Solución. Proyectamos sobre el plano $\mathit{XZ}.$

Usamos coordenadas cilíndricas: $x=r\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃,z=r\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃$ y $y=y.$ De esta manera, las curvas $1=x^2+z^2$ y $4=x^2+z^2$ tienen ecuaciones $r=1$ y $r=2,$ respectivamente. La región $R_1$ está entre $r=0$ y $r=1$ y la región $R_2$ esta entre $r=1$ y $r=2.$

${\iiint }_Q{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+z^2}+1}}\mathit{dV}={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\pi ∕2}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_1^4{\displaystyle \frac{r}{r+1}}dy\mathit{dr}\mathit{d𝜃}+{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\pi ∕2}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_1^2{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{r^2}^4{\displaystyle \frac{r}{r+1}}dy\mathit{dr}\mathit{d𝜃}.$

Para terminar el cálculo, observe que (dividiendo) ${\displaystyle \frac{r}{r+1}}=1-{\displaystyle \frac{1}{r+1}}$ y que ${\displaystyle \frac{r^3}{r+1}}=r^2-r+1-{\displaystyle \frac{1}{r+1}}.$

Solución. Proyectamos sobre $\mathit{XZ}$ y usamos coordenadas cilíndricas. Calculando la intersección entre las superficies podemos establecer que la región de integración $R_{\mathit{xy}}$ está entre las curvas $x^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{4}},$ $x^2+y^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$ y las rectas $y=x$ y $x=0.$ Es decir, la región de integración está entre las curvas $r=1∕2$ y $r=\sqrt{3}∕2$ con $𝜃$ entre $\pi ∕4$ y $\pi ∕2$.

Verifique que el volumen una esfera $S$ de radio $a$ tiene volumen $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi a^3.$

Solución. Podemos calcular el volumen de un octavo de esfera y multiplicar por $8$ (ver figura). La esfera tiene ecuación $x^2+y^2+z^2=a^2.$ Como la proyección es un círculo, usamos coordenadas cilíndricas: $x=r\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃,$ $y=r\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃$ y $z=z.$ La esfera está entre las superficies $z=0$ y $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}=\sqrt{a^2-r^2}.$

a.)

En coordenadas rectangulares tendríamos

$$\begin{array}{ccc}\hfill {\iiint }_{Q}2z\mathit{dV}& \hfill =\hfill & {\iint }_R\left[{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1}2zdz\right]\mathit{dy}\mathit{dx}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-y^2}}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1}2z\mathit{dz}\mathit{dy}\mathit{dx}\hfill \end{array}$$

La región de integración se describe fácil si usamos coordenadas cilíndricas. La proyección $R$ sobre el plano $\mathit{XY}$ es un círculo de radio $1.$ En coordenadas polares esta región se describe como $R:0\le 𝜃\le 2\pi ,0\le r\le 1.$

Usando el cambio de variable $x=r\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃,y=r\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃,$ entonces el sólido está entre las superficies $z=r$ y $z=1.$

$$\begin{array}{ccc}\hfill {\iiint }_{Q}2z\mathit{dV}& \hfill =\hfill & {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1\left[{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_r^{1}2zdz\right]r\mathit{dr}\mathit{d𝜃}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1{z^2|}_r^{1}r\mathit{dr}\mathit{d𝜃}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{1}r-r^3\mathit{dr}\mathit{d𝜃}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\hfill \end{array}$$

b.)

Volumen de $Q.$

$$\begin{array}{ccc}\hfill {\iiint }_Q\mathit{dV}& \hfill =\hfill & {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1\left[{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_r^{1}dz\right]r\mathit{dr}\mathit{d𝜃}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1{z|}_r^{1}r\mathit{dr}\mathit{d𝜃}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{1}r-r^2\mathit{dr}\mathit{d𝜃}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\hfill \end{array}$$

El sólido $Q$ de la figura esta limitado por el cilindro $x^2+y^2=4$ y el plano $y+z=4.$ Calcular el volumen de $Q.$

Calcule el volumen del sólido de la figura. Este sólido $Q$ está limitado por la esfera $x^2+y^2+z^2=4$ y el cilindro $x^2+{(y-1)}^2=1,z\ge 0.$

Solución. El Sólido $Q$ está entre las superficies $z=0$ y $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ La proyección del sólido es el círculo $x^2+{(y-1)}^2\le 1.$ Este círculo se describe en coordenadas polares como

El volumen de $Q$ es,

Aquí se usó la integral $\int {\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{3}t\mathit{dt}=\frac{3\text{sin}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(t)}{4}+\frac{\text{sin}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(3t)}{12}.$

Calcule el volumen de sólido $Q$, mostrado en la figura, el cual está limitado por la esfera $x^2+y^2+z^2=3^2$ y los cilindros $x^2+z^2=2^2,$ $x^2+z^2=1^2.$

La proyección $R_{\mathit{xz}}$ está entre las circunferencias $r=1$ y $r=2$ y el ángulo $0\le 𝜃\le \pi ∕2.$ El sólido $Q$ está entre $y=0$ y $y=\sqrt{3^2-x^2-z^2}=\sqrt{3^2-r^2}.$

Calcule, usando coordenadas cilíndricas, el volumen del sólido $Q,$ limitado por la porción de paraboloide $z=4-x^2-y^2,$ la porción de esfera $x^2+y^2+z^2=16$ y el plano $x=y;$ en el primer octante (figura).

Solución. La región e integración, proyectando sobre $\mathit{XY},$ es $R=R_1\cup R_2.$

$\bullet$

$R_1:0\le r\le 2,\pi ∕4\le 𝜃\le \pi ∕2,$

$\bullet$

$R_2:2\le r\le 4,\pi ∕4\le 𝜃\le \pi ∕2.$

$\bullet$

En la región $R_1,$ el sólido está entre la porción de esfera $x^2+y^2+z^2=16$ y la porción de paraboloide $z=4-x^2-y^2.$

$\bullet$

En la región $R_2,$ el sólido está entre la porción de esfera $x^2+y^2+z^2=16$ y el plano $z=0.$

El sólido $Q$ de la figura es un casquete, de altura $h,$ de una esfera de radio $a.$

El sólido $Q$ está limitado arriba por la superficie $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}=\sqrt{a^2-r^2}$ y por abajo por la superficie $z=a-h.$ Entonces