10. Gradiente.

Definición 11 ((Campo Gradiente).).

Sea f : D ⊆ ℝn→ℝ una función (o campo) escalar diferenciable en una región R, entonces la función (o campo) gradiente def es la función vectorial ∇ ⁡f : R ⊆ ℝn→ℝn definida por

∇ ⁡f(x1,x2,...,xn) = (fx1,fx2,...,fxn)

En el caso f : D ⊆ ℝ2→ℝ, ∇ ⁡f(x,y) = (fx,fy) = ∂f ∂xi + ∂f ∂yj

En el caso f : D ⊆ ℝ3→ℝ, ∇ ⁡f(x,y,z) = (fx,fy,fz) = ∂f ∂xi + ∂f ∂yj + ∂f ∂z k

Interpretación geométrica del campo gradiente. El gradiente ∇ ⁡z : ℝ2 → ℝ2 es un campo vectorial (campo gradiente). Una manera de visualizar el campo gradiente gráficamente es anclar en cada punto (x,y) el respectivo vector ∇ ⁡z(x,y) (se traslada desde el origen). Pero también se puede anclar el vector de tal manera que el punto quede en el medio del vector (como si el vector fuera parte de una recta tangente). En general, la representación gráfica se hace anclando el vector de esta segunda manera y escalando el tamaño de los vectores de tal manera que unos no se sobrepongan sobre los otros, para tener una mejor vizualización de la dirección de "flujo" del campo gradiente. Así lo hace el software (como Wolfram Mathematica).

Por ejemplo, consideremos el campo ∇ ⁡z = (−y,x). En la figura a.) se dibujan dos vectores anclados en el punto, en la figura b.) se dibujan dos vectores anclados con el punto en el medio y en la figura c.) se hace la representación gráfica del campo escalando los vectores, tal y como se acostumbra.

PIC

Figura 4.8: Campo gradiente ∇ ⁡z = (−y,x).
Ejemplo100

Consideremos el paraboloide z − 1 = x2 + y2, el campo gradiente de z es ∇ ⁡z = (2x,2y). Una representación gráfica de esta superficie y de algunos vectores (trasladados) se ve en la figura . Los vectores apuntan en la dirección de máximo crecimiento del paraboloide (respecto al punto en el que se evalúa el gradiente) y la magnitud de estos vectores nos dan una medida de la ‘intensidad’ de esta razón de cambio.

En las figuras , , y , se muestran algunas superficies y su campo gradiente (en el plano XY )

PIC

      Figura 4.9: ∇ ⁡z(P) apunta en la dirección de máximo crecimiento respecto a cada punto P     

PIC

      Figura 4.10: ∇ ⁡z(P) apunta en la dirección de máximo crecimiento respecto a cada punto P     

PIC

      Figura 4.11: z −4 = −x2 −y2 y su campo gradiente      

PIC

      Figura 4.12: Superficie z = 2 − 3(x −1) (1 + x2 + y2) y su campo gradiente      
Ejemplo101

•
Si f(x,y) = sen ⁡ xy + x2y2, calcule∇ ⁡f(π,1).

Solución. El gradiente está dado por :

∇ ⁡f(x,y) = (ycos ⁡ xy + 2xy2) i + (xcos ⁡ xy + 2x2y)j

y evaluando

∇ ⁡f(π,1) = (2π − 1)i + (2π2 − π)j

•
Si x2 + y2 + z2 = 1, calcule∇ ⁡z(x,y).

Solución. Excepto en la circunferencia x2 + y2 = 1 (curva de nivel z = 0), se puede calcular

∇ ⁡f(x,y) = (−Fx Fz, −Fy Fz,) = −x zi + −y zj

•
Si G(x,y,z) = x2z + z3y + xyz, calcule∇ ⁡G(x,y,z).

Solución. ∇ ⁡G(x,y,z) = (Gx,Gy,Gz) = (2xz + yz)i + (z3 + xz)j + (x2 + 3z2y + xz)k

Ejemplo102
Consideremos la superficie S de ecuación x2 + y2 + z2 = 1. Sea P = (1∕3,1∕3,1∕3) ∈S.

El gradiente de z es ∇ ⁡z(x,y) = (−x z, −x z).

∇ ⁡z(P) = (−1, − 1).

PIC

El gradiente no está definido si z = 0 porque las derivadas parciales se indefinen (las tangentes a la superficies sobre la circunfencia x2 + y2 = 1 son rectas verticales)