Ecuación General

1. Ecuación General

Las "secciones cónicas" (o "cortes") son curvas que originalmente se obtuvieron como curvas de intersección entre un plano y un cono. Estaban asociadas a una manera de obtener una solución (Menecmo, alrededor del año 350 a.C.) del "Problema de Delos" (o "duplicación del cubo"). Siglos después estas curvas se definieron como "lugares geométricos" en el plano y en la Era Moderna pasaron a ser curvas planas con una ecuación de segundo grado, llamadas ahora "Curvas Cuadráticas".

Las curvas cuadráticas son circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.

Secciones Cónicas

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Las cónicas "propias" son la parábola, la elipse y la hipérbola. La circunferencia es un caso especial de elipse. En coordenadas rectangulares, una cónica tiene "ecuación general" (de segundo grado)

A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0 .

(1.1)

Ejemplo1Cónicas propias

En la Figura 1 se puede apreciar la representación gráfica de tres cónicas propias con su respectiva ecuación general.

1: Parábola: $y^{2} - 4 x - 2 y + 5 = 0$
2: Elipse: $2 x^{2} + 2 xy - 4 x + 2 y^{2} - 2 y - 4 = 0$
3: Hipérbola: $2 x^{2} - 6 x - y^{2} + y - 1 = 0$

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a.) Parábola en posición estándar	b.) Elipse con rotación	c.) Hipérbola en posición estándar

Las cónicas "degeneradas". Hay casos en los que esta "ecuación general" no tiene soluciones, o el conjunto solución es por ejemplo un punto o dos rectas. Estos casos especiales se llaman "cónicas degeneradas".

Clasificación de cónicas. Usando la teoría de formas cuadráticas podemos obtener un criterio para clasificar las cónicas a partir de su ecuación general.

Teorema 1 — Clasificación de Cónicas usando discriminantes.

Sea $C$ la cónica de ecuación $A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ . Si $Δ = 4 ACF - A E^{2} - B^{2} F + BDE - C D^{2},$ entonces

1.: si $B^{2} - 4 AC = 0$ y $Δ \neq 0,$ tenemos que $C$ es una parábola.
2.: si $B^{2} - 4 AC < 0$ y $Δ \neq 0,$ tenemos que $C$ es una elipse.
3.: si $B^{2} - 4 AC > 0$ y $Δ \neq 0,$ tenemos que $C$ es una hipérbola.

¿De dónde sale este criterio de clasificación?. Lo podemos ver empliado en el Apéndice ?? La idea general es que la ecuación general 1.1 se puede reducir a $λ_{1} {x^{″}}^{2} + λ_{2} {y^{″}}^{2} = - \frac{Δ}{det (M)}$ y de ahí se deduce la naturaleza de la cónica

Cónicas con rotación. En este capítulo solo nos interesa cónicas en posición estándar, es decir, sin rotación. El "culpable" de la rotación de una cónica es el término "

Bxy

" en la ecuación general.

A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0

En el widget a la derecha se puede visualizar como al variar

B

, la cónica no solo rota, también cambia de forma.

En el widget de la derecha se puede ver además de la cónica, otras características como "vértices y focos". Eso es algo fácil de determinar si la cónica está en "posición estándar" (sin rotaciones). En otro caso requiere métodos matriciales (valores propios). Ver Apéndice ??.

Efecto de variar el coeficiente

B

Propósito: Este widget se puede usar para realizar la representación gráfica de cónicas propias. Este graficador acepta expresiones del tipo $F (x, y) = 0$ .

Ejemplo: Para la cónica $3 x^{2} + 3 xy - y^{2} - 9 = 0$ , digitamos 3x^2 + 3 x y - y^2 - 9 (el $= 0$ es opcional).

Podemos probar con

\begin{matrix} Cónicas propias & Cónicas degeneradas \\ a.) Parábola & x^{2} - 2 xy + y^{2} - x - y = 0 & d.) Un punto & {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 0 & S : (1, - 2) \\ b.) Elipse & 4 x^{2} + y^{2} - x - y - 1 = 0 & e.) Un par de rectas & x^{2} - y^{2} = 0 & S : y = \pm x \\ e.) Hipérbola & - 2 x^{2} - 2 xy + y^{2} - x - y + 4 = 0 & f.) Sin solución en ℝ & x^{2} + y^{2} + 1 = 0 & S : en ℂ \end{matrix}

Graficador de cónicas

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Si tenemos una cónica "no degenerada", de ecuación

A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0 .

con $B \neq 0,$ la rotación se puede "eliminar" haciendo un cambio de variable que nos da una cónica de la misma clase, sin rotación, respecto a un nuevo sistema $X^{'} Y^{'}$ , es decir, la ecuación respecto a este sistema tiene la forma.

A^{'} {(x^{'})}^{2} + C^{'} {(y^{'})}^{2} + D^{'} x^{'} + E^{'} y^{'} + F^{'} = 0 .

Cónica en posición estándar. Si

B = 0,

el "eje focal" es paralelo al eje

X

o es paralelo al eje

Y .

En este caso decimos que la cónica está en "posición estándar". La ecuación de una cónica en posición estándar es

A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0 .

Si la cónica está en "posición estándar", completando cuadrados podemos obtener la llamada "ecuación canónica". Con esta ecuación es más fácil clasificar la cónica y obtener las características más importantes de la curva.

Preliminares

Completar el cuadrado. En el tema de cónicas es muy útil la “completación de cuadrados” pues nos permite reducir ecuaciones del tipo $A x^{2} + C y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ a una ecuación más natural y con más información. Una manera de completar cuadrados es

a x^{2} + b x + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c

Ejemplo2

a.)

Completar el cuadrado en

4 x^{2} - 8 x

$\begin{matrix} Solución. 4 x^{2} - 8 x & = & 4 {(x + \frac{- 8}{2 \cdot 4})}^{2} - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4} \\ = & 4 {(x - 1)}^{2} - 4 \end{matrix}$

b.)

Completar el cuadrado en

y^{2} + 4 y - 8

$\begin{matrix} \end{matrix}$

Lugares geométricos. Informalmente, un “lugar geométrico” es el “rastro” o la “huella” que deja un punto que se mueve de acuerdo a una ley especificada. En lo que a nosotros concierne, usaremos esta definición: Un “lugar geométrico” es el conjunto de todos los puntos (usualmente los puntos de una curva o una superficie) que satisfacen algún criterio o propiedad.

Ejemplo3(Lugar geométrico).

Una circunferencia en el plano es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto

O

llamado “centro”.
Nos interesa la ecuación en coordenadas rectangulares de la curva que se forma: Una circunferencia de radio

a

está formada por todos los puntos

(x, y)

que están a una distancia “

a

” del centro

O = (h, k) .

Entonces

\begin{array}{rcl} | | (x, y) - (h, k) | | = a & ⟹ & \sqrt{{(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2}} = a \\ ⟹ & {(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = a^{2} \end{array}

Figura 1.1: Lugar geométrico

La ecuación ${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = a^{2}$ es la versión en coordenadas rectangulares para una circunferencia de centro $(h, k)$ y radio $a .$