Planos

5. Planos

5..1 Ecuación vectorial del plano

Un plano $Π$ está determinado por tres puntos $P, Q, R \in ℝ^{3},$ no colineales. Dos vectores, por ejemplo, $v = PQ$ y $w = PR,$ "generan el plano" en el sentido que si $(x, y, z) \in Π,$ entonces

Π : (x, y, z) = P + t v + s w; t, s \in ℝ

En realidad, deberíamos escribir

Π (t, s) = (x (t, s), y (t, s), z (t, s)) = P + t v + s w; t, s \in ℝ

Fig. 1.63:

P, Q, R \in Π

Fig. 1.64:

Π : (x, y, z) = P + t v + s w, t, s \in ℝ

Definición 12 — Ecuación vectorial del plano.

Sean $P, Q, R$ tres puntos no colineales de un plano $Π .$ Sean $v = PQ$ y $w = PR .$

1

Una ecuación vectorial del plano es

Π (t, s) = P + t v + s w o también Π : (x, y, z) = P + t v + s w; t, s \in ℝ

Al conjunto ${u, v}$ le llamamos "conjunto generador" o "base" del plano.

2

{u, v}

es ortormal, es decir, ambos vectores son ortogonales y unitarios, entonces tenemos una "base ortormal" del plano.

(0, 0, 0) \in Π,

entonces "

Π

pasa por el origen"

Puntos no colineales. Cuando una ecuación del plano requiere tres puntos no colineales, podemos usar la prueba del determinante : Los tres puntos

P = (p_{1}, p_{2}, p_{3}), Q = (q_{1}, q_{2}, q_{3})

R = (r_{1}, r_{2}, r_{3}) \in ℝ^{3}

son no colineales si

| \begin{matrix} p_{1} & p_{2} & p_{3} \\ q_{1} & q_{2} & q_{3} \\ r_{1} & r_{2} & r_{3} \end{matrix} | \neq 0

Ejemplo39

Determine una ecuación vectorial del plano

Π_{1}

que contiene los puntos

P = (0, 0, 0),

$Q = (0, - 1, 0)$ y

$R = (1, 1, 1) .$

Fig. 1.65:

Solución.

$v = Q - P = (0, - 1, 0)$

$w = R - P = (1, 1, 1)$

Una ecuación vectorial es $Π_{1} (s, t) = t (0, - 1, 0) + s (1, 1, 1); t, s \in ℝ$

5..2 Ecuación normal y ecuación cartesiana.

Definición 13 — Un vector normal al plano.

Un vector $n$ es normal ("perpendicular") al plano $Π$ si $n \neq 0$ y $n \cdot (P - Q) = 0,$ para todo $P, Q \in Π,$ $P \neq Q .$

Un plano

Π

se puede determinar con solo conocer un punto

P \in Π

y un vector normal

n

al plano.

P, Q \in Π

entonces el segmento

PQ

esta en el plano, por lo que

n ⊥ PQ .

De esta manera,

(x, y, z) \in Π ⟺ n \cdot (P - (x, y, z)) = 0,

es decir, $n \cdot (x, y, z) = n \cdot P$

Fig. 1.66:

n ⊥ Π

Desarrollando la ecuación normal, obtenemos una ecuación cartesiana del plano $Π .$
Si $n = (a, b, c),$ entonces

(a, b, c) \cdot (x, y, z) = n \cdot P ⟹ a x + b y + c z = d con d = n \cdot P

Definición 14 — Ecuación normal. Ecuación cartesiana.

Sea $Π$ un plano en $R^{3}$

1

Si el plano

Π

contiene a

P

n

es un vector normal, una ecuación normal del plano es

Π : n \cdot [(x, y, z) - P] = 0

2

Si el plano

Π

contiene a

P

n = (a, b, c)

es un vector normal, una ecuación cartesiana del plano es

Π

a x + b y + c z = d, con d = n \cdot P

Ejemplo40

Consideremos los planos de ecuación

Π_{1} : 1 / 2 x + 1 / 2 y + 2 z = 0

$Π_{2} : 1 / 2 x + 1 / 2 y + 2 z = 6 .$

El vector $n = (1 / 2, 1 / 2, 2)$ es un vector normal a ambos planos.

$Π_{1}$ pasa por el origen

$Π_{2}$ es una traslación de $Π_{1} .$

Ambos planos son paralelos

Fig. 1.67:

Ejemplo41(Cálculos manuales, usando "factorización")

Obtenga una ecuación vectorial del plano $Π : x - 3 y - 2 z = 2$

Solución. Podemos "factorizar" cada variable $x,$ $y$ y $z .$

Como $z = \frac{2 - x + 3 y}{- 2},$ los puntos del plano $Π$ son de la forma $(x, y, \frac{2 - x + 3 y}{- 2}) .$

Factorizamos

\begin{matrix} (x, y, \frac{2 - x + 3 y}{- 2}) & = & (x, y, - 1 + \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2}) \\ = & (- 1, 0, 0) + x (1, 0, \frac{1}{2}) + y (0, 1, - \frac{3}{2}, 0) \end{matrix}

Entonces una ecuación vectorial es

Π (t, s) = (- 1, 0, 0) + t (1, 0, \frac{1}{2}) + s (0, 1, - \frac{3}{2}, 0), t, s \in ℝ

Vector normal y ecuación de un plano

Además del método de "factorización", hay otras fórmulas para hacer conversiones entre una ecuación cartesiana y una ecuación vectorial de un plano.

1

Sea

Π

un plano que pasa por

P

y con vector normal

n .

n = u \times v,

entonces una ecuación vectorial del plano

Π

Π (t, s) = P + t u + s v, t, s \in ℝ

2

Sea

Π

con ecuación cartesiana

ax + by + cz = d .

Sea

P = \frac{d \cdot n}{| | n | |^{2}}

con

n = (a, b, c) .

Entonces,

a

c \neq 0 ⟹ (a, b, c) = (0, 1, - b ∕ c) \times (- c, 0, a)

, y por tanto

Π (t, s) = P + t (0, 1, - b ∕ c) + s (- c, 0, a), t, s \in ℝ

(1.7)

o también

Π (t, s) = P + t (0, c, - b) + s (- c, 0, a), t, s \in ℝ

(1.8)

b

c = 0 ⟹ (a, b, 0) = (0, 0, 1) \times (b, - a, 0)

, y por tanto

Π (t, s) = P + t (0, 0, 1) + s (b, - a, 0), t, s \in ℝ

(1.9)

3

Si tenemos una ecuación vectorial

Π (t, s) = P + t u + s v, s, t \in ℝ,

entonces una ecuación cartesiana es

Π : ax + by + cz = d con (a, b, c) = n = u \times v y d = n \cdot P

(1.10)

Ejemplo42

Determinar una ecuación normal del plano que contiene los puntos $P = (1, 1, - 4)$ , $Q = (2, - 2, 3)$ y $R = (- 3, 1, 4)$ .

Solución.

Los puntos son no colineales. Para obtener una ecuación normal del plano es necesario hallar un vector normal a este, es decir un vector perpendicular a dicho plano.

Supongamos que $n = (a, b, c)$ es el vector normal. Los segmentos $PQ$ y $PR$ son segmentos en el plano, entonces el vector normal es perpendicular a los vectores $PQ$ y $PR$ , así

PQ \cdot n = 0 y PR \cdot n = 0

Entonces

\begin{matrix} PQ & = & (2, - 2, 3) - (1, 1, - 4) = (1, - 3, 7) \\ PQ \cdot n & = & 0 ⟹ (1, - 3, 7) \cdot (a, b, c) = 0 ⟹ a - 3 b + 7 c = 0 \end{matrix}

Luego,

$\begin{matrix} PR & = & (- 3, 1, 4) - (1, 1, - 4) = (- 4, 0, 8) \end{matrix}$

Resolviendo este sistema de ecuaciones se llega a que

a = 2 c

b = 3 c

donde

c

se puede elegir libremente.

Entonces $(a, b, c) = (2 c, 3 c, c) = c (2, 3, 1), c \in ℝ$ . Así, una ecuación normal del plano es

\begin{matrix} [(x, y, z) - (1, 1, - 4)] \cdot (2, 3, 1) & = & 0 \\ La ecuación cartesiana se obtiene así: \\ (x - 1, y - 1, z + 4) \cdot (2, 3, 1) & = & 0 \\ 2 x + 3 y + z & = & 1 \end{matrix}

Ejemplo43

Determine una ecuación normal del plano que contiene a los puntos $A = (1, 2, 3)$ , $B = (- 3, - 1, 0)$ y $C = (2, - 2, 3) .$

Solución.

Los puntos son no colineales. Para resolver el problema es posible tomar cualquier combinación de vectores no paralelos, pero por facilidad se recomienda que los mismos tenga un punto de origen en común.

Entonces $u = AB$ y $v = AC,$ así un vector normal $n$ para el plano buscado es dado por $u \times v$ . Resolvemos

\begin{array}{rcl} u & = & AB = (- 3, - 1, 0) - (1, 2, 3) = (- 4, - 3, - 3) \\ v & = & AC = (2, - 2, 3) - (1, 2, 3) = (1, - 4, 0) \end{array}

Esto implica que

n = u \times v = | \begin{matrix} i & j & k \\ - 4 & - 3 & - 3 \\ 1 & - 4 & 0 \end{matrix} | = - 12 i - 3 j + 19 k = (- 12, - 3, 19)

Como los puntos $A, B$ y $C$ están contenidos en el plano, se puede tomar cualquiera de ellos, para esto considere el punto $A$ . El plano está formado por todos los puntos $X = (x, y, z)$ que cumplen

\begin{array}{rcl} AX \cdot n = 0 & ⟹ & ((x, y, z) - (1, 2, 3)) \cdot (- 12, - 3, 19) = 0 \\ ⟹ & (x - 1, y - 2, z - 3) \cdot (- 12, - 3, 19) = 0 \\ ⟹ & - 12 x - 3 y + 19 z - 39 = 0 \end{array}

Una ecuación cartesiana del plano es $- 12 x - 3 y + 19 z - 39 = 0$

Ejemplo44

Sea

Π : x - 3 y - 2 z = 2,

entonces usando la Ecuación 1.7
Como

c = - 2 \neq 0,

$n = (1, - 3, - 2)$ y $P = \frac{d \cdot n}{| | n | |^{2}} = (1 / 7, - 3 / 7, - 2 / 7)$

Entonces

$u = (0, - 2, 3)$

$v = (2, 0, 1)$

Fig. 1.68:

∴ Π (t, s) = (1 / 7, - 3 / 7, - 2 / 7) + t (0, - 2, 3) + s (2, 0, 1), t, s, \in ℝ

Ejemplo45

Obtenga una ecuación vectorial en cada caso.

1: $Π_{1} : x - 3 y - 2 z = 2$
2: $Π_{3} : 2 y = 6$

Solución.

1

Un vector normal para el plano

Π_{1} : x - 3 y - 2 z = 2

n_{1} = (1, - 3, - 2) .

a

Usando la Ecuación (1.8), como

n = (1, - 3, - 2)

podemos tomar

u = (0, 2, 3), v = (2, 0, 1) .

b

Un punto

P \in Π_{1}

puede ser

P = \frac{d \cdot n_{1}}{| | n_{1} | |^{2}} = (1 / 7, - 3 / 7, - 2 / 7)

Π_{1} (t, s) = (1 / 7, - 3 / 7, - 2 / 7) + t (0, - 2, 3) + s (2, 0, 1), t, s \in ℝ

2

Un vector normal para el plano

Π_{3} : 2 y = 6

n_{3} = (0, 2, 0) .

a

Como

c = 0,

entonces usamos (1.9); podemos tomar

u = (0, 0, 1), v = (2, 0, 0)

b

Un punto

P \in Π_{3}

puede ser

P = \frac{d \cdot n_{3}}{| | n_{3} | |^{2}} = (0, 3, 0)

Π_{3} (t, s) = (0, 3, 0) + t (0, 0, 1) + s (2, 0, 0), t, s \in ℝ

Ejemplo46

Determinar una ecuación cartesiana del plano

Π (t, s) = (1, 1, 0) + t (2, 2, 1) + s (- 2, 4, 1), t, s \in ℝ

Solución. Usamos (1.10), tomamos $n = (2, 2, 1) \times (- 2, 4, 1) = (- 2, - 4, 12)$ y como $P = (1, 1, 0),$ entonces $d = n \cdot P = - 6 .$

Π : - 2 x - 4 y + 12 z = - 6

5..3 Ángulo, paralelismo y perpendicularidad.

Es natural e intuitivo tomar como el ángulo entre dos planos, el ángulo entre un par de vectores normales a cada plano. Y ya con el ángulo, podemos definir paralelismo y perpendicularidad entre planos.

Consideremos el plano $Π_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1}$ y el plano $Π_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} .$ Un vector normal al plano $Π_{1}$ es $n_{1} = (a_{1}, b_{1}, c_{1})$ y un vector normal al plano $Π_{2}$ es $n_{2} = (a_{2}, b_{2}, c_{2}) .$ El ángulo entre los planos es $𝜃 = ∠ n_{1}, n_{2} .$

Los planos son paralelos si

n_{1} \times n_{2} = 0,

pues

n_{1} \times n_{2} = | | n_{1} | | | | n_{2} | | sen 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = 0 o π .

Los planos son perpendiculares si

n_{1} \cdot n_{2} = 0

pues

n_{1} \cdot n_{2} = | | n_{1} | | | | n_{2} | | cos 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = π / 2 .

Fig. 1.69:

n_{1} \cdot n_{2} = 0

Fig. 1.70:

∠ Π_{1}, Π_{2}

Fig. 1.71:

n_{1} \times n_{2} = 0

Sean

Π_{1}

Π_{2}

planos con vectores normales

n_{1}

n_{2}

, respectivamente.

1: $Π_{1} ∥ Π_{2}$ si $n_{1} \times n_{2} = 0$
2: $Π_{1} ⊥ Π_{2}$ si $n_{1} \cdot n_{2} = 0$
3: $∠ Π_{1}, Π_{2} = ∠ n_{1}, n_{2} .$
4: Los planos $Π_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = 0$ y $Π_{2} : P + a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1}$ son paralelos pues $n_{1} = n_{2} .$ El plano $Π_{1}$ pasa por el origen.
5: Los planos $Π_{1} : t v + s w$ y $Π_{2} : P + t v + s w$ son paralelos pues podemos tomar $n_{1} = n_{2} = v \times w$
6: Si $(a, b, c) \neq 0$ y $(a, b, c) = u \times v,$ entonces los planos $Π_{1} : ax + by + cz = d$ y $Π_{2} : P + t v + s w$ son paralelos.

Ejemplo47

Determine una ecuación vectorial del plano $Π_{1}$ que pasa por $P = (0, 1, - 2)$ y es paralelo al plano $Π_{2} : x - y + z = 2 .$

Solución.

1

Primera manera.

De la Ecuación (1.8), sabemos que si $c \neq 0 ⟹ (a, b, c) = (0, 1, - b ∕ c) \times (- c, 0, a)$ . Entonces,

a: $n = (1, - 1, 1) = (0, 1, 1) \times (- 1, 0, 1)$
b: $Π_{1} (t, s) = P + t (0, 1, 1) + s (- 1, 0, 1), t, s \in ℝ$

2

Otra manera: "factorizando": Como ambos planos son paralelos, si

Π_{2} (t, s) = Q + t v + s w

entonces

Π_{1} (t, s) = P + t v + s w .

Descomponemos la ecuación cartesiana de

Π_{2}

usando el hecho de que

z = 2 - x + y,

$\begin{matrix} (x, y, z) & = & (x, y, 2 - x + y) \\ = & (0, 0, 2) + x (1, 0, - 1) + y (0, 1, 1) \end{matrix}$

\begin{matrix} Π_{2} (t, s) = (0, 0, 2) + t (1, 0, - 1) + s (0, 1, 1) \\ ⟹ Π_{1} (t, s) = (0, 1, - 2) + t (1, 0, - 1) + s (0, 1, 1), t, s \in ℝ \end{matrix}

Las dos maneras de proceder nos dan una ecuación vectorial del plano $Π_{1} .$ Recordemos que esta ecuación no es única!

Ejemplo48

Determine una ecuación cartesiana del plano $Π$ que contiene los puntos

P = (0, 0, 0), Q = (- 1, 2, 1)

R = (1, 1, 1) .

Estos puntos no son colineales.

Fig. 1.72:

Π : 1 x + 2 y - 3 z = 0

Solución. Si $w = PQ = (- 1, 2, 1)$ y $v = PR = (1, 1, 1),$ podemos tomar como vector normal

$n = v \times w = \begin{matrix} i & j & k & i & j \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & 1 & - 1 & 2 \end{matrix} = (1, 2, - 3)$

Entonces,

Π : 1 x + 2 y - 3 z = 0 pues n \cdot P = 0

También podría ser $n = w \times v = (- 1, - 2, 3)$ y entonces $Π : - x - 2 y + 3 z = 0$ . Las ecuaciones son equivalentes (multiplicando por $- 1$ a ambos lados).

5..4 Intersección entre planos.

Sean los planos $Π_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1},$ $Π_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2}$ y $Π_{3} : a_{3} x + b_{3} y + c_{1} z = d_{3},$ entonces determinar la intersección de dos o tres planos requiere resolver un sistema:

$Π_{1} \cap Π_{2}$		$Π_{1} \cap Π_{2} \cap Π_{3}$


${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z & = & d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z & = & d_{2} \end{matrix}$		${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z & = & d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z & = & d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{1} z & = & d_{3} \end{matrix}$

La intersección es no vacía si el sistema respectivo tiene solución. Si

Π_{1}

Π_{2}

no son paralelos, la intersección es una recta. Si

Π_{1},

Π_{2}

Π_{3}

no son paralelos (dos a dos), entonces la itersección es un punto o una recta.

Ejemplo49

Sean $Π_{1} : x + z = 3,$ $Π_{2} : x + y + z = 1$ y $Π_{3} : z = 3 .$

1: Determine, si hubiera, la intersección entre $Π_{1}$ y $Π_{2}$
2: Determine, si hubiera, la intersección entre $Π_{1}, Π_{2}$ y $Π_{3}$

Solución. Tenemos que resolver dos sistemas.

1

Π_{1} \cap Π_{2}

{\begin{matrix} x + z & = & 3 ⟹ z = 3 - x \\ x + y + z & = & 1 ⟹ x + y + 3 - x = 1 \end{matrix}

∴ {\begin{matrix} z & = & 3 - x \\ y & = & - 2 \end{matrix}

Por tanto, los puntos de la recta de intersección

L

son de la forma

(x, - 2, 3 - x) = (0, - 2, 3) + x (1, 0, - 1),

es decir,

L (t) = (0, - 2, 3) + t (1, - 2, - 1), t \in ℝ

Fig. 1.73:

2

Π_{1} \cap Π_{2} \cap Π_{3}

{\begin{matrix} x + y + z & = & 1 ⟹ y = - 2 \\ x + z & = & 3 ⟹ x = 0 \\ z & = & 3 \end{matrix}

∴ Punto de intersección I = (0, - 2, 3)

Fig. 1.74:

Una fórmula computacional para calcular la intersección de dos planos. Para efectos computacionales, en vez de resolver un sistema y manipular una solución con parámetros, podemos usar una fórmula directa para determinar si hay intersección entre dos planos y, en caso afirmativo, obtener una ecuación de la línea de intersección.

Fig. 1.75:

L (t) = P + t (n_{1} \times n_{2})

Fig. 1.76:

Q = a_{1} n_{1} + a_{2} n_{2} + t (n_{1} \times n_{2})

Sean

Π_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1}

Π_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2}

planos no paralelos, es decir,

n_{1} \times n_{2} \neq 0,

con

n_{1} = (a_{1}, b_{1}, c_{1})

n_{2} = (a_{2}, b_{2}, c_{2}) .

Entonces estos planos se intersecan en una recta

L .

Como esta recta está en ambos planos,

n_{1}

n_{2}

son perpendiculares a

L,

es decir, la recta va en la dirección de

n_{1} \times n_{2}

Cualquier punto de la recta se puede expresar como una combinación lineal de los vectores $n_{1},$ $n_{2}$ y $n_{1} \times n_{2},$ es decir, para todo $Q \in L$ se tiene $Q = a_{1} n_{1} + a_{2} n_{2} + t (n_{1} \times n_{2}) .$ En particular $P = a_{1} n_{1} + a_{2} n_{2}$ está en la recta (Fig. 1.76). Como $L$ va en la dirección de $n_{1} \times n_{2},$ entonces $a_{1}$ y $a_{2}$ son fijos.

Deducción de la fórmula. La recta de intersección

L

va en dirección de

n_{1} \times n_{2},

solo nos hace falta obtener un punto

P \in L .

Para calcular $P$ solo necesitamos obtener $a_{1}$ y $a_{2}$ pues $P = a_{1} n_{1} + a_{2} n_{2} .$ Como $P$ está en ambos planos $Π_{1}$ y $Π_{2},$ entonces $P$ se obtiene resolviendo el sistema

{\begin{matrix} n_{1} \cdot P & = & d_{1} \\ n_{2} \cdot P & = & d_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} {\begin{matrix} n_{1} \cdot P & = & d_{1} \\ n_{2} \cdot P & = & d_{2} \end{matrix} & ⟹ & {\begin{matrix} n_{1} \cdot (a_{1} n_{1} + a_{2} n_{2}) & = & d_{1} \\ n_{2} \cdot (a_{1} n_{1} + a_{2} n_{2}) & = & d_{2} \end{matrix} \\ ⟹ & {\begin{matrix} a_{1} n_{1} \cdot n_{1} + a_{2} n_{1} \cdot n_{2} & = & d_{1} \\ a_{1} n_{2} \cdot n_{1} + a_{2} n_{2} \cdot n_{2} & = & d_{2} \end{matrix} \\ ⟹ & {\begin{matrix} a_{1} | | n_{1} | |^{2} + a_{2} n_{1} \cdot n_{2} & = & d_{1} \\ a_{1} n_{1} \cdot n_{2} + a_{2} | | n_{2} | |^{2} & = & d_{2} \end{matrix} \\ Aplicamos la regla de Cramer y la identidad de Lagrange, \\ ⟹ & {\begin{matrix} a_{1} & = & \frac{d_{2} n_{1} \cdot n_{2} - d_{1} | | n_{2} | |^{2}}{{(n_{1} \cdot n_{2})}^{2} - | | n_{1} | |^{2} | | n_{2} | |^{2}} = \frac{d_{1} | | n_{2} | |^{2} - d_{2} n_{1} \cdot n_{2}}{| | n_{1} \times n_{2} | |^{2}} \\ a_{2} & = & \frac{d_{1} n_{1} \cdot n_{2} - d_{2} | | n_{1} | |^{2}}{{(n_{1} \cdot n_{2})}^{2} - | | n_{1} | |^{2} | | n_{2} | |^{2}} = \frac{d_{2} | | n_{1} | |^{2} - d_{1} n_{1} \cdot n_{2}}{| | n_{1} \times n_{2} | |^{2}} \end{matrix} \end{matrix}

Entonces una ecuación vectorial de la recta

L

L (t) = a_{1} n_{1} + a_{2} n_{2} + t \cdot (n_{1} \times n_{2}), t \in ℝ .

Π_{1}

Π_{2}

pasan por el origen,

L (t) = t \cdot (n_{1} \times n_{2}), t \in ℝ

Ecuación vectorial de la recta de intersección entre dos planos

Sean

Π_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1}

Π_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2}

planos no paralelos, es decir,

n_{1} \times n_{2} \neq 0,

con

n_{1} = (a_{1}, b_{1}, c_{1})

n_{2} = (a_{2}, b_{2}, c_{2}) .

La recta de intersección $L$ tiene ecuación vectorial

$L (t) = a_{1} n_{1} + a_{2} n_{2} + t \cdot (n_{1} \times n_{2})$ con ${\begin{matrix} a_{1} & = & \frac{d_{1} | | n_{2} | |^{2} - d_{2} n_{1} \cdot n_{2}}{| | n_{1} \times n_{2} | |^{2}} \\ a_{2} & = & \frac{d_{2} | | n_{1} | |^{2} - d_{1} n_{1} \cdot n_{2}}{| | n_{1} \times n_{2} | |^{2}} \end{matrix}$

Ejemplo50(Intersección usando una fórmula).

Sean $Π_{1} : x + z = 3,$ $Π_{2} : x + y + z = 1 .$ Determinar una ecuación vectorial de la recta de intersección entre $Π_{1}$ y $Π_{2} .$

Solución. Los ingredientes son

1: $n_{1} = (1, 0, 1)$
2: $n_{2} = (- 1, 0, 1)$
3: $n_{1} \times n_{2} = (- 1, 0, 1)$
4: $| | n_{1} \times n_{2} | |^{2} = 2$
5: $| | n_{1} | |^{2} = 2$
6: $| | n_{2} | |^{2} = 3$
7: $n_{1} \cdot n_{2} = 2$
8: $d_{1} = 3$
9: $d_{2} = 1$

Por tanto

{\begin{matrix} a_{1} = \frac{3 \cdot 3 - 1 \cdot 2}{2} = \frac{7}{2} \\ a_{2} = \frac{1 \cdot 2 - 3 \cdot 2}{2} = - 2 \end{matrix} ⟹ P = 7 / 2 n_{1} - 2 n_{2} = (\frac{3}{2}, - 2, \frac{3}{2})

∴ L (t) = 7 / 2 n_{1} - 2 n_{2} + t (n_{1} \times n_{2}) = (\frac{3}{2}, - 2, \frac{3}{2}) + t (- 1, 0, 1), t \in ℝ

Distancia mínima de un punto a un plano.

Sea $Π$ un plano de ecuación $a x + b y + c z = d .$ Un vector normal al plano es $n = (a, b, c)$ . Si $P \in Π,$ $n \cdot P = d .$ La distancia mínima de un punto $Q$ a este plano $Π$ se denota $d (Q, Π)$ y es la longitud del segmento perpendicular al plano que va desde $Q$ hasta el plano.

Fig. 1.77:

d (Q, Π)

Fig. 1.78:

d (Q, Π) = d (Q, Q^{'})

Usando proyecciones tenemos

$\begin{matrix} d (Q, Π) = ‖ {proy}_{n}^{PQ} ‖ & = & ‖ \frac{(Q - P) \cdot n}{| | n | |^{2}} n ‖ \\ = & \frac{| (Q - P) \cdot n |}{| | n | |^{2}} | | n | | \\ = & \frac{| (Q - P) \cdot n |}{| | n | |} \\ = & \frac{| Q \cdot n - d |}{| | n | |} pues n \cdot P = d \end{matrix}$

Para calcular $Q^{'} \in Π,$ observe que

$\begin{matrix} Q - Q^{'} & = & {proy}_{n}^{PQ} \\ Q^{'} & = & Q - \frac{(Q - P) \cdot n}{| | n | |^{2}} n \end{matrix}$

Teorema 9.

1: La distancia del punto $Q$ al plano $Π : ax + by + cz = d$ es $d (Q, Π) = \frac{| Q \cdot n - d |}{| | n | |}$
2: La distancia mínima de $Q$ a $Π$ se alcanza en $Q^{'} = Q + \frac{d - n \cdot Q}{| | n | |^{2}} n \in Π .$ Es decir, $d (Q, Π) = d (Q, Q^{'})$

Corolario 1.

Sea $Π : ax + by + cz = d$ y $n = (a, b, c) .$

1: Si $Q = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ entonces $d (Q, Π) = \frac{| a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} - d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$
2: La distancia del plano $Π$ al origen es $d (0, Π) = \frac{d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}},$
3: La mínima distancia del plano al origen se alcanza en $Q^{'} = \frac{d}{| | n | |^{2}} n \in Π$
4: $Q \in Π$ si y solo si $d (Q, Π) = 0$

Ejemplo51

1

La distancia mínima del plano

Π : y + 5 / 2 z = 5

al punto

Q = (1, 1, 0)

d (Q, Π) = \frac{| (1, 1, 0) \cdot (0, 1, 5 / 2) - 5 |}{| | (0, 1, 5 / 2) | |} = \frac{8}{\sqrt{29}}

2

La distancia mínima se alcanza en

$Q^{'} = (1, \frac{45}{29}, \frac{40}{29}) \in Π$

Fig. 1.79:

5..5 Distancia entre planos.

Si dos planos

Π_{1}

Π_{2}

son paralelos, entonces la mínima distancia entre estos planos se calcula como

d (Π_{1}, Π_{2}) = d (Π_{1}, Q)

donde

Q \in Π_{2} .

El punto

Q

es cualquier punto del plano

Π_{2} .

Si los planos no son paralelos, se intersecan y por tanto la mínima distancia es cero.

Fig. 1.80:

d (Π_{1}, Π_{2}) = d (Π_{1}, Q)

Ejemplo52

Calcule la distancia entre los planos $Π_{1}$ y $Π_{2}$ y entre $Π_{1}$ y $Π_{3}$

Solución.

1: $Π_{1} : 2 x - y = 1,$
2: $Π_{2} (t, s) = (- 1, 2, 0) + t (0, 0, 1) + s (2, 4, 0), t, s \in ℝ$
3: $Π_{3}$ con ecuación normal $(2, 1, 2) \cdot (x, y, z) = 4 .$

Solución.

1

Un vector normal a

Π_{2}

n_{2} = (0, 0, 1) \times (2, 4, 0) = (- 2 / 5, 1 / 5, 0) .

Un vector normal a

Π_{1}

n_{1} = (2, - 1, 0) .

Entonces

Π_{1}

Π_{2}

son paralelos

n_{2} = - 1 / 5 n_{1}

. Entonces

d (Π_{1}, Π_{2}) = d (Π_{1}, Q)

con

Q \in Π_{2} .

Como

Q = (- 1, 2, 0) \in Π_{2}

d (Π_{1}, Π_{2}) = d (Π_{1}, Q) = \frac{| Q \cdot n_{1} - d |}{| | n_{1} | |} = \sqrt{5}

2

n_{3} = (2, 1, 0)

es un vector normal de

Π_{3} .

Entonces

Π_{1}

Π_{3}

no son paralelos pues

n_{1} \times n_{3} = (- 2, - 4, 4) \neq 0 .

Por tanto

d (Π_{1}, Π_{2}) = 0

5..6 Proyección ortogonal de un vector sobre un plano.

La proyección de un vector

u

sobre un vector

w

se puede extender al caso de un vector y un plano.
Sea

u \in ℝ^{3},

la proyección ortogonal de

u

sobre el plano

Π_{0}

es el único vector

{proy}_{Π_{0}}^{u} \in ℝ^{3}

que cumple las dos condiciones siguientes,

a: $(u - {proy}_{Π_{0}}^{u}) ⊥ QR, \forall Q, R \in Π_{0}$
b: $| | u - {proy}_{Π_{0}}^{u} | | \leq | | u - OQ | |, \forall Q \in Π_{0}$

Fig. 1.81:

{proy}_{Π_{0}}^{u}

La Fig. 1.81 sugiere que

{proy}_{Π_{0}}^{u}

= u - \frac{u \cdot n}{| | n | |^{2}} n

, lo cual es correcto.

Sea $Π_{0} (t, s) = P + t v + s w$ con ${v, w}$ ortonormal. Si $n$ es unitario y normal al plano $Π_{1},$ entonces ${v, w, n}$ es una base ort ormaal de $ℝ^{3},$ entonces de acuerdo con las fórmulas para las coordenadas que establecimos en la Subsección 5..??, $u = (u \cdot v) v + (u \cdot w) w + (u \cdot n) \cdot n .$ De nuevo, la Fig. 1.81 sugiere un resultado correcto: ${proy}_{Π_{0}}^{u}$ $= u - (u \cdot n) n = (u \cdot v) v + (u \cdot w) w$

El vector $u - {proy}_{Π_{0}}^{u}$ se le llama componente de $u$ ortogonal a $Π_{0}$ .

Proyección ortogonal sobre un plano.

1

Π_{0} : ax + by + cz = d,

entonces

n = (a, b, c)

y tenemos

{proy}_{Π_{0}}^{u}

= u - \frac{u \cdot n}{| | n | |^{2}} n

2

{v, w}

es ort ormaal y

Π_{0} (t, s) = P + t v + s w,

entonces

{proy}_{Π_{0}}^{u}

= (u \cdot v) v + (u \cdot w) w

3

En general, si

{v_{1}, v_{2}, . . ., v_{k}}

es un conjunto ortonormal en

ℝ^{n}

u \in ℝ^{n},

entonces

u = (v_{1} \cdot u) v_{1} + (v_{2} \cdot u) v_{2} + . . . + (v_{k} \cdot u) v_{k}

Ejemplo53

Sea $u = (2, 3, 1)$ y $Π_{0} : x + y + 2 z = 0 .$ Calcular la proyección del vector $u$ sobre el plano $Π .$

Solución. Tenemos $u = (2, 3, 1)$ y $n = (1, 1, 2) .$ Entonces,

{proy}_{Π_{0}}^{u} = (2, 3, 1) - \frac{(2, 3, 1) \cdot (1, 1, 2)}{| | (1, 1, 2) | |^{2}} (1, 1, 2) = (5 / 6, 11 / 6, - 4 / 3)