La Parabola

2. La Parábola

Definición 1 (La parábola como lugar geométrico.).

En un plano, una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos $Q$ equidistantes de un punto fijo $F$ (llamado foco) y de una recta fija $ℓ$ (llamada directriz) que no contiene a $F$ , es decir, $d (Q, F) = d (Q, ℓ) .$

Parábola como lugar geométrico

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Propiedad focal de la parábola: En Física, la ley de reflexión establece que si un rayo de luz

ℓ_{1}

toca una superficie pulida

m

en un punto

Q,

este rayo es reflejado a lo largo de otra recta

ℓ_{2}

de tal manera que si

n

es la recta normal a

m

Q,

el ángulo de incidencia

α

es igual al ángulo de reflexión

β .

Esta ley combina muy bien con la llamada “propiedad focal” de la parábola: La normal a la parábola en cualquier punto

Q

de la parábola forma ángulos iguales con el segmento

FQ

(que corresponde a

ℓ_{1}

) y la recta que pasa por

Q

y es paralela al eje de simetría de la parábola (que corresponde a

ℓ_{2}

Propiedad focal de la Parábola

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Aplicación Las antenas utilizadas preferentemente en las comunicaciones vía satélite son las antenas parabólicas. Las señales que inciden sobre su superficie se reflejan y alimentan el foco de la parábola, donde se encuentra el elemento receptor (también podría ser un elemento emisor). Son antenas parabólicas de foco primario.

Parábola: Directriz, eje, vértice y foco. La recta que pasa por

F

y es perpendicular a

ℓ

se llama “eje” o “eje de simetría”. El punto de la parábola que está sobre este eje transversal se llama vértice y lo denotamos con

V .

Por la definición de la parábola, el vértice está a la misma distancia de la recta

ℓ

y del Foco. Esta distancia la denotamos con

\bar{p}

Figura 1.2:

Ecuación canónica de la parábola.

Si una parábola tiene ecuación $A x^{2} + C y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ , entonces no presenta rotaciones pues $B = 0$ . En este caso decimos que la parábola está en posición estándar: Su eje focal es paralelo al eje $X$ o al eje $Y$ .

Figura 1.3: Parábolas en posición estándar

Si una parábola esta en posición estándar entonces podemos obtener una ecuación canónica o "natural". Esta ecuación importa porque viene con la información relevante de la parábola: Foco, vértice y directriz.

Tenemos dos casos:

1

Si el eje focal es paralelo al eje

X

(directriz paralela al eje

Y

) entonces la ecuación canónica es

{(y - k)}^{2} = 4 p (x - h)

2

Si el eje focal es paralelo al eje

Y

(directriz paralela al eje

X

) entonces la ecuación canónica es

{(x - h)}^{2} = 4 p (y - k)

Parábolas y ecuación canónica

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Eje focal paralelo al eje $X$

Parábola

{(y - k)}^{2} = 4 p (x - h)

Figura 1.4: Parábola con directriz

ℓ : x = h - p,

paralela al eje

Y

Eje focal paralelo al eje

Y

Parábola

{(x - h)}^{2} = 4 p (y - k)

Figura 1.5: Parábola con directriz

ℓ : y = k - p,

paralela al eje

X

Parábola en posición estándar: Directriz paralela al eje

Y

. Si la directriz es paralela al eje

Y

y si

V = (h, k),

entonces hay dos posibilidades: la parábola abre a la izquierda o abre a la derecha.
En el caso de que la parábola abre a la derecha, el foco es

F = (h + \bar{p}, k)

Los puntos $Q = (x, y)$ de la parábola satisfacen $d (Q, F) = d (Q, ℓ),$ es decir,

Figura 1.6: Parábola con directriz paralela al eje

Y

p > 0

$\begin{matrix} \sqrt{{(x - h - \bar{p})}^{2} + {(y - k)}^{2}} & = & x - h + \bar{p} \\ {(x - h - \bar{p})}^{2} + {(y - k)}^{2} & = & {(x - h + \bar{p})}^{2} \end{matrix}$

Como $\bar{p} > 0,$ entonces $x \geq h$ como se espera. Así, si la parábola abre hacia la derecha, su ecuación canónica es

{(y - k)}^{2} = 4 p (x - h) con p > 0 .

En el caso de que la parábola abra a la izquierda, el foco es $F = (h - \bar{p}, k) .$ Los puntos $Q = (x, y)$ de la parábola satisfacen $d (Q, F) = d (Q, L) .$ Procediendo como antes,

\sqrt{{(x - h + \bar{p})}^{2} + {(y - k)}^{2}} = x - h - \bar{p} ⟹ {(y - k)}^{2} = 4 p (x - h) con p = - \bar{p} .

Como $p = - \bar{p},$ el foco es $F = (h + p, k)$ nuevamente.

En ambos casos, la ecuación simplificada es ${(y - k)}^{2} = 4 p (x - h)$ donde $\bar{p} = | p | .$ Con esta notación, si $p > 0,$ la parábola abre a la derecha y si $p < 0,$ la parábola abre a la izquierda. Esta ecuación es llamada ecuación canónica o natural. Esta ecuación es especial pues contiene la información del vértice, el foco y la directriz.

Parábola en posición estándar: Directriz paralela al eje

X

. De manera análoga al caso anterior, si la directriz es paralela al eje

X,

entonces la ecuación canónica de la parábola es

{(x - h)}^{2} = 4 p (y - k)

de tal manera que si $p > 0,$ la parábola abre hacia arriba y si $p < 0,$ la parábola abre hacia abajo.

Propósito: Explorar la parábola como lugar geométrico y relacionar dinámicamente su ecuación canónica con el vértice, el foco, la directriz, el eje focal y el parámetro dirigido $p$ . Este widget permite observar cómo cambian la forma, la posición y la abertura de la parábola al modificar sus elementos geométricos.

1

Arrastre el vértice

V

y observe cómo se traslada toda la parábola. Verifique que la ecuación cambia sustituyendo el centro por la traslación

(h, k)

2

Arrastre el foco

F

. Observe cómo cambia el valor de

p

y cómo se modifica la abertura de la parábola.

3

Cambie el eje focal entre eje paralelo al eje

X

y eje paralelo al eje

Y

. Compare las formas canónicas

{(y - k)}^{2} = 4 p (x - h) y {(x - h)}^{2} = 4 p (y - k) .

4

Active la opción Detalles y observe la directriz, el eje focal y el lado recto. Compruebe visualmente que el vértice está a la misma distancia del foco y de la directriz.

5

Cambie el sentido de la parábola modificando el signo de

p

en el selector correspondiente. Explique cómo se reconoce en la ecuación si la parábola abre hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo.

6

Coloque el vértice en un punto distinto del origen y luego mueva el foco. Escriba la ecuación canónica resultante e identifique los valores de

h

k

p

Ecuación canónica de la parábola

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Ahora vamos a prácticar cómo obtener la ecuación canónica de una parábola a partir de una ecuación general o de algunos datos que se nos presentan.

Ejemplo4Análisis Analítico y Gráfico

Hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es $y^{2} - 6 y - 2 x + 17 = 0 .$ Además realice la gráfica.

Solución.

1: Para hallar la ecuación canónica debemos completar cuadrados en $y$ $\begin{matrix} y^{2} - 6 y - 2 x + 17 & = & 0 \\ {(y + \frac{- 6}{2 \cdot 1})}^{2} - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1} - 2 x + 17 & = & 0 \\ {(y - 3)}^{2} - 9 - 2 x + 17 & = & 0 \\ La forma de la ecuación canónica es & {(y - k)}^{2} = 4 p (x - h) \\ {(y - 3)}^{2} & = & 2 x - 8 \\ {(y - 3)}^{2} & = & 2 (x - 4) \end{matrix}$
2: El vértice es $V = (4, 3)$ y como $4 p = 2 \Rightarrow p = 1 ∕ 2 > 0 .$
3: La parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en $F = (4 + \frac{1}{2}, 3)$ .
4: La directriz es la recta de ecuación $ℓ : x = 4 - \frac{1}{2}$ . La representación gráfica se muestra en la Figura 1.7

Figura 1.7: Parábola ${(y - 3)}^{2} = 2 (x - 4)$

Parábolas: Práctica guiada

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Ejemplo5Determinación de la Ecuación Canónica

Hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en $(- 1, 2)$ y que contiene los puntos $(0, 3)$ y $(0, 1)$ . Indique las características principales y realice su representación gráfica.

Solución.

1

Es conveniente hacer un dibujo y representar los datos. De acuerdo a la Figura 1.8, lo que tenemos es una parábola que abre a la derecha y su ecuación sería

{(y - 2)}^{2} = 4 p (x + 1)

2

Para determinar

p

usamos el hecho de que el punto

(0, 3)

está en la parábola y, por tanto, satisface la ecuación: Sustituyendo

x = 0

y = 3

obtenemos

{(3 - 2)}^{2} = 4 p (0 + 1) ⟹ p = \frac{1}{4}

Figura 1.8: Parábola

3

La ecuación de la parábola es

{(y - 2)}^{2} = (x + 1)

4

Observe que el otro punto

(0, 1)

solo lo usamos para establecer que la parábola abre a la derecha.

5

Características principales:

$∙$

Vértice

(- 1, 2)

$∙$

Foco

(- 1 + \frac{1}{4}, 2)

$∙$

Directriz: La recta vertical de ecuación

x = - 1 - \frac{1}{4}

$∙$

i.: Intersección con el eje $X$ en $x = 3$
ii.: Intersección con el eje $Y$ en $y = 1$ y $y = 3$

Ejemplo6Determinación de la Ecuación Canónica

Hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en $(- 2, 4)$ y foco en $(- 2, 3)$ . Realizar la gráfica.

Solución.

1

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa, el eje de la parábola es vertical

2

La distancia entre el foco y el vértice es

| p | = 1

y como abre hacia abajo,

p = - 1 .

3

Entonces la ecuación canónica es,

{(x + 2)}^{2} = - 4 (y - 4)

4

La directriz es la recta

y = 5

. La representación gráfica se muestra en la Figura 1.9

Figura 1.9: Parábola

3.1Determine la ecuación canónica de las siguientes parábolas,

1

2 x^{2} - 4 x - 2 y - 4 = 0 .

1

Para hallar la ecuación canónica debemos completar cuadrados.

\begin{matrix} 2 x^{2} - 4 x - 2 y - 4 & = & 0 \\ 2 {(x + \frac{- 4}{2 \cdot 2})}^{2} - \frac{4^{2}}{4 \cdot 2} - 2 y - 4 & = & 0 \\ 2 {(x - 1)}^{2} - 2 - 2 y - 4 & = & 0 \\ 2 {(x - 1)}^{2} & = & 2 y + 6 \\ Forma & {(x - h)}^{2} = 4 p (y - k) \\ ∴ {(x - 1)}^{2} & = & (y + 3) \end{matrix}

2

El vértice es

V = (1, - 3)

y como

4 p = 1 \Rightarrow p = 1 ∕ 4 > 0 .

3

La parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en

F = (1, - 3 + \frac{1}{4})

∙

La directriz es la recta de ecuación

ℓ : y = - 3 - \frac{1}{4}

∙

Intersección eje

X :

2 x^{2} - 4 x - 4 = 0 ⟹ x = 1 \pm \sqrt{3}

$∙$ Intersección eje $Y :$ $- 2 y - 4 = 0 ⟹ y = - 2$
$∙$ La representación gráfica se muestra en la Figura 1.10.

Figura 1.10: Parábola

{(x - 1)}^{2} = (y + 3)

2

y = 2 x^{2} - 4 x + 1 .

2 x^{2} - 4 x + 1 = y \Rightarrow 2 {(x - 1)}^{2} = y + 1 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} = \frac{1}{2} (y + 1) .

3

- 9 y^{2} - 8 x - 3 = 0

y^{2} = - \frac{8}{9} (x + \frac{3}{8})

4

y^{2} + 2 y - 4 x = 7

{(y + 1)}^{2} = 4 (x + 2)

5

x^{2} + 2 x - 2 y + 5 = 0

{(x + 1)}^{2} = 2 (y - 2)

6

x^{2} - y + 2 = 0

x^{2} = (y - 2)

3.2 Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en

(1, 3)

y foco en

(2, 3)

El vértice es

(h, k) = (1, 3) .

Por la posición del foco se deduce que el eje es paralelo al eje

X

y la parábola abre hacia la derecha. Entonces la ecuación canónica es

{(y - 3)}^{2} = 4 p (x - 1) .

Como

p = | | (2, 3) - (1, 3) | | = 1,

la ecuación canónica es

{(y - 3)}^{2} = 4 (x - 1) .

3.3 Determine la ecuación canónica de la parábola con eje focal paralelo al eje

X

y que pasa por los puntos

(0, 0), (- 1, 2)

(- 2, - 2)

La ecuación canónica es de la forma

{(y - k)}^{2} = 4 p (x - h) .

Como contiene los tres puntos, entonces

{\begin{matrix} {(0 - k)}^{2} & = & 4 p (0 - h) \\ {(2 - k)}^{2} & = & 4 p (- 1 - h) \\ {(- 2 - k)}^{2} & = & 4 p (- 2 - h) \end{matrix} ⟹ h = \frac{1}{24}, p = - \frac{2}{3} y k = \frac{1}{3}

Por tanto, la parábola es ${(y - \frac{1}{3})}^{2} = 4 \cdot - \frac{2}{3} (x - \frac{1}{24})$

3.4 Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en

(- 1, 1)

y directriz

y = 0

Como

(h, k) = (- 1, 1)

p = 1,

entonces

{(x + 1)}^{2} = 4 (y - 1) .

3.5 Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en

(3, 4)

y directriz

x = 7

La ecuación es

{(y - k)}^{2} = 4 p (x - h)

y abre a la izquierda. El vértice es

(h, k) = (5, 4)

p = - 2 .

Entonces la ecuación canónica es

{(y - 4)}^{2} = - 8 (x - 5) .

3.6 Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en

(2, 3),

eje focal paralelo al eje

Y

y que pasa por el punto

(4, 5) .

{(x - 2)}^{2} = 2 (y - 3) .

3.7 Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola (o las parábolas) que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones:

1.: vértice en $(2, 0)$ ,
2.: contiene al punto $P = (8, b)$ con $b > 0,$
3.: la distancia de $P$ a la directriz es 10,
4.: eje de simetría paralelo al eje $Y .$

De acuerdo a d.) la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. Por la posición del vértice y el punto

(8, b),

solo podría abrir hacia arriba. El vértice es

(h, k) = (2, 0)

por lo que lo que la ecuación de la parábola es

{(x - 2)}^{2} = 4 p (y - 0); p > 0 .

La directriz es $y = k - p = - p .$ Para determinar $p$ y $b$ tenemos dos datos

$∙$: La distancia de $(8, b)$ a la directriz es $10,$ es decir $b + p = 10$
$∙$: El punto $(8, b)$ está en la parábola, es decir, ${(8 - 2)}^{2} = 4 p (b)$

\begin{array}{rcl} b & = & 10 - p \\ 36 & = & 4 pb ⟹ 36 = 4 p (10 - p) ⟹ 36 - 40 p + 4 p^{2} = 0 \end{array}

Con lo que $p = 1$ o $p = 9 .$ Por lo tanto, las parábolas que cumplen estas condiciones son ${(x - 2)}^{2} = 4 y$ (cuando $b = 1$ ) o ${(x - 2)}^{2} = 36 y$ (cuando $b = 9$ ). Ambas parábolas se muestran en la figura que sigue.

3.8Determine la ecuación canónica y realice la representación gráfica (incluye foco e intersecciones con los ejes) de la parábola con vértice está en

(5, - 2)

y cuya directriz es la recta de ecuación

x = \frac{47}{9}

{(y + 2)}^{2} = 4 \cdot - \frac{2}{9} (x - 5)

3.9 Hay tres parábolas que satisfacen simultáneamente las condiciones que siguen. Determine la ecuación canónica de cada una de estas parábolas y el valor de

b

en cada caso.

1.: Vértice en $(2, 0),$
2.: contiene al punto $P = (b, 8)$ con $b > 2,$
3.: la distancia de $P$ a la directriz es 10.

El vértice es

(h, k) = (2, 0) .

Como

b > 2,

la parábola solo podría abrir hacia arriba o hacia la derecha.

$∙$

Si abre hacia arriba, la ecuación canónica es

{(x - 2)}^{2} = 4 py .

En este caso, como

8 + p = 10 ⟹ p = 2

y entonces

b = 10 .

En este caso tenemos la pará]bola

{(x - 2)}^{2} = 8 y .

$∙$

Si abre hacia la derecha, la ecuación canónica es

y^{2} = 4 p (x - 2) .

En este caso, como la directriz tiene ecuación

x = 2 - p,

tenemos

${\begin{matrix} b - (2 - p) & = & 10 \\ 64 & = & 4 p (b - 2) \end{matrix} ⟹ p = 8; b = 4 o p = 2; b = 10 .$

Las tres parábolas son ${(x - 2)}^{2} = 8 y;$ $y^{2} = 32 (x - 2)$ y $y^{2} = 8 (x - 2) .$

3.10En la definición de la parábola como un lugar geométrico se indica que el foco no está en la directriz. ¿Qué pasa si el foco está en la directriz?

Si el foco está en la directriz tendríamos una recta (una cónica degenerada).

3.11Verificar que el vértice de la parábola

y = a x^{2} + bx + c

es el punto

(- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a}) .

Completando cuadrados obtenemos

\begin{array}{rcl} a x^{2} + b x + c - y & = & a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c - y \\ = & a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a} - y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a} - y si Δ = b^{2} - 4 a c . \end{array}

Entonces, $a x^{2} + b x + c - y = 0 ⟹ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{1}{a} (y + \frac{Δ}{4 a})$ y el vértice es $(- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a}) .$

3.12 Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos

Q

del plano

XY

tales que equidistan del punto

(2, 3)

y de la recta de ecuación

x = 4

Se trata de una parábola con foco en

(2, 3)

y directriz con ecuación

x = 4 .

Por lo tanto, la parábola tiene vértice en

(3, 3)

y abre hacia la izquierda. Su ecuación es

{(y - 3)}^{2} = - 4 (x - 3)