12. Cambio de variables en integral triple.

La versión del teorema de cambio de variable para integrales triples es la siguiente,

Teorema 25 — (Cambio de variable)..

Sea Q una región acotada en ℝ3 cuya frontera consiste de un número finito de superficies suaves. Supongamos que Q está contenido en un conjunto abierto U y sea L(u,v,w) = (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) un cambio de variable de U en ℝ3 invertible en el interior de Q y con derivadas parciales continuas. Sea f una función continua y acotada sobre L(Q) y sea J(u,v,w) = Det ( ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ) no nulo en el interior de Q, entonces

∭Qf(L(u,v,w))|J(u,v,u)|dudvdw = ∭L(Q)f(x,y,z)dxdydz

Ejemplo163(Volumen de un Paralelepípedo).

Consideremos un paralelepípedo Q generado por los vectores A = (2,0,0),B = (0,2,2) y C = (0,2,0). Como se sabe del álgebra lineal, el volumen de Q es V Q = |Det (ABC)| = 8. Si L : ℝ3 → ℝ3 es una transformación lineal, entonces el paralelepípedo generado por L(A),L(B) y L(C), el cual denotamos con L(Q), tiene volumen

V L(Q) = |Det (L)|V Q = |Det (L)|⋅ 8.

Verifiquemos en este caso el teorema de cambio de variable aplicando al sólido Q de la figura, la transformación lineal L(u,v,w) = (u∕2,v∕2w∕2).

PIC PIC

V L(Q) = ∫ 01 ∫ zz+1 ∫ 011 ⋅dxdydz = 1 y V Q = ∫ 02 ∫ ww+2 ∫ 021dudvdw = 8

Ahora, como una verificación, calculamos V L(Q) aplicando un cambio de variable. Sea x = u∕2,y = v∕2,z = w∕2 sobre Q, obtenemos el nuevo sólido L(Q). En este caso,

J(u,v,w) = ( 1∕2 0 0 0 1∕2 0 ) = 1 8,

y entonces, por el teorema de cambio de variable,

V L(Q) = ∬Rvw [∫ 021 ⋅|J(u,v,w)|dw]dudv = ∫ 02 ∫ ww+2 [∫ 021 ⋅ |1 8|dw]dudv = 1 8 ⋅ 8 = 1.