Funcion diferenciable. Diferencial total.

8. Función diferenciable. Diferencial total.

Diferencial en una variable Una función

f

es diferenciable en

x_{0}

si el incremento

Δ y

se puede expresar como una suma de una parte lineal (diferencial) y un error

𝜖

. Es decir, para incrementos suficiemente pequeños, el incremento

Δ y

se puede calcular con en la recta tangente

+ 𝜖

Diferencial

$Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$

$Δ y = f^{'} (x_{0}) d x + 𝜖 con lim_{Δ x \to 0} \frac{𝜖}{Δ x} = 0$

El diferencial " $d y$ " es la parte lineal, $d y = f^{'} (x) d x$

Fig. 4.4: Diferencial

d y

El diferencial $” d x”$ es una variable independiente que se usa para cambios infitamente pequeños. En aproximaciones se toma $dx = Δ x$ . La idea es que conforme $Δ x \to 0$ , las cuerdas (cuyo límite es la tangente) se vayan pegando suavemente a $f$ . Si el error $𝜖$ se queda "pegado" y va más lento que $Δ x$ , la curva ya no se parece, localmente alrededor de $x_{0}$ , a una recta tangente en $x_{0}$ y no hay diferenciabilidad (como en una "cúspide": $f (x) = \sqrt[3]{x}$ en $x = 0$ ).

Ejemplo95Cálculos con el diferencial

Para verificar que $Δ y \approx d y$ cuando $Δ x \to 0$ , podemos comparar $Δ y$ , $d y$ y $𝜖$ para $f (x) = e^{x}$ en las cercanías de $x_{0} = 1$

$x$	$Δ x = dx$	$Δ y = e^{x} - e$	$d y = e \cdot Δ x$	$𝜖 = Δ y - d y$
1.5	0.5	1.74233	1.35914	0.38319
1.4	0.4	1.31977	1.08731	0.23246
1.3	0.3	0.93960	0.81548	0.12412
1.2	0.2	0.59632	0.54366	0.05266
1.1	0.1	0.28459	0.27183	0.01276
1.01	0.01	0.027319	0.027183	0.000136

Tabla 4.1:

Diferencial total en dos variables. En dos variables, una función

z = f (x, y)

es diferenciable en

(x_{0}, y_{0})

si el incremento

Δ z

se puede expresar como la suma de una parte lineal (el diferencial total

d z

, que representa el cambio sobre un plano tangente) y un término de error

𝜖

que tiende a cero más rápido que la distancia al punto, cuando nos acercamos a este punto, desde cualquier dirección. Es decir, para desplazamientos suficientemente pequeños en el dominio, el cambio real de altura

Δ z

se puede calcular con la aproximación del plano tangente

+ 𝜖

Fig. 4.5:

Definición 12 — Función diferenciable.

Una función $f : ℝ^{2} \to ℝ$ es diferenciable en $(x_{0}, y_{0})$ si existe un entorno alrededor de $(x_{0}, y_{0})$ en el que

f (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) dx + f_{y} (x_{0}, y_{0}) d y + 𝜖 (x, y) con lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} \frac{𝜖 (x, y)}{| | (x, y) - (x_{0}, y_{0}) | |} = 0

Tenemos un teorema para caracterizar las funciones diferenciables.

Teorema 5 — (Función diferenciable).

Sea $f : U \subset ℝ^{2} \to ℝ .$

1: Si las derivadas parciales de $f$ existen y son continuas en un entorno de $(x_{0}, y_{0}) \in U,$ entonces $f$ es diferenciable en $(x_{0}, y_{0}) .$
2: Si $f$ es diferenciable en $(x_{0}, y_{0})$ entonces es continua en $(x_{0}, y_{0})$
3: Si $f$ es diferenciable en $(x_{0}, y_{0})$ entonces existe un plano tangente a $f$ en $P = (x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0})$

Diferencial total. Sea

z = f (x, y)

diferenciable en

(x_{0}, y_{0})

1: $d x$ y $d y$ son variables independientes, en la teoría son "incrementos arbitrarios (usualmente pequeños)". En las aproximaciones $d x = Δ x$ y $d y = Δ y$
2: Incremento $Δ f = f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})$

2

Plano tangente (Sección 7.).

Π_{T} : P + t \cdot (1, 0, f_{x} (x_{0}, y_{0})) + s \cdot (0, 1, f_{y} (x_{0}, y_{0})), t, s \in ℝ, P = (x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))

Un vector normal al plano $Π_{T}$ es $(1, 0, f_{x} (x_{0}, y_{0}) \times (0, 1, f_{y} (x_{0}, y_{0})) = (f_{x} (x_{0}, y_{0}), f_{y} (x_{0}, y_{0}), - 1),$ por tanto una ecuación cartesiana del plano es

Π_{T} : f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) - (z - f (x_{0}, y_{0})) = 0

———————————————————————-

3

Aproximación

Δ f \approx f_{x} (x_{0}, y_{0}) d x + f_{y} (x_{0}, y_{0}) d y

4

Diferencial total de

f

df = f_{x} dx + f_{y} d y .

—————————————————————————-

5

Propagación de errores: Si

z = f (x, y)

y las variables

x, y

se miden con errores

d x, d y

, el error propagado en

z

se aproxima mediante la diferencial total pues

d z

es el cambio de

z

sobre el plano tangente a la superficie

z = f (x, y)

(x_{0}, y_{0})

Δ z \approx d z = f_{x} d x + f_{y} d y

El error máximo (peor caso) se estima sumando los valores absolutos de cada término:

| Δ z |_{max} \approx | f_{x} d x | + | f_{y} d y |

Diferencial total y plano tangente

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Ejemplo96Diferencial, aproximación y plano tangente

Consideremos la superficies $S$ de ecuación $f (x, y) = - x^{2} + cos (x) + cos (y^{2}) .$ Vamos a hacer algunos cálculos en el punto $(x_{0}, y_{0}) = (0, 1)$ y sus alrededores

1

Punto de tangencia

P = (0, 1, 1 + cos (1))

2

Vectores tangentes

v_{Tx}

en la dirección del eje

X

v_{Ty}

en la dirección del eje

Y

$\begin{matrix} v_{Tx} & = & (1, 0, - 2 x - sen (x)) ⟹ v_{Tx} (P) = (1, 0, 0) \\ v_{Ty} & = & (0, 1, - 2 y sen (y^{2})) ⟹ v_{Ty} (P) = (0, 1, - 2 sen (1)) \end{matrix}$

3

Plano tangente en

P

(existe porque las derivadas parciales son continuas en un entorno de

(x_{0}, y_{0})

)

Π_{T} = P + t (1, 0, 0) + s (0, 1, - 2 sen (1)), (t, s) \in ℝ^{2}

4

Para una tabla de cálculos aproximados tomamos

d x = Δ x

d y = Δ y

. Y como podemos usar cualquier dirección (por la diferenciabilidad), vamos a tomar

d x = d y

$Δ x = Δ y$	$Δ f$	$d f$	$𝜖$	Norma $\| \| Δ v \| \|$	$\frac{𝜖}{\| \| Δ v \| \|}$
0.5	-0.93396	-0.84147	-0.09249	0.70711	-0.13080
0.4	-0.73589	-0.67318	-0.06271	0.56569	-0.11086
0.3	-0.54663	-0.50488	-0.04175	0.42426	-0.09841
0.2	-0.36850	-0.33659	-0.03191	0.28284	-0.11282
0.1	-0.18515	-0.16829	-0.01686	0.14142	-0.11922
0.01	-0.01700	-0.01683	-0.00017	0.01414	-0.01202
0.001	-0.0016846	-0.0016829	-0.0000017	0.0014142	-0.00120
0.0001	-0.00016831	-0.00016829	-0.00000002	0.0001414	-0.00014

Tabla 4.2:

En particular, vamos viendo como

\frac{𝜖 (x, y)}{| | (x, y) - (x_{0}, y_{0}) | |} = \frac{𝜖}{| | Δ v | |} \to 0 si (x, y) \to (x_{0}, y_{0}), en esta dirección

Ejemplo97Percepción-Marketing. Análisis de sensibilidad

Tenemos dos latas de soda, como se muestra en la Figura 4.6. Ambas tienen prácticamente el mismo volumen. Pero el juego del "marketing" parece ser que la percepción sea que una lata tiene más contenido que la otra.

Fig. 4.6:

La fórmula para el volumen de un cilindro de radio

r

y altura

h

V (r, h) = π r^{2} h .

Si las dimensiones se cambian en pequeñas cantidades $Δ r$ y $Δ h$ , entonces el cambio resultante $Δ V$ en el volumen se aproxima mediante

Δ V \approx dV = \frac{∂V}{∂r} Δ r + \frac{∂V}{∂h} Δ h = 2 πrh Δ r + π r^{2} Δ h .

Una lata tiene dimensiones (en pulgadas) $r = 1$ y $h = 5$ Entonces,

dV = π (10 Δ r + Δ h) .

Esto muestra que, para estos valores iniciales de $r$ y $h,$ si hacemos variaciones en el radio y la altura de tal manera que el volumen permanezca constante, es decir $Δ V = 0$ , entonces $10 Δ r \approx Δ h$ .

Es decir, si el radio se cambia en una cantidad $𝜀,$ entonces la altura debe cambiarse aproximadamente en $10 𝜀$ ( para que $Δ V \approx 0$ ). Entonces podemos generar un efecto de percepción "a favor" del vendedor, con solo modificar ligeramente el radio de la base.

9.1 Dada la función

f (x, y) = e^{x^{2} - y^{2}}

, calcule la ecuación del plano tangente en el punto

(1, 1, 1)

y, usando el diferencial, aproxime el valor de

f (1.02, 0.97)

Las derivadas parciales:

f_{x} = 2 x e^{x^{2} - y^{2}} ⟹ f_{x} (1, 1) = 2

f_{y} = - 2 y e^{x^{2} - y^{2}} ⟹ f_{y} (1, 1) = - 2

La ecuación del plano tangente es:

z - 1 = 2 (x - 1) - 2 (y - 1) ⟹ 2 x - 2 y - z + 1 = 0

Con

Δ x = 0.02

Δ y = - 0.03

, la aproximación lineal es:

f (1.02, 0.97) \approx 1 + 2 (0.02) - 2 (- 0.03) = 1 + 0.04 + 0.06 = 1.10

9.2 Dada la función

f (x, y) = ln (xy)

, calcule la diferencial total

d z

en el punto

(2, 0.5)

y estime el error máximo propagado en

z

si los errores en las medidas son

d x = \pm 0.04

d y = \pm 0.01

Las derivadas parciales en

(2, 0.5)

son

f_{x} = \frac{1}{x} ⟹ f_{x} (2, 0.5) = 0.5

, y

f_{y} = \frac{1}{y} ⟹ f_{y} (2, 0.5) = 2

La diferencial total es:

d z = \frac{1}{x} d x + \frac{1}{y} d y = 0.5 d x + 2 d y

El error propagado se aproxima mediante diferenciales:

Δ z \approx d z = 0.5 d x + 2 d y

. Para el peor caso, se suman los valores absolutos de cada término:

| Δ z | \approx | 0.5 (0.04) | + | 2 (0.01) | = 0.02 + 0.02 = 0.04