Ejercicios

8.1 Si x2y2 + sen ⁡ (xyz) + z2 = 4 define a z como función implícita de x e y, verifique que x∂z ∂x − y∂z ∂y = 0.

Sea F(x,y,z) = x2y2 + sen ⁡ (xyz) + z2 − 4. Si las derivadas parciales zx y zy existen en todo el dominio en el que Fz≠0, entonces

•
∂z ∂x = −Fx Fz = −2xy2 + yzcos ⁡ (xyz) xycos ⁡ (xyz) + 2z
•
∂z ∂y = −Fy Fz = −2x2y + xzcos ⁡ (xyz) xycos ⁡ (xyz) + 2z
•
La identidad se obtiene sustituyendo y simplificando.

8.2 Sea z = f(z∕xy) con f dos veces derivable. Calcule ∂z ∂x, ∂z ∂y y verifique que x∂z ∂x − y∂z ∂y = 0.
Sea F = z − f(u) con u = z∕xy.

∂z ∂x = −Fx Fz = −−f′(u) ⋅−z x2y 1 − f′(u) ⋅ 1 xy = −z x ⋅ f′(u) xy − f′(u).

∂z ∂y = −Fy Fz = −−f′(u) ⋅−z xy2 1 − f′(u) ⋅ 1 xy = −z y ⋅ f′(u) xy − f′(u).

x∂z ∂x − y∂z ∂y = − x ⋅z x ⋅ f′(u) xy − f′(u) −y ⋅−z y ⋅ f′(u) xy − f′(u) = 0√

8.3 Sea g (xy z ,x2 + y2) = 0 una ecuación que define a z como una función de x e y. Verifique que si gx,gy y gz existen y son continuas en toda la región en la que gz≠0, entonces
y∂z ∂x −x∂z ∂y = −z(x2 − y2) xy

En este caso, F = g (xy z ,x2 + y2) .

•
∂z ∂x = −gx gz = −gu ⋅y z + gv ⋅ 2x −gu ⋅xy z2
•
∂z ∂x = −gy gz = −gu ⋅x z + gv ⋅ 2y −gu ⋅xy z2
•
y ⋅gu ⋅y z + gv ⋅ 2x gu ⋅xy z2 − x ⋅gu ⋅x z + gv ⋅ 2y gu ⋅xy z2 = −gu (x2 − y2 z ) gu ⋅xy z2 = −z(x2 − y2) xy √

8.4Supongamos que g es una función con derivadas parciales de segundo orden continuas. Calcule ∂2z ∂y∂x si z = g(u,v) y2 con u = y3 y v = x − 2
{ ∂z ∂x = 1 y2 (⋅∂g ∂u ⋅ 0 + ∂g ∂v ⋅ 1)

8.5 Sea z = xln ⁡ (yz). Calcule ∂z ∂x, ∂z ∂y, ∂2z ∂x2 , ∂2z ∂y2 y ∂2z ∂x∂y.
La primera derivada se hace derivando implícitamente; las segundas derivadas son derivadas ordinarias.

• ∂z ∂x = −zln ⁡ (yz) x − z .

∂2z ∂x2 = ∂ ∂x [−zln ⁡ (yz) x − z ] = − [∂z ∂x ⋅ ln ⁡ (yz) + z ⋅y ⋅∂z ∂x yz ](x − z) − (1 −∂z ∂x) ⋅ zln ⁡ (yz) (x − z)2 = − [−zln ⁡ (yz) x − z ⋅ ln ⁡ (yz) + z ⋅y ⋅−zln ⁡ (yz) x − z yz ](x − z) − (1 + zln ⁡ (yz) x − z ) ⋅ zln ⁡ (yz) (x − z)2

• ∂z ∂y = − xz y(x − z)

∂2z ∂y2 = ∂ ∂y [− xz y(x − z)] = −x ⋅∂z ∂y ⋅ y(x − z) − (x − z − y ⋅∂z ∂y) ⋅ xz y2(x − z)2 = x ⋅ xz y(x − z) ⋅ y(x − z) − (x − z − y ⋅ xz y(x − z)) ⋅ xz y2(x − z)2

∂2z ∂x∂y = ∂ ∂x [− xz y(x − z)] = − (z + x ⋅∂z ∂x) ⋅ y(x − z) − (y − y ⋅∂z ∂x) ⋅ xz y2(x − z)2 = − (z + x ⋅−zln ⁡ (yz) x − z ) ⋅ y(x − z) − (y − y ⋅−zln ⁡ (yz) x − z ) ⋅ xz y2(x − z)2

8.6Si f(zx,y2) = xy define a z como función implícita de x y y, calcule zxy.

8.7Si f(zx,y2) + g(z2) = 5 define a z como función implícita de x y y, calcule zx y zy

8.8 Sea f una función con derivadas de segundo orden continuas y g una función dos veces derivable. Supongamos que la ecuación 2g(z) + f(x2,y2) = 0 define a z como funcón implícita de x y y.
1.
Calcule ∂z ∂x y ∂z ∂y
1.
Calcule ∂2z ∂y∂x

8.9Repita el ejercicios anterior con la función zx + f(x2,y2) = 0.

8.10 Sea f una función con derivadas de segundo orden continuas y g una función dos veces derivable. Supongamos que la ecuación g(z)f3(x2,y2) = 0 define a z como funcón implícita de x y y. Calcule ∂z ∂x y ∂z ∂y

8.11 Sean F una función diferenciable y f una función derivable. La ecuación F (f(xy),f(z2)) = 0 define a z como una función implícita de x y y Calcule ∂z ∂x y ∂z ∂y
Tenemos F(u,v) = 0 con u = f(A), v = f(B) y A = xy y B = z2.
∂z ∂x = −∂F ∂x ∂F ∂z = −∂F ∂u ⋅ f′(A) ⋅ y + ∂F ∂v ⋅ f′(B) ⋅ 0 ∂F ∂u ⋅ f′(A) ⋅ 0 + ∂F ∂v ⋅ f′(B) ⋅ 2z

∂z ∂y = −∂F ∂y ∂F ∂z = −∂F ∂u ⋅ f′(A) ⋅ x + ∂F ∂v ⋅ f′(B) ⋅ 0 ∂F ∂u ⋅ f′(A) ⋅ 0 + ∂F ∂v ⋅ f′(B) ⋅ 2z

8.12Sea z definida implícitamente por medio de la relación z = x ⋅ f (y z ) con f una función con derivada continua. Verifique que z satisface la ecuación: x∂z ∂x + y∂z ∂y = z

8.13Si f(x,y) = cos ⁡ (7x − y) x , determine una constante K de tal manera que se cumpla la identidad ∂2f ∂y∂x = 7 ⋅ f(x,y) + K x ⋅∂f ∂y

K = −1

8.14Si zx + ezy = x define a z como función implícita de x y y, calcule zx, zy y ∂2z ∂x2

8.15Sea f una función con derivadas de segundo orden continuas y g una función dos veces derivable. Si y = g(z2) + f(y2,x2) define a z como función implícita de x y y, calcule zx, zy y ∂2z ∂y2 .
F(x,y,z) = y − g(u) − f(v,w) con u = z2,v = y2,w = x2.
∂z ∂x = 2x∂f ∂w −2zg′(u)

∂z ∂y = 1 − 2y∂f ∂v 2zg′(u)

∂2z ∂y2 = ∂ ∂y (∂z ∂y)

8.16 La ecuación de Redlich-Kwong de dos parámetros es [P + n2a TV (V + nb)][V − nb] − nRT = 0 donde a,b son parámetros, R es la constante de gas y n el número de moles. La función T = T(P,V ) está definida de manera implícita por esta ecuación. Calcule ∂T ∂P .