva de nivel

z = z_{0}

2.: El vector $\nabla G (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ es perpendicular a la superficie de nivel $w = 0,$ es decir $\nabla G (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ es perpendicular a cada curva de la superficie $S,$ que pasa por $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) .$

Figura 4.15: $\nabla G (P)$ es perpendicular (al plano tangente) a $S$ en $P$ .

Ejemplo103

Considere la curva $C$ de ecuación $y^{2} - x^{2} (1 + x) = 0 .$ Sea $P = (1 ∕ 6, \sqrt{7} ∕ \sqrt{216}) .$ Observe que $P \in C .$ Calcule un vector perpendicular a la curva en $P .$

Solución. Podemos ver

C

como una curva de nivel de

z = y^{2} - x^{2} (1 + x),

concretamente la curva de nivel

z = 0 .

De acuerdo a la teoría, el vector

\nabla z (P)

es perpendicular a la curva de nivel

C

P .

Veamos

\nabla z (x, y) = (- x^{2} - 2 x (x + 1), 2 y)

\nabla z (P) = (- 5 ∕ 12, \sqrt{7} ∕ \sqrt{54})

En la figura se muestra gráficamente la situación.

Figura 4.16:

\nabla z (P)

es un vector perpendicular

Ejemplo104

Considere la superficie

S

de ecuación

\frac{1}{9} {(z - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = 0 .

Sea $P = (3, 2, 1 + 3 \sqrt{3}) .$ Observe que $P \in S .$ Calcule un vector perpendicular a la superficie $S$ en $P .$

Solución. De acuerdo a la teoría, el vector $\nabla G (P)$ es perpendicular a la curva de nivel $S$ en $P$ donde

G (x, y, z) = \frac{1}{9} {(z - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 .

\begin{matrix} \nabla G (x, y, z) & = & (G_{x}, G_{y}, G_{z}) \end{matrix}

\nabla G (P) = (2, 0, \frac{2}{\sqrt{3}})

En la figura se muestra gráficamente la situación.