(*) Derivacion implicita: Caso de dos ecuaciones.

9. (*) Derivación implícita: Caso de dos ecuaciones.

Supongamos que $u = u (x, y)$ y $v = v (x, y)$ son funciones definidas de manera implícita por las ecuaciones

F (x, y, u, v) = 0 y G (x, y, u, v) = 0

Para deducir las expresiones para

u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y}

se resuelve el sistema

{\begin{matrix} dF & = & F_{x} dx + F_{y} dy + F_{u} du + F_{v} dv = 0 \\ dG & = & G_{x} dx + G_{y} dy + G_{u} du + G_{v} dv = 0 \end{matrix}

para

du

dv .

J = | \begin{matrix} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{matrix} |,

obtenemos

du = - \frac{1}{J} | \begin{matrix} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{matrix} | dx - \frac{1}{J} | \begin{matrix} F_{y} & F_{v} \\ G_{y} & G_{v} \end{matrix} | dy

como

du = u_{x} dx + u_{y} dy

entonces se obtienen las fórmulas (siempre y cuando

J \neq 0 .

)

\begin{matrix}  \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

Ejemplo98

Si $u = u (x, y)$ y $v = v (x, y)$ son funciones definidas de manera implícita por las ecuaciones

$\begin{matrix} F & = & u^{2} + v^{2} - x^{2} - y = 0 \end{matrix}$

calcular $u_{x}$ y $u_{y} .$

Solución. Como $J = | \begin{matrix} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 2 u & 2 v \\ 1 & 1 \end{matrix} | = 2 (u - v)$ , entonces, $u_{x} = \frac{x (1 - 2 v)}{u - v} y u_{y} = \frac{1 + 2 v}{2 (u - v)} .$

Ejemplo99

Sea $z = f (x, y)$ definida por $z = u + v$ donde $u = u (x, y)$ y $v = v (x, y)$ son funciones definidas de manera implícita por las ecuaciones

\begin{matrix} F & = & u + e^{u + v} - x = 0 \\ G & = & v + e^{u - v} - y = 0 \end{matrix}

Si $u = v = 0$ entonces $x = y = 1 .$ Calcular $z_{x} (1, 1) .$

Solución. $z_{x} = u_{x} + v_{y} .$ Podemos calcular $u_{x}$ y $v_{y}$ usando las fórmulas respectivas, sin embargo, para cálculos numéricos es más práctico derivar respecto a $x$ las expresiones $F = 0$ y $G = 0 .$ En efecto, derivando respecto a $x$ obtenemos

u_{x} + e^{u + v} (u_{x} + v_{x}) - 1 = 0 y v_{x} + e^{u - v} (u_{x} - v_{x}) = 0

de modo que cuando $x = 1, y = 1, v = u = 0$ se obtiene

2 u_{x} + v_{x} - 1 = 0 y u_{x} = 0

con lo que $u_{x} = 0$ $v_{x} = 1$ si $x = 1, y = 1, v = u = 0 .$ Así que $z_{x} (1, 1) = 0 + 1 = 1 .$