Ejercicios

13.1 Calcule, usando integrales triples, el volumen del sólido

Q

limitado por el cono

z^{2} = x^{2} + y^{2}

y la esfera

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .

V_{Q} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1 ∕ \sqrt{2}} \int_{r}^{\sqrt{1 - r^{2}}} r dz dr d𝜃 = \frac{π}{3} (2 - \sqrt{2})

13.2 Verifique, usando integrales triples, que el volumen del sólido

Q

limitado por el cono

S_{1} : x^{2} + y^{2} = \frac{{(z - 4)}^{2}}{4}

y el plano

S_{2} : z = 0

V_{C} = \frac{16 π}{3} .

V_{C} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - 2 r} r dz dr d𝜃

pues

z \leq 4 .

13.3 Verifique, que el volumen del cono de base circular de radio

a

y altura

h

V_{C} = \frac{π a^{2} h}{3} .

Ayuda: El cono se puede modelar con la ecuación

x^{2} + y^{2} = \frac{a^{2} {(z - h)}^{2}}{h^{2}}

, tal y como se muestra en la figura. El cono está entre

z = 0

z = h - \frac{h}{a} \sqrt{x^{2} + y^{2}}

pues

z \leq h .

V_{C} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} \int_{0}^{h - hr ∕ a} r dz dr d𝜃 = \frac{π a^{2} h}{3}

13.4 Sea

I = ∭_{Q} \sqrt{x^{2} + y^{2}} dV = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} dzdydx

1.: Dibuje el sólido $Q .$ Observe que el sólido está entre las superficies $z^{2} + x^{2} + y^{2} = 16, x^{2} + y^{2} = 4, x \in [0, 2] .$
2.: Calcule $I$ usando coordenadas cilíndricas.

\frac{8 π^{2}}{3} - 2 \sqrt{3} π .

13.5 Considere el sólido

E

limitado por las superficies de ecuación

S_{1} : x^{2} + y^{2} = 16,

S_{2} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4,

S_{3} : z = \frac{3 x}{2},

S_{4} : 4 (z - 8) = x^{2} + y^{2}

x = 0,

tal y como se muestra en la figura a al derecha. Calcule

∭_{E} 1 \cdot dV .

x = r cos 𝜃,

y = sen 𝜃

z = z;

entonces en la proyección

XY

tenemos una región limitada por la curva

C_{1} : x^{2} + y^{2} = 16

o también

C_{1} : r = 4

y la curva

{(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4

o también

r = 4 cos 𝜃

con

𝜃 \in [0, π ∕ 2] .

\begin{matrix} ∭_{E} 1 \cdot dV & = & \iint_{R_{xy}} \int_{\frac{3 x}{2}}^{8 + \frac{x^{2} + y^{2}}{4}} 1 \cdot dz dA \\ = & \iint_{R_{xy}} (8 + \frac{x^{2} + y^{2}}{4} - \frac{3 x}{2}) dA \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{4 cos 𝜃}^{4} (8 + \frac{r^{2}}{4} - \frac{3 r cos 𝜃}{2}) r dr d𝜃 \end{matrix}