Vectores, Producto punto y producto cruz

1. Vectores, Producto punto y producto cruz

Un vector es un objeto geométrico que tiene "dirección" y "magnitud" y se puede representar como una "flecha". Los vectores pueden representar varias cosas:

1: Desplazamientos, velocidades y fuerzas. Los vectores especifican en qué dirección, a qué distancia y con qué velocidad se mueven las cosas o qué fuerza actúa o la fuerza que actúa. No interesa el punto de partida.

Fig. 1.1:

3: Direcciones en el espacio. Los vectores indican las orientaciones de las líneas y planos. En este caso la magnitud no importa, pero para los cálculo es conveniente tomar vectores unitarios (de longitud $1$ ).

Fig. 1.2:

4: Posición en el espacio. Fijamos un punto especial $O,$ llamado origen, y definimos la posición de un vector por sus desplazamientos desde $O$

Fig. 1.3:

5: Coordenadas. Las coordenadas las utilizamos para hacer cálculos particulares. Para obtener propiedades y fórmulas en álgebra vectorial necesitamos definiciones, teoremas, ideas geométricas e intuición.
6: Espacios vectoriales. Los vectores también se refieren a los elementos de un "espacio vectorial". Los espacios vectoriales son conjuntos dotados con una manera de "sumar" sus objetos y una manera de escalarlos y generalizan las propiedades de los vectores usuales. Los espacios vectoriales pueden ser vectores en $ℝ^{n},$ conjuntos de matrices, conjuntos de polinomios, conjuntos de funciones continuas, etc.

Notación. Los puntos se denotan con las letras mayúsculas, $P, Q, R$ etc. mientras que los vectores se denotan como $u, v, w,$ etc. El vector nulo se denota con $0$ . En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como $α$ , $β$ , $k$ , etc. Las matrices se denotan con letras mayúsculas en negrita $A, B,$ etc.

1..1 Operaciones básicas con vectores.

Consideremos los vectores $u, v$ y $w .$ Con ellos podemos construir un paralelogramo trasladando estos vectores y conservando la dirección, como se indica en la Fig. 1.4. Esta manera de proceder la llamamos "regla del paralelogramo".

Fig. 1.4: Paralelogramo

Escalamiento, suma y resta. La suma

u + v

se obtiene usando la regla del paralelogramo y la resta

u - v

se obtiene con la otra diagonal del paralelgramo generado por estos vectores, en la dirección que va de

v

u .

El escalamamiento

α u,

con

α \in ℝ,

simplemente cambia la longitud de

u

en un factor

α

y, si

α < 0,

también cambia la dirección.

Fig. 1.5: Escalamiento

λ u

Fig. 1.6: Suma

u + v

Fig. 1.7: Resta

u - v

: $u$ y $α u$ son colineales y $u, v, u + v, u - v$ son coplanares (viven en el mismo plano). En general, si $w = a_{1} u + a_{2} v,$ entonces $u, v$ y $w$ son coplanares.

Ejemplo1

Considere los vectores

u, v

w

como se especifica en la Fig. 1.8. Realice la representación de

2 u + v

y de

2 u + v - w

Fig. 1.8:

Solución.

Podemos escalar $u$ y luego aplicar la regla del paralelogramo para hacer la suma $2 u + v$ y a este vector le restamos $w$ como se pide.

Fig. 1.9: Suma

2 u + v

Fig. 1.10: Suma

2 u + v - w

1..2 Coordenadas en una base.

Una base es un conjunto $B$ que genera un marco de referencia o sistema de ejes. En dos dimensiones el eje $X$ esta generado por el vector unitario $i = (1, 0)$ y el eje $Y$ esta generado por el vector unitario $j = (0, 1) .$

De forma similar en el espacio tridimensional, los ejes coordenados $X$ , $Y$ , $Z$ estan generados por los vectores unitarios $i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0)$ y $k = (0, 0, 1) .$

En más dimensiones, estos vectores unitarios que conforman la base canónica (sistema de ejes estándar), se denotan con $e_{1}, e_{2}, . . ., e_{n} .$

Coordenadas. Los conjuntos $ℝ, ℝ^{2}, ℝ^{3}, . . ., ℝ^{n}$ se pueden ver como conjuntos de puntos tanto como conjuntos de vectores. Recordemos que

1

ℝ^{2} = {(v_{1}, v_{2}) tal que v_{1}, v_{2} \in ℝ} .

Base canónica:

i = (1, 0)

j = (0, 1)

2

ℝ^{3} = {(v_{1}, v_{2}, v_{3}) tal que v_{1}, v_{2}, v_{3} \in ℝ} .

Base canónica:

i = (1, 0, 0),

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1) .

3

ℝ^{n} = {(v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n}) tal que v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n} \in ℝ} .

Base canónica:

e_{1} = (1, 0, . . ., 0), e_{2} = (0, 1, 0, . . ., 0)

y en general,

e_{i} = (0, 0, . . ., \underset{Posición i}{\underset{⏟}{1}}, . . ., 0)

Para realizar la representación gráfica de un punto $P = (a, b, c)$ o un vector $v = (a, b, c),$ procedemos como en dos dimensiones, nos movemos paralelo a cada eje coordenado. Hay varias maneras de hacer esto. Por ejemplo, con la coordenada $a$ trazamos una línea punteada paralelo al eje $Y$ con la coordenada $b$ trazamos una línea punteada paralelo al eje $X$ . La intersección de estas líneas es el punto $(a, b, 0) .$ Para la coordenada $c,$ desde el punto $(a, b, 0),$ nos movemos $c$ unidades paralelo al eje $Z$ .

Fig. 1.11: Representación gráfica de un punto

P = (a, b, c)


Punto $P = (a, b)$	Vector $v = (a, b)$	Punto $P = (a, b, c)$	Vector $v = (a, b, c)$

Fig. 1.12: Puntos y vectores

Ejemplo2

En la Fig. 1.13 se representan varios puntos en $ℝ^{3} .$


Punto $P_{1} = (2, - 2, 0)$	Vector $P_{2} = (2, - 2, 2)$	Punto $P_{3} = (- 2, 0, 0)$	Vector $P_{4} = (0, 2, 2)$

Fig. 1.13: Puntos en

ℝ^{3}

Operaciones básicas con coordenadas. Las operaciones de escalamiento, suma y resta, se pueden definir de manera sencilla usando coordenadas en la base canónica de

ℝ^{n}

Sean

u = (u_{1}, u_{2}, . . ., u_{n}), v = (v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n}) \in ℝ^{n} .

1: Multiplicación por un escalar $λ \in ℝ, λ u = (λ u_{1}, λ u_{2}, . . ., λ u_{n})$
2: Suma: $u + v = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}, . . ., u_{n} + v_{n})$
3: Resta: $u - v = (u_{1} - v_{1}, u_{2} - v_{2}, . . ., u_{n} - v_{n})$

Ejemplo3

Sea

u = (0, 3, 1),

entonces

{\begin{matrix} 2 u & = & (0, 6, 2) \\ - 3 / 2 u & = & (0, - 9 / 2, - 3 / 2) \end{matrix}

Fig. 1.14:

Coordenadas en base canónica

v = (p_{1}, p_{2}, p_{3}),

entonces asumimos que estas son las coordenadas de

v

en la base canónica, es decir,

v = p_{1} i + p_{2} j + p_{3} k

Así, el vector

v = (2, 2, 5 / 2)

se escribe también como

v = 2 i + 2 j + 5 / 2 k

Fig. 1.15:

Ejemplo4

Si $u = (- 1, 0, - 4)$ y $v = (0, - 2, - 1),$ entonces

1: $u = - i + 0 j - 4 k$ y $v = 0 i - 2 j - k$
2: $u + w = (- 1 + 0) i + (0 - 2) j + (- 4 - 1) k = (- 1, - 2, - 5)$
3: $u - w = (- 1 - 0) i + (0 + 2) j + (- 4 + 1) k = (- 1, 2, - 3)$

Ejemplo5

u = (2, 3, 4)

v = (4, 2, 2),

entonces

a: $u = 2 i + 3 j + 4 k$ y $v = 4 i + 2 j + 2 k$
b: $2 u = 4 i + 6 j + 8 k$ y $3 v = 12 i + 6 j + 6 k$
c: $2 u + 3 v = (4, 6, 8) + (12, 6, 6) = (16, 12, 14)$
d: $2 u - 3 v = (- 8, 0, 2)$

Fig. 1.16:

2 u + 3 v

2 u - 3 v

Observe que

2 u - 3 v

(vector celeste) lo representamos tanto como vector de posición o simplemente como un desplazamiento.

Ejemplo6

Más adelante, en algunos cálculos, va a ser muy útil descomponer un vector como una combinación lineal de otros vectores. Una manera es "factorizar" las componentes $x, y$ y $z$ del vector.

1: $(x, y, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1)$
2: $(x, y, x + 2 y) = x (1, 0, 1) + y (0, 1, 2)$
3: $(x, y, 3 - x + 4 y) = (0, 0, 3) + x (1, 0, - 1) + y (0, 1, 4)$

1

R^{n},

cualquier conjunto de vectores de

n

vectores linealmente independientes puede ser un sistema de ejes del espacio. "Linealmente independiente" significa que ningún vector del conjunto se puede obtener como una suma de múltiplos de los otros.

2

Si el conjunto ordenado

B = {u, v, w} \subset ℝ^{3}

es linealmente independiente, entonces este conjunto es un sistema de ejes (o "marco de referencia" o "base") de

ℝ^{3} .

3

P = b_{1} u + b_{2} v + b_{3} w,

entonces las coordenadas de

P

en la base ordenada

B = {u, v, w},

son

(b_{1}, b_{2}, b_{3})

y esto lo denotamos con

{[P]}_{B} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) .

El orden de la base importa!

Fig. 1.17:

P = p_{1} e_{1} + p_{2} e_{2} + p_{3} e_{3}

Fig. 1.18:

{[P]}_{B} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) .

4

Para operaciones matriciales con vectores usamos el convenio

(x_{1}, x_{2}) = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}]

(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}],

etc. Y por supuesto,

{(x_{1}, x_{2})}^{T} = [x_{1} x_{2}]

{(x_{1}, x_{2}, x_{3})}^{T} = [x_{1} x_{2} x_{3}],

etc.

5

ℝ^{3}

y sea

B = {u, v, w}

linealmente independiente y

P = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) .

Supongamos que

{[P]}_{B} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}),

entonces

Si $A = [\begin{matrix} u \\ v \\ w \end{matrix}] ⟹ Det (A) \neq 0$

P = [\begin{matrix} b_{1} b_{2} b_{3} \end{matrix}] A = b_{1} u + b_{2} v + b_{3} w

o también

P = A^{T} [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}]

Ejemplo7

Considere

u = (1, 1, 0), v = (2, 0, 1)

w = (0, 0, 2)

y sean

P = (- 2, 2, 0)

Q = (1, 1, 1) .

B = {u, v, w}

es una base ordenada de

ℝ^{3} .

Calcule ${[Q]}_{B}$ y ${[P]}_{B}$

Fig. 1.19:

Solución.

1: Para calcular ${[(1, 1, 1)]}_{B}$ resolvemos el sistema $(1, 1, 1) = b_{1} (1, 1, 0) + b_{2} (2, 0, 1) + b_{3} (0, 0, 2)$

${\begin{matrix} b_{1} + 2 b_{2} & = & 1 \\ b_{1} & = & 1 \\ b_{2} + 2 b_{3} & = & 1 \end{matrix} ⟹ b_{1} = 1, b_{2} = 0 y b_{3} = 1 / 2 ∴ {[Q]}_{B} = (1, 0, 1 / 2)$
2: Como $(- 2, 2, 0) = 2 (1, 1, 0) - 2 (2, 0, 1) + (0, 0, 2)$ , entonces las coordenadas del punto $P$ en el sistema de ejes generado por $B$ es $(2, - 2, 1) .$

Más adelante con la Ecuación (??), vamos a ver que si conocemos las coordenadas de

P

en base canónica, las coordenadas en otra base

B

se calculan sin tener que resolver un sistema.

Vectores desplazamiento. Los "vectores desplazamiento" que van desde el punto

A

hasta el punto

B

los denotamos con

AB

y se definen como

AB = 0 B - 0 A .

Usualmente lo representamos como una flecha de

A

hasta

B .

Si los vemos como vectores de posición

0 A

0 B,

entonces el vector desplazamiento es una traslación: El vector inicia en

A

y termina en

A + AB = B .

Si no hay peligro de confusión, escribiremos

AB = B - A .

Fig. 1.20:

Observe que

O P_{1} + P_{1} P_{2} + P_{2} P_{3} + . . . + P_{n} P_{n + 1} = P_{1} + P_{2} - P_{1} + P_{3} - P_{2} + . . . + P_{n + 1} = O P_{n + 1}

Ejemplo8

Verifique que si

A, B

C

son los vértices de un triángulo y si los lados son los vectores

u, v

w,

entonces

u + v + w = 0

Solución. Usamos la Fig. 1.21 para ver la idea,

1: $u = B - A, v = C - B$ y $w = A - C$
2: $u + v + w = B - A + C - B + A - C = 0 ✓$

Fig. 1.21:

Paralelogramos. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos. Consideremos la Fig. ??, los vértices del paralelogramo ▱

ABCD

son

A, B, C

D

y entonces tenemos un par de lados paralelos:

AB ∥ CD

AC ∥ BD .

Si $v = 0 B - 0 A$ y $w = 0 C - 0 A,$ tenemos que las diagonales son $v + w$ y $v - w .$

Dados tres puntos $A, B$ y $C,$ entonces tenemos un paralelogramo ▱ $ABCD$ si

D = A + v + w = B + C - A

Fig. 1.22:

▱

ABCD

Fig. 1.23:

v + w y v - w

Fig. 1.24:

D = A + v + w = B + C - A

Ejemplo9

Sean

A = (1, 1, 0), B = (2, 0, 1)

C = (- 2, 0, 0) .

Realice la representación gráfica del el paralelogramo ▱

ABCD

generado por

A, B

C

Solución. Solo debemos calcular $D = B + C - A = (- 1, - 1, 1)$ y procedemos con la representación.

Fig. 1.25:

Teorema 1 — Propiedades de las operaciones con vectores.

Si $u, v, w \in ℝ^{n}$ y $α, β \in ℝ$ entonces,

1: Conmutatividad: $v + w = w + v$
2: Asociatividad: $u + (v + w) = (u + v) + w$
3: $0$ es el elemento neutro: $v + 0 = v$
4: Inversos aditivos: $v + - v = 0$

5: $α β v = α (β v)$
6: $α (v + w) = α v + α w$
7: $(α + β) v = α v + β v$

1..3 Producto interior (producto punto)

En este contexto, las distancias y los ángulos, los vamos a definir usando un "producto punto" o "producto interior".

Definición 1 — Producto punto.

Si $u = (u_{1}, u_{2}, . . ., u_{n}), v = (v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n}) \in ℝ^{n},$ entonces el producto punto (interior) de $u$ y $v$ es

u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + \dots + u_{n} v_{n} \in ℝ

Ejemplo10

Sea $u = (2, 1, 0)$ y $w = (1, - 2, 3) .$ Entonces,

u \cdot w = 2 \cdot 1 + 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 3 = 0

Definición 2 — Norma.

Si $u = (u_{1}, u_{2}, . . ., u_{n}) \in ℝ^{n}$ entonces llamamos longitud o norma (euclideana) de $u,$ y la denotamos $| | u | |,$ al escalar

| | u | | = \sqrt{u \cdot u} = \sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + \dots + u_{n}^{2}}

Fig. 1.26:

| | u | |

Fig. 1.27:

| | u | |^{2} = u \cdot u

La distancia euclideana de

A

hasta

B

d (A, B) = | | BA | | = | | B - A | |

Ejemplo11

Sean $u = (1, - 2, 4)$ y $v = (2, 3, 1) .$

1: ${\begin{matrix} u \cdot u & = & (1, - 2, 4) \cdot (1, - 2, 4) = 1^{2} + 2^{2} + 4^{2} = 21 \\ | | u | | & = & \sqrt{21} \end{matrix}$
2: $d (u, v) = | | u - v | | = \sqrt{(- 1, - 5, 3) \cdot (- 1, - 5, 3)} = \sqrt{35}$

Ejemplo12(Coordenadas en términos del producto punto)

Las coordenadas se puede obtener usando productos punto (el significado geométrico lo veremos en la Subsección 1..1..7).

1: Si $v = (v_{1}, v_{2})$ entonces ${\begin{matrix} v \cdot i & = & (v_{1}, v_{2}) \cdot (1, 0) = v_{1} \\ v \cdot j & = & (v_{1}, v_{2}) \cdot (0, 1) = v_{2} \end{matrix}$
2: Si $v = (v_{1}, v_{2})$ entonces $v = \underset{v_{1}}{\underset{⏟}{(v \cdot i)}} i + \underset{v_{2}}{\underset{⏟}{(v \cdot j)}} j$
3: Si $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ entonces ${\begin{matrix} v \cdot i & = & (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \cdot (1, 0, 0) = v_{1} \\ v \cdot j & = & (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \cdot (0, 1, 0) = v_{2} \end{matrix}$
4: Si $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ entonces $v = \underset{v_{1}}{\underset{⏟}{(v \cdot i)}} i + \underset{v_{2}}{\underset{⏟}{(v \cdot j)}} j + \underset{v_{3}}{\underset{⏟}{(v \cdot k)}} k$

Teorema 2 — Propiedades del producto punto.

Consideremos los vectores $u, v, w, \in ℝ^{n}$ y $α \in ℝ,$ entonces

1: $v \cdot v > 0$ si $v \neq 0$ (el producto punto es "definido positivo")
2: Conmutatividad $v \cdot w = w \cdot v$
3: Distribuitividad $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$
4: $(α v) \cdot w = α (v \cdot w)$

Teorema 3 — Propiedades de la norma.

Consideremos los vectores $v, w \in ℝ^{n}$ y $α \in ℝ$ , entonces,

1: $| | v | |^{2} = v \cdot v$
2: $| | v | | \geq 0$ y $| | v | | = 0$ si y sólo si $v = 0$
3: $| | α v | | = | α | | | v | |$
4: $| v \cdot w | \leq | | v | | | | w | |$ (desigualdad de Cauchy-Schwarz)
5: $| | v + w | | \leq | | v | | + | | w | |$ (desigualdad triangular)

Ejemplo13

1

u \cdot w = 0

y si

∥ u | | = 2

| | w | | = 3,

calcule

| | u + 2 w | |

Solución. Usamos propiedades del producto punto,

$\begin{matrix} | | u + 2 w | |^{2} & = & (u + 2 w) \cdot (u + 2 w) \\ Usando distribuitividad, \\ = & u \cdot u + 2 u \cdot w + 2 w \cdot u + 4 w \cdot w \\ = & 4 + 4 \cdot 9, pues u \cdot u = 4 y w \cdot w = 9 . \end{matrix}$

2

u \cdot v = 0,

use la distribuitividad para verificar el teorema de pitágoras:

| | u + v | |^{2} = | | u | |^{2} + | | v | |^{2}

Solución.

\begin{matrix} | | u + v | |^{2} & = & (u + v) \cdot (u + v) \\ = & \underset{| | u | |^{2}}{\underset{⏟}{u \cdot u}} + 2 \underset{0}{\underset{⏟}{u \cdot v}} + \underset{| | v | |^{2}}{\underset{⏟}{v \cdot v}} \\ ⟹ | | u + v | |^{2} = | | u | |^{2} + | | v | |^{2} \end{matrix}

Fig. 1.28:

u \cdot v = 0

Definición 3 — Vector unitario.

Un vector $v$ se dice unitario si su norma es $1$ . Es común escribir $\hat{v}$ para indicar que $v$ es unitario.

Decimos que

v

ha sido normalizado, cuando lo dividimos por su norma, para hacerlo unitario. A veces decimos que

v

es "la dirección" del vector

v .

Ejemplo14

1: Si $| | v | | \neq 0$ entonces $\hat{v} = \frac{v}{| | v | |}$ es unitario pues $‖ \frac{v}{| | v | |} ‖ = \frac{1}{| | v | |} | | v | | = 1$
2: $v = | | v | | \hat{v}$
3: $w = (cos 𝜃, sen 𝜃)$ es unitario para todo $𝜃 \in ℝ,$ pues $| | (cos 𝜃, sen 𝜃) | | = \sqrt{cos^{2} 𝜃 + sen^{2} 𝜃} = 1 .$

1..4 Ángulo entre dos vectores.

En $ℝ^{3},$ el ángulo entre dos vectores $v$ y $w$ se obtiene de manera similar que en $ℝ^{2},$ medimos el ángulo sobre un plano que contiene a ambos vectores. El ángulo entre $u$ y $v$ se denota $∠ u, v .$ La fórmula para el ángulo se generaliza de manera natural a $ℝ^{n}$

Fig. 1.29:

𝜃 = ∠ v, w

Fig. 1.30:

∠ i, j = π / 2

Definición 4 — Ángulo entre vectores.

Si $v, w \in ℝ^{n}$ son vectores no nulos, el ángulo entre $v y w,$ denotado $∠ v, w,$ es el único $𝜃 \in [0, π]$ tal que

cos 𝜃 = \frac{v \cdot w}{| | v | | | | w | |} = \frac{v}{| | v | |} \cdot \frac{w}{| | w | |}

𝜃 \in [0, π]

cos 𝜃 = \frac{v \cdot w}{| | v | | | | w | |}

(1.1)

v \cdot w = | | v | | | | w | | cos 𝜃

(1.2)

𝜃 = arccos (\frac{v \cdot w}{| | v | | | | w | |})

(1.3)

La función $atan2 (y, x)$ devuelve el ángulo del vector $(x, y)$ respecto del eje $X$ , tomando en cuenta el cuadrante en el que se encuentra. A diferencia de $arctan (y / x)$ , distingue correctamente los signos de $x$ y $y$ y devuelve usualmente un valor en el intervalo $(- π, π]$ .

En la práctica computacional, para calcular el ángulo entre dos vectores no nulos

v

w

, usualmente se usa la función

atan2

, en la forma (numéricamente estable)

𝜃 = atan2 (∥ v \times w ∥, v \cdot w) .

Como $∥ v \times w ∥ \geq 0,$ esta expresión devuelve el ángulo $0 \leq 𝜃 \leq π .$

En dimensiones $n \geq 3$ no hay "producto cruz", pero hay una fórmula universal para calcular el ángulo

𝜃 = atan2 (\sqrt{1 - {(\hat{v} \cdot \hat{w})}^{2}}, \hat{v} \cdot \hat{w})

Ejemplo15

Sea $v = (1, 2, 1)$ y $w = (- 1, 0, 2) .$ Calcule $∠ v, w$ , $∠ w, j$ y $∠ v, k$

Solución.

1: $∠ v, w = arccos (\frac{(1, 2, 1) \cdot (- 1, 0, 2)}{| | (1, 2, 1) | | | | (- 1, 0, 2) | |}) = arccos (\frac{1}{\sqrt{30}})$ por (1.3)
2: $w \cdot j = 0 = | | w | | | | j | | cos 𝜃 ⟹ 0 = \sqrt{5} \cdot 1 \cdot cos 𝜃 ⟹ 𝜃 = \frac{π}{2}$ por (1.2)
3: $\frac{v \cdot k}{| | v | | | | k | |} = \frac{1}{\sqrt{6}} ⟹ ∠ v, k = arccos (\frac{1}{\sqrt{6}})$ por (1.3)


$𝜃 = ∠ v, w$	$𝜃 = ∠ w, j = π / 2$	$𝜃 = ∠ v, k$

Fig. 1.31: Ángulos

Ejemplo16

Si $∠ v, w = \frac{π}{3}$ y si $| | v | | = 2$ y $| | w | | = 3,$ Calcule $| | v + 2 w | |$

Solución. Usamos propiedades del producto punto,

$\begin{matrix} | | u + 2 w | |^{2} & = & (u + 2 w) \cdot (u + 2 w) \\ aplicamos distribuitividad, \\ = & u \cdot u + 2 u \cdot w + 2 w \cdot u + 4 w \cdot w \\ = & u \cdot u + 4 u \cdot w + 4 w \cdot w \\ ahora, v \cdot v = 4 y w \cdot w = 9 y v \cdot w = 2 \cdot 3 \cdot cos (π ∕ 3) \end{matrix}$

1..5 Cosenos directores.

Los cosenos de los ángulos, de un vector $v$ con los ejes coordenados, se llaman "cosenos directores".

Denotamos con $𝜃_{x}, 𝜃_{y}$ y $𝜃_{z}$ los ángulos del vector $v$ con los ejes $X$ , $Y$ y $Z$ , respectivamente.

Definición 5.

Cosenos directores Los cosenos de los ángulos de un vector $v$ con los ejes coordenados se llaman "cosenos directores".

$v = (v_{1}, v_{2})$		$v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$
${\begin{matrix} cos 𝜃_{x} & = & \frac{v \cdot i}{\| \| v \| \|} = \frac{v_{1}}{\| \| v \| \|} \\ cos 𝜃_{y} & = & \frac{v \cdot j}{\| \| v \| \|} = \frac{v_{2}}{\| \| v \| \|} \end{matrix}$		${\begin{matrix} cos 𝜃_{x} & = & \frac{v \cdot i}{\| \| v \| \|} = \frac{v_{1}}{\| \| v \| \|} \\ cos 𝜃_{y} & = & \frac{v \cdot j}{\| \| v \| \|} = \frac{v_{2}}{\| \| v \| \|} \\ cos 𝜃_{z} & = & \frac{v \cdot k}{\| \| v \| \|} = \frac{v_{3}}{\| \| v \| \|} \end{matrix}$


$𝜃_{x} = ∠ v, i$	$𝜃_{y} = ∠ v, j$	$𝜃_{z} = ∠ v, k$

Fig. 1.32: Ángulos entre

v

y los ejes coordenados

Ejemplo17

1

Determine un vector

v \in ℝ^{3}

tal que

| | v | | = 2

𝜃_{x} = π ∕ 3, 𝜃_{y} = π ∕ 4

𝜃_{z} = 0 .

Solución.

${\begin{matrix} cos 𝜃_{x} & = & \frac{1}{2} \\ cos 𝜃_{y} & = & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} ⟹ v = 2 (\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 1) = (1, \frac{2}{\sqrt{2}}, 2)$

2

Determine los vectores unitarios

v \in ℝ^{3}

para los que

𝜃_{x} = π ∕ 3, 𝜃_{y} = π ∕ 4 .

Como $v$ es unitario, $v = (cos 𝜃_{x}, cos 𝜃_{y}, cos 𝜃_{z})$ y $cos^{2} 𝜃_{x} + cos^{2} 𝜃_{y} + cos^{2} 𝜃_{z} = 1,$ entonces

Solución.

${\begin{matrix} cos 𝜃_{x} & = & \frac{1}{2} \\ cos 𝜃_{y} & = & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} ⟹ v = (\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \frac{1}{2})$

1..6 Paralelismo y perpendicularidad

Definición 6 — Paralelismo y perpendicularidad.

Considere dos vectores no nulos $u, v \in ℝ^{n}$

1: $u ∥ v$ (son paralelos) si $∠ u, v = 0 o si ∠ u, v = π$ , es decir $u = λ v$ para algún $λ \in ℝ .$
2: $u ⊥ v$ (son perpendiculares u ortogonales) si $∠ u, v = π / 2,$ es decir, $u \cdot v = 0 .$

Ejemplo18

Los vectores paralelos son "colineales"

La Fig. 1.33 muestra dos vectores $u$ y $w$ ambos perpendiculares y $- 0.8 u ∥ u$ , es decir, son colineales.

Fig. 1.33:

Ejemplo19

1

Sea

v = (1, 1) .

Determine todos los vectores perpendiculares a

v .

Solución. Si $(a, b)$ es perpendicular a $(1, 1)$ entonces

$\begin{matrix} (a, b) \cdot (1, 1) & = & 0 ⟹ a + b = 0 ⟹ b = - a \end{matrix}$

Es decir, Los vectores perpendiculares a $v = (1, 1)$ son de la forma $λ (1, - 1), λ \in ℝ^{*} .$

2

Sea

u = (1, 1, 1) .

Determine todos los vectores perpendiculares a

u .

Solución. Si $(a, b, c)$ es perpendicular a $(1, 1, 1)$ entonces

$(a, b, c) \cdot (1, 1, 1) = 0 ⟹ a + b + c = 0 ⟹ c = - a - b .$

Es decir, los vectores perpendiculares a $(1, 1, 1)$ son los vectores no nulos de la forma

(λ_{1}, λ_{2}, - λ_{1} - λ_{2}), con λ_{1}, λ_{2} \in ℝ .

Fig. 1.34:

1..7 Proyección ortogonal.

Geométricamente la proyeción de

v

sobre

w

es el vector que se obtiene al proyectar ortogonalmente el vector

v \neq 0

sobre el vector

w

como en la Fig. 1.35.
Esta proyección la denotamos

{proy}_{w}^{v}

Fig. 1.35:

{proy}_{w}^{v}

Definición 7 — Proyección ortogonal.

Sean $v, w \in ℝ^{n}$ con $w \neq 0$ .

1

Se llama proyección ortogonal de

v

sobre

w

al vector

{proy}_{w}^{v} =

\underset{Escalar}{\underset{⏟}{\frac{v \cdot w}{| | w | |^{2}}}} w

2

Se llama proyección ortogonal de

w

sobre

v

al vector

{proy}_{v}^{w} =

\underset{Escalar}{\underset{⏟}{\frac{v \cdot w}{| | v | |^{2}}}} v

Ejemplo20

Sean $v = (5, 0, \sqrt{2})$ y $w = (2, 1, \sqrt{2})$ entonces

{proy}_{w}^{v} = \frac{w \cdot v}{w \cdot w} w =

\frac{12}{7} (2, 1, \sqrt{2})

Fig. 1.36:

{proy}_{v}^{w} = \frac{w \cdot v}{v \cdot v} v =

\frac{12}{27} (5, 0, \sqrt{2})

Fig. 1.37:

1..8 Componentes ortogonales.

Un vector $v$ se puede descomponer en dos "componentes ortogonales", respecto a un vector $w .$ Estas componentes se denotan $v_{∥}$ y $v_{⊥} .$

v = v_{∥} + v_{⊥} donde {\begin{matrix} v_{∥} & = & {proy}_{w}^{v} \\ v_{⊥} & = & v - {proy}_{w}^{v} \end{matrix}

(1.4)

Como los vectores unitarios

{\hat{v}}_{∥}

{\hat{v}}_{⊥}

son ortogonales, usando estos vectores como marco de referencia, obtenemos

v = | | v | | cos 𝜃 {\hat{v}}_{∥} + | | v | | sen 𝜃 {\hat{v}}_{⊥} con 𝜃 = ∠ v, w

El escalar

{comp}_{w} (v) = | | v | | cos 𝜃 = \frac{v \cdot w}{| | w | |}

se llama la componente de

v

respecto de

w

El escalar

{comp}_{v} (w) = | | w | | cos 𝜃 = \frac{v \cdot w}{| | v | |}

se llama la componente de

w

respecto de

v

Fig. 1.38:

v = v_{∥} + v_{⊥}

Fig. 1.39:

v_{∥} = {proy}_{w}^{v}

Fig. 1.40:

v = | | v | | (cos 𝜃 {\hat{v}}_{∥} + sen 𝜃 {\hat{v}}_{⊥})

Ejemplo21

Exprese la fuerza

F = 15 i + 75 j

en términos de sus componentes ortogonales, respecto a

w = 60 i + 20 j .

Fig. 1.41:

Solución.

1

F_{∥} = {proy}_{w} F = \frac{F \cdot w}{∥ w ∥^{2}} w = \frac{2400}{4000} (60, 20) = \frac{3}{5} (60, 20) = (36, 12)

2

F_{⊥} = F - F_{∥} = (15, 75) - (36, 12) = (- 21, 63)

3

∴ F = F_{∥} + F_{⊥} = (36, 12) + (- 21, 63) = (15, 75)

4

También,

cos 𝜃 = \frac{F \cdot w}{∥ F ∥ ∥ w ∥} = \frac{4}{\sqrt{65}},

sen 𝜃 = \sqrt{1 - {cos}^{2} 𝜃} = \frac{7}{\sqrt{65}}

F = ∥ F ∥ cos 𝜃 {\hat{u}}_{∥} + ∥ F ∥ sen 𝜃 {\hat{u}}_{⊥}

$donde {\hat{u}}_{∥} = \frac{w}{∥ w ∥}, {\hat{u}}_{⊥} = \frac{F_{⊥}}{∥ F_{⊥} ∥}$

Usando cosenos directores, (Subsección 5), observamos que las coordenadas de un punto en el sistema

XY Z

son las proyecciones de este punto (como vector) sobre

i,

j

k,

respectivamente.

Si $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ entonces $v = \underset{| | v | | cos 𝜃_{x}}{\underset{⏟}{(v \cdot i)}} i + \underset{| | v | | cos 𝜃_{y}}{\underset{⏟}{(v \cdot j)}} j + \underset{| | v | | cos 𝜃_{z}}{\underset{⏟}{(v \cdot k)}} k$

Una interpretación del producto punto. Aplicando la norma a la proyección tenemos,

‖ {proy}_{w}^{v} ‖ = \frac{| v \cdot w |}{| | w | |^{2}} ‖ w ‖ ⟹ | v \cdot w | = ∥ {proy}_{w}^{v} ∥ \cdot | | w | | : Este producto punto es un escalamiento de w

Ejemplo22

Sean

v = (5, 0, \sqrt{2})

w = (2, 1, \sqrt{2}) .

Calcular la componente de

w

respecto de

v

y la la componente de

v

respecto de

w

Fig. 1.42:

Solución.

Componente de $w$ respecto de $v$ :

{comp}_{v} (w) = \frac{v \cdot w}{∥ v ∥} = \frac{12}{3 \sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}

Componente de $v$ respecto de $w$ :

{comp}_{w} (v) = \frac{v \cdot w}{∥ w ∥} = \frac{12}{\sqrt{7}}

1..9 Producto Cruz en $ℝ^{3}$

El producto cruz (o "producto vectorial") de dos vectores $v, w \in ℝ^{3}$ , denotado por $v \times w$ , es el único vector cuyo tamaño es el área del paralelogramo generado por $v$ y $w$ y cuya dirección es perpendicular a este paralelogramo y está orientado según la regla de la mano derecha. Esta descripción permite establecer la definición que sigue.

Definición 8.

Consideremos los vectores $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in ℝ^{3}$ y $w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) \in ℝ^{3}$ . El producto cruz $v \times w$ se define como,

v \times w = (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}) i + (v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3}) j + (v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1}) k

Fig. 1.43: Producto cruz

El siguiente teorema nos permite usar propiedades de matrices para trabajar con el producto vectorial.

Teorema 4 — Forma matricial del producto cruz.

Sean $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ y $w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ y $A_{v} = (\begin{matrix} 0 & - v_{3} & v_{2} \\ v_{3} & 0 & - v_{1} \\ - v_{2} & v_{1} & 0 \end{matrix})$ entonces $v \times w = A_{v} \cdot (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \end{matrix})$

Ejemplo23

Sean $v = (1, 2, 3)$ y $w = (- 2, 0, 1)$ entonces

A_{v} = (\begin{matrix} 0 & - 3 & 2 \\ 3 & 0 & - 1 \\ - 2 & 1 & 0 \end{matrix}) ⟹ v \times w = (\begin{matrix} 0 & - 3 & 2 \\ 3 & 0 & - 1 \\ - 2 & 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \end{matrix}) = (2, - 7, 4)

Un recurso nemotécnico. El producto cruz se puede calcular como un determinante de una matriz, usando "menores". Recuerde que los productos de las diagonales que van de izquierda a derecha, se les debe cambiar el signo.

Ejemplo24

Sea $v = (5, 0, \sqrt{2})$ y $w = (2, 1, \sqrt{2}) .$ Calcule

1: $v \times w$
2: $w \times v$
3: $(v \times w) \cdot v$
4: $(v \times w) \cdot w$

Solución.

1: $(5, 0, \sqrt{2}) \times (2, 1, \sqrt{2}) = \begin{matrix} i & j & k & i & j \\ 5 & 0 & \sqrt{2} & 5 & 0 \\ 2 & 1 & \sqrt{2} & 2 & 1 \end{matrix} = (0 - \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2}, 5 - 0)$
2: $w \times v = (\sqrt{2}, 5 - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}, - 5)$ (solo cambia de signo, porque solo hicimos un cambio de fila).
3: $(v \times w) \cdot v = (- \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2}, 5) \cdot (5, 0, \sqrt{2}) = - 5 \sqrt{2} 5 + 0 + 5 \sqrt{2} = 0$
4: $(v \times w) \cdot w = 5 \sqrt{2} 5 + 0 - 5 \sqrt{2} = 0$

En el siguiente teorema se describen algunas propiedades del producto cruz que serán muy útiles en algunas fórmulas que veremos más adelante.

Teorema 5 — Propiedades del producto cruz.

Consideremos los vectores $u, v, w \in ℝ^{3}$ y $α \in ℝ$ , entonces

1: $v \cdot (v \times w) = 0$
2: $w \cdot (v \times w) = 0$
3: $v \times w = - (w \times v)$
4: $u \times (v + w) = u \times v + u \times w$ (Distribuitividad respecto a la suma)
5: $(u + v) \times w = u \times w + v \times w$ (Distribuitividad respecto a la suma)
6: $α (v \times w) = (α v) \times w = v \times (α w)$
7: $v \times 0 = 0 \times v = 0$
8: $u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w$ (Triple producto vectorial)
9: $(v \times w) \times u = - u \times (v \times w)$

Un producto cruz de dos vectores, con las propiedades del Teorema 5, solo se puede definir en $ℝ^{3}$ (bueno, y en $ℝ$ y $ℝ^{7}$ , pero no es algo útil). Un "producto cruz" en $ℝ^{n}$ se puede obtener como una generalización a $n$ dimensiones utilizando "álgebra exterior y el operador estrella de Hodge"; este operador toma $n - 1$ vectores y produce un "vector" que es perpendicular a cada de estos $n - 1$ vectores. El "vector" que produce el operador estrella de Hodge se llama "covector" y estrictamente no es nuestro familiar vector (excepto que escojamos un producto punto y una orientación adecuada), aunque cálculos como su norma sean fácil de hacer.

Ejemplo25

Aplicamos las propiedades 1.), 2.) y 3.) a los vectores $i$ , $j$ y $k$ .

a: $i \times j = k$
b: $j \times i = - k$
c: $j \times k = i$
d: $k \times j = - i$
e: $k \times i = j$
f: $i \times k = - j$

g: $i \times i = 0$
h: $j \times j = 0$
i: $k \times k = 0$

Fig. 1.44:

Ejemplo26

Sean $u = (1, 1, 0),$ $v = (0, 2, - 1)$ y $w = (2, - 2, 0) .$ Calcule

1: $| | v \times w | |$
2: $u \times (v \times w)$

Solución. En vez de calcular de manera directa, usamos las propiedades 9.) y 10.)

1: $| | v \times w | | = \sqrt{24}$ pues $| | v \times w | |^{2} = (v \cdot v) (w \cdot w) - {(v \cdot w)}^{2} = 40 - 16 = 24$ (Identidad de Lagrange)
2: $u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w = 0 \cdot v - 2 \cdot w = (- 4, 4, 0)$ (Triple producto vectorial).

Ejemplo27

Además de una fórmula de cálculo rápido, la intuición del triple producto vectorial es que si

v

w

no son paralelos,

u \times (v \times w)

está en el mismo plano

Sean

{\begin{matrix} u = (0.6, - 0.9, 0.3) \\ v = (0.5, 0.7, 0) \\ w = (0.8, 0.2, 1) \end{matrix}

Entonces $u \times (v \times w) = 3 / 5 v + 33 / 100 w$

Fig. 1.45:

u \times (v \times w)

Teorema 6 — Triple producto escalar.

Sean $u = u_{1}, u_{2}, u_{3}, v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}), w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) \in ℝ^{3}$ no nulos.

1: $u \cdot (v \times w) = | \begin{matrix} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix} |$
2: $u \cdot (v \times w) = (u \times v) \cdot w$
3: $u, v, w$ están en el mismo plano (coplanares), si $u \cdot (v \times w) = 0 .$
4: Un conjunto ortormal $B = {u, v, w},$ visto como un sistema de ejes, se dice orientado positivamente (según la regla de mano derecha) si $w \cdot (u \times v) > 0 .$

Ejemplo28

Sean

u = (0, 1, - 1), v = (- 1, 0, 1), w = (1, - 1, 0) .

Verifique que

1: $u, v, w$ son coplanares.
2: $u, v, w$ y $u \times (v \times w)$ son coplanares.

Fig. 1.46:

Solución.

1

u, v, w

son coplanares (linealmente dependientes) pues

| \begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix} | = 0

2

Ahora,

u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w = - 1 (- 1, 0, 1) + 1 (1, - 1, 0) = (2, - 1, - 1) .

Para verificar que los cuatro vectores son coplanares es suficiente con verificar que $u, v$ y $u \times (v \times w)$ son coplanares.

En efecto,

$| \begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \end{matrix} | = 0$

Teorema 7 — Norma del producto cruz.

Sean dos vectores no nulos $v, w \in ℝ^{3}$ y $𝜃 = ∠ v, w,$ entonces

1: $| | v \times w | |^{2} = | | v | |^{2} | | w | |^{2} - {(v \cdot w)}^{2}$ (Identidad de Lagrange)
2: $| | v \times w | | = | | v | | | | w | | sen 𝜃$
3: $| | v \times w | | = 0 ⟺ v ∥ w$
4: $v$ y $w$ son paralelos si y sólo si $v \times w = 0$
5: $| | v \times w | | = | | v | | | | w | | ⟺ v ⊥ w$

Ejemplo29

1

| | v | | = 2,

| | w | | = 3

π / 3 = ∠ v, w,

calcule

| | v \times w | |

Solución. De acuerdo al Teorema 7, $| | v \times w | | = 2 \cdot 3 \cdot sen (π / 3) = 6 \cdot \sqrt{3} / 2$

2

v = (1, 0, 1)

w = (2, \sqrt{2}, \sqrt{3}),

calcule

| | v \times w | |^{2}

Solución. De acuerdo a la identidad de Lagrange

\begin{matrix} | | v \times w | |^{2} & = & | | v | |^{2} | | w | |^{2} - {(v \cdot w)}^{2} \\ = & 2 \cdot 9 - {(2 + \sqrt{3})}^{2} \end{matrix}

1..10 Área de un paralelogramo.

El área de un paralelogramo es "base x altura".

En un paralelogramo generado por los vectores $v$ y $w,$ podemos tomar

a: como "la base" al vector $v,$ así la base mide $| | v | |$
b: como $sen 𝜃 = \frac{h}{| | w | |}$ entonces la altura es $h = | | w | | sen 𝜃 .$

El área es

A = | | v | | | | w | | sen 𝜃 = | | v \times w | |

Fig. 1.47:

1..11 Volumen de un paralelepípedo.

Consideremos un paralelepípedo en el espacio determinado por tres vectores no nulos y no coplanares $u, v, w \in ℝ^{3}$ , como se ve en la Fig. 1.48.
El volumen del paralelepípedo es "área de la base $\times$ altura".

Podemos tomar como "la base" el paralelogramo generado por $u$ y $v$ , entonces el área de la base es $| | u \times v | | .$

La altura la calculamos como la norma de la proyección de $w$ sobre $u \times v .$

Entonces si $u \times v \neq 0,$

$\begin{matrix} V olumen & = & | | u \times v | | ∥ proy w u \times v ∥ \\ = & | | u \times v | | \frac{| w \cdot (u \times v) |}{| | u \times v | |^{2}} | | u \times v | | \end{matrix}$

Fig. 1.48:

Teorema 8 — Área y volumen.

Sea $u, v, w \in ℝ^{3}$ no nulos ni coplanares. Sea $𝜃 = ∠ u, v,$

1: El área del paralelogramo determinado por $v$ y $w$ es $| | v | | | | w | | sen 𝜃$ o también $| | v \times w | |$
2: El volumen del paralelelípedo determinado por los vectores $u, v, w$ es $| w \cdot (u \times v) |$

1..12 Volumen como un determinante.

De acuerdo al Teorema 6, el triple producto escalar $w \cdot (u \times v)$ se puede calcular como un determinante.

Entonces el volumen se puede calcular como el valor absoluto del determinante de la matriz cuyas filas son los vectores $u, v$ y $w,$ en cualquier orden.

Volumen

= | w \cdot (u \times v) |

\begin{matrix} w \cdot (u \times v) = u \cdot (v \times w) & = & | Det [\begin{matrix} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{matrix}] | \end{matrix}

Ejemplo30

1

Determine el área del triángulo con vértices

P = (1, 3, 0),

Q = (2, - 1, 1)

R = (- 4, 2, 4)

Solución. El área triángulo

Δ PQR

es la mitad del área del paralelogramo generado por los vectores

v = PQ = (1, - 4, 1)

w = PR = (- 5, - 1, 4),

entonces, usando la identidad de Lagrange,

$\begin{matrix} Área = \frac{| | v \times w | |}{2} & = & \frac{\sqrt{| | v | |^{2} | | w | |^{2} - {(v \cdot w)}^{2}}}{2} \\ = & \frac{\sqrt{9 \cdot 42 - 9}}{2} = \frac{\sqrt{747}}{2} {ul}^{2} \end{matrix}$

Fig. 1.49:

2

Determine el área del paralelogramo generado por los vectores

v = (0, 1, 1)

w = (1, 1, 0) .

Solución. El área del paralelogramo generado por los vectores

v

w

es, usando la identidad de Lagrange,

\begin{matrix} Área = | | v \times w | | & = & \sqrt{| | v | |^{2} | | w | |^{2} - {(v \cdot w)}^{2}} \\ = & \sqrt{2 \cdot 2 - 1^{2}} = \sqrt{3} {ul}^{2} \end{matrix}

Fig. 1.50:

3

Calcule el área del paralelogramo generado por los vectores

v

w

si se sabe que

| | v | | = 1,

| | w | | = 1

∠ v, w = \frac{π}{6}

Solución. El área es

| | v \times w | | = | | v | | | | w | | sen π / 6 = \frac{1}{2} {ul}^{2}

4

Determine el volumen del paralelelípedo generado por los vectores

u = (1, 5, 0), v = (2, - 3 / 2, 5)

w = (- 3, 1, 6) .

Solución. Vamos a tomar como "base" del paralelelípedo, el paralelogramo generado por

u

v .

Entonces

$w \cdot (u \times v) = \begin{matrix} 1 & 5 & 0 & 1 & 5 \\ 2 & - 3 / 2 & 5 & 2 & - 3 / 2 \\ - 3 & 1 & 6 & - 3 & 1 \end{matrix} = - 149$

Volumen = | w \cdot (u \times v) | = 149 {ul}^{3}

Fig. 1.51:

2.1 Sean

u = (1, 2, 1)

v = (2, 0, - 1)

. Calcule

u \cdot v

2.2 Determine un vector

v

unitario en la dirección del vector

(2, - 1, 1, 3)

\frac{1}{\sqrt{15}} (2, - 1, 1, 3) .

2.3 Hallar un vector unitario perpendicular a los vectores

u = (1, 0, 1)

v = (2, - 1, 1)

(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, - \frac{1}{\sqrt{3}})

2.4 Demuestre que

P = (- 2, 1, 6), Q = (2, 4, 5)

R = (- 1, - 2, 1)

corresponden a los vértices de un triángulo rectángulo.

Se omite.
Elabore su respuesta. Si tiene dudas, consulte con su prefesor preferiblemente. También puede comparar su respuesta con una consulta a la IA, para este ejercicio particular

Consultar una solución paso a paso

✦ Consultar a Claude ⬡ Consultar a ChatGPT

La IA puede cometer errores; verifique los procedimientos y resultados.

2.5 Verifique que el triángulo con vértices

A = (2, 3, - 4)

B = (3, 1, 2)

C = (7, 0, 1)

es un triángulo rectángulo. Calcule su área.

A = \frac{1}{2} \sqrt{738} {(ul)}^{2}

2.6 Demostrar que los vectores

(cos 𝜃, sen 𝜃, 0)

(- sen 𝜃, cos 𝜃, 0)

son ortogonales.

Se omite.
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2.7 Sean

v

w

vectores no nulos de

ℝ^{n}

. Encuentre el coseno del ángulo entre

v

proy v w

0

2.8Sean

A = (1, 1, 1),

B = (3, - 1, 1)

C = (7 ∕ 3, - 1 ∕ 3, 7 ∕ 3) .

Verifique que el triángulo

△ ABC

es rectángulo y calcule su área.

Se omite.
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2.9 Determine el ángulo que forma los vectores

u = (1, 2, - 3)

v = (- 3, 1, 2)

\frac{2 π}{3}

2.10 Dado el vector

u = (\sqrt{2}, 1, 1)

, hallar el ángulo formado entre el vector

u

y el eje

Y

𝜃 = \frac{π}{3}

2.11 Encuentre un vector unitario que forme un ángulo de

π

radianes con el eje

X

(- 1, 0, 0)

2.12 Determine el área de un triángulo cuyos vértices están dados por los puntos

A = (1, 1, 1), B = (2, 3, 3), C = (3, 2, 2)

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

1. Vectores, Producto punto y producto cruz

1..1 Operaciones básicas con vectores.

1..2 Coordenadas en una base.

1..3 Producto interior (producto punto)

1..4 Ángulo entre dos vectores.

1..5 Cosenos directores.

1..6 Paralelismo y perpendicularidad

1..7 Proyección ortogonal.

1..8 Componentes ortogonales.

1..9 Producto Cruz en ℝ3

1..10 Área de un paralelogramo.

1..11 Volumen de un paralelepípedo.

1..12 Volumen como un determinante.

1..9 Producto Cruz en $ℝ^{3}$