La Elipse

4. La Elipse

Definición 2 (La elipse como lugar geométrico).

En un plano, una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos $Q$ cuya suma de distancias a dos puntos fijos, $F_{1}$ y $F_{2},$ (llamados focos), es constante (una constante mayor que $d (F_{1}, F_{2})$ ). Si la suma es la constante $2 a,$ con $2 a > d (F_{1}, F_{2}),$ entonces

d (Q, F_{1}) + d (Q, F_{2}) = 2 a

Elipse: Lugar geométrico

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Propiedad focal de la elipse. La elipse también tiene una “propiedad focal” análoga a la de la parábola: La normal a la elipse en cualquier punto

Q

de la elipse forma ángulos iguales con el segmento

F_{1} Q

y el segmento

F_{2} Q

Propiedad focal de la elipse

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Aplicación La conexión entre la propiedad focal de la elipse y las lámparas del dentista es una aplicación práctica de la óptica geométrica: La luz del emisor en un foco rebota en la superficie y converge (se concentra) en el segundo foco posicionado precisamente en la boca del paciente. Con esto la luz se concentra en un área pequeñ a en lugar de dispersarse.

Eje menor, eje mayor, centro y vértices. Supongamos que los focos de la elipse son

F_{1}

F_{2}

(Figura 1.11). Además,

d (Q, F_{1}) + d (Q, F_{2}) = 2 a

con

2 a > d (F_{1}, F_{2}) .

La recta que pasa por los focos se llama eje focal. Este eje focal corta a la elipse en dos puntos

V_{1},

V_{2}

llamados vértices. El segmento de recta que une los vértices se llama eje mayor. El punto en la mitad del eje mayor se llama centro de la elipse. El eje normal es el eje que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal. Este eje normal corta a la elipse en dos puntos

A

A^{'} .

El segmento que une estos dos puntos se llama eje menor.

Figura 1.11:

De acuerdo a la definición de la elipse, la distancia entre los vértices es

2 a

y cada vértice está a una distancia de

a

unidades del centro (Figura 1.12).
Si la longitud del semieje menor es

b,

entonces como el triángulo

△ F_{1} A F_{2}

es isósceles, entonces

d (A, F_{1}) = a

y se obtiene que la distancia de cada foco al centro es

c

con

c^{2} = a^{2} - b^{2} .

Figura 1.12:

Ecuación canónica de la elipse

Si una elipse tiene ecuación $A x^{2} + C y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ entonces no presenta rotación pues $B = 0$ . En este caso decimos que la elipse está en posición estándar: Su eje focal es paralelo al eje $X$ o al eje $Y$ (Figura 1.13)

Figura 1.13: Elipses en posición estándar

Si una elipse esta en posición estándar entonces podemos obtener una ecuación canónica o "natural". Esta ecuación importa porque viene con la información relevante de la elipse Focos, vértices, etc.

Tenemos dos casos:

1

Si el eje focal es paralelo al eje

X

, entonces, como

a

es la longitud del semieje mayor, la ecuación canónica es

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

2

Si el eje focal es paralelo al eje

Y

, entonces, como

a

es la longitud del semieje mayor, la ecuación canónica es

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

Parábolas y ecuación canónica

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Ecuación canónica de la elipse

Figura 1.14: Elipse en posición estándar

Circunferencia de radio

a

. Formalmente, la curva que delimita un círculo se llama circunferencia. Por abuso del lenguaje se habla de un “círculo de radio

a

”. La circunferencia es un caso especial de elipse en la que los focos coinciden con el centro de la circunferencia. En este caso,

a^{2} = b^{2} = a^{2}

. Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia de un círculo con centro en

O = (h, k)

y radio

a,

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

o también

{(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = a^{2}

Figura 1.15: Circunferencia de radio

a

Propósito: Explorar la elipse como lugar geométrico y relacionar su ecuación canónica con el centro, los focos, el semieje mayor, el semieje menor y la orientación del eje focal. El widget permite visualizar cómo cambian los parámetros $a$ , $b$ y $c$ al arrastrar los puntos notables de la elipse.

1

Arrastre el centro

C

y observe cómo se traslada la elipse sin cambiar su forma. Identifique en la ecuación los valores de

h

k

2

Arrastre el vértice

A

para modificar el semieje mayor

a

. Observe cómo cambia el denominador mayor en la ecuación canónica.

3

Arrastre el foco

F_{1}

y observe cómo cambia la distancia focal

c

. Analice qué ocurre con el semieje menor

b

usando la relación

a^{2} = b^{2} + c^{2} .

4

Cambie el eje focal entre eje paralelo al eje

X

y eje paralelo al eje

Y

. Compare las ecuaciones

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1 .

5

Active la opción Detalles y observe los ejes mayor y menor. Verifique que el denominador mayor corresponde siempre al eje focal.

6

Construya una elipse más alargada y luego una más cercana a una circunferencia. Compare en cada caso la distancia entre los focos y explique qué ocurre con el valor de

c

Ecuación Canónica de la Elipse

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En coordenadas rectangulares, una elipse tiene ecuación general

A x^{2} + Bxy + C y^{2} + Dx + Ey + F = 0 con B^{2} - 4 AC < 0 y Δ \neq 0

Si $B \neq 0,$ el “eje focal” no es paralelo al eje $X$ ni al eje $Y .$ En este caso, la elipse presenta una rotación respecto a estos ejes. La rotación se puede eliminar (respecto a los nuevos ejes $X^{'}$ , $Y^{'}$ ) haciendo un cambio de variable (ver apéndice ). Si $B = 0,$ la cónica está en posición estándar y el eje focal es paralelo al eje $X$ o paralela al eje $Y .$

Elipse en posición estándar: Eje focal paralelo al eje

Y .

En este caso, si el centro es

(h, k),

entonces

F_{1} = (h, k + c)

F_{2} = (h, k - c) .

Los puntos

(x, y)

de la elipse satisfacen

d ((x, y), F_{1}) + d ((x, y), F_{2}) = 2 a,

es decir,

\sqrt{{(x - h)}^{2} + {(y - k + c)}^{2}} + \sqrt{{(x - h)}^{2} + {(y - k - c)}^{2}} = 2 a

Ahora simplificamos la ecuación,

\begin{array}{rcl} {(\sqrt{{(x - h)}^{2} + {(y - k + c)}^{2}})}^{2} & = & {(2 a - \sqrt{{(x - h)}^{2} + {(y - k - c)}^{2}})}^{2} \\ a^{2} - c (y - k) & = & a \sqrt{{(x - h)}^{2} + {(y - k + c)}^{2},} \\ elevamos al cuadrando, \\ a^{4} + 2 a^{2} c (y - k) + c^{2} {(y - k)}^{2} & = & a^{2} {(x - h)}^{2} + a^{2} {(y - k)}^{2} + 2 a^{2} c (y - k) + a^{2} c^{2}, \\ sustituyendo c^{2} = a^{2} - b^{2}, \\ - b^{2} {(y - k)}^{2} & = & a^{2} {(x - h)}^{2} - a^{2} b^{2} ⟹ \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1 \end{array}

La ecuación simplificada $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1,$ se le llama ecuación canónica o natural. Contiene toda la información para determinar la longitud de los semiejes, la longitud $c$ , focos y vértices.

Eje mayor paralelo al eje

X

. En este caso, si el centro es

(h, k),

entonces

F_{1} = (h - c, k)

F_{2} = (h + c, k) .

Los puntos

(x, y)

de la elipse satisfacen

d ((x, y), F_{1}) + d ((x, y), F_{2}) = 2 a,

es decir,

\sqrt{{(x - h + c)}^{2} + {(y - k)}^{2}} + \sqrt{{(x - h - c)}^{2} + {(y - k)}^{2}} = 2 a .

Figura 1.16: Elipse con eje mayor paralelo al eje

X

Como antes, la ecuación simplificada queda $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 .$ A esta ecuación se le llama ecuación canónica o natural. Contiene toda la información para determinar la longitud de los semiejes, la longitud $c$ , focos y vértices. En resumen,

Ejemplo7Análisis Analítico y Gráfico

Hallar la ecuación canónica de la elipse $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y - 8 = 0 .$ Realizar su gráfica identificando los vértices, los focos y el centro.

Solución.

1

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la expresión en ambas variables

x

y

\begin{matrix} 4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y - 8 & = & 0 \\ 4 x^{2} - 8 x + y^{2} + 4 y - 8 & = & 0 \\ 4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} & = & 16 \\ Forma \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1 \\ \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} & = & 1 \end{matrix}

2

El centro es

(h, k) = (1, - 2) .

La elipse tiene eje mayor paralelo al eje

Y .

3

Como

a^{2} = 16

b^{2} = 4,

entonces

a = 4

b = 2 .

4

Ahora,

c^{2} = 16 - 4 ⟹ c = \sqrt{12} .

Los focos son

(1, - 2 \pm \sqrt{12})

y los vértices son

(1, - 6), (1, 2)

5

Las intersecciones con los ejes son

y \approx - 5.46,

y \approx 1.46,

x \approx - 0.73

x \approx 2.73 .

Figura 1.17:

Elipse: Práctica guiada

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Ejemplo8Determinación de la Ecuación Canónica

Determine la ecuación canónica y las características más importantes de la elipse cuyo eje mayor tiene extremos $(- 3, 5)$ y $(7, 5)$ y cuyo eje menor tiene extremos $(2, 2)$ y $(2, 8) .$

Solución.

1: El centro es el punto medio entre $(- 3, 5)$ y $(7, 5),$ es decir, $(2, 5) .$ El semieje mayor mide $a = 5$ y el semieje menor mide $b = 3 .$
2: Como el eje mayor es paralelo al eje $X,$ la ecuación canónica es, $\frac{{(x - 2)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{9} = 1 .$
3: Como $c^{2} = 25 - 9,$ entonces $c = 4$ y los focos son $(2 \pm 4, 5) .$
4: Los vértices son $(2 \pm 5, 5) .$
5: Las intersecciones con el eje $Y$ son $y \approx 2.25$ y $y \approx 7.75$

Figura 1.18:

Ejemplo9

Determine la ecuación canónica de la elipse con focos en $(2, 5)$ y $(2, 3)$ y que contiene al punto $(3, 6) .$ Realizar la gráfica.

Solución.

1

Por la posición de los focos, el eje mayor es paralelo al eje

Y .

Además también deducimos que el centro es

(h, k) = (2, 4)

y que

c = 1 .

Como

c^{2} = a^{2} - b^{2},

tenemos

b^{2} = a^{2} - 1 .

2

Hasta ahora tenemos que la ecuación canónica es

\frac{{(x - 2)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{a^{2}} = 1

3

Como

b^{2} = a^{2} - 1

y como la elipse contiene al punto

(3, 6),

este punto satisface esta ecuación, es decir,

\begin{array}{rcl} \frac{{(3 - 2)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(6 - 4)}^{2}}{a^{2}} & = & 1, \\ \frac{1}{a^{2} - 1} + \frac{4}{a^{2}} & = & 1 ⟹ a^{2} = 3 \pm \sqrt{5} . \end{array}

4

Como

b^{2} = a^{2} - 1 > 0,

la única solución es

\frac{{(x - 2)}^{2}}{2 + \sqrt{5}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{3 + \sqrt{5}} = 1 .

5

Las intersecciones con el eje

Y

son

y \approx 3.46, y \approx 4.54 .

Figura 1.19:

5.1 Considere la elipse de la figura. Si se sabe que el punto

(- \frac{1}{2}, \frac{5}{4})

está en la elipse, determine su ecuación canónica, sus focos y sus vértices.

Figura 1.20:

\frac{{(x + 1)}^{2}}{1 ∕ 4} + \frac{{(y - 5 ∕ 4)}^{2}}{1} = 1 .

5.2 En cada caso, obtener la ecuación canónica de la elipse.

1: $\frac{{(y - 1)}^{2}}{2} + \frac{5 {(x + 2)}^{2}}{3} = 2$
$\frac{{(y - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(x + 2)}^{2}}{\frac{6}{5}} = 1$
2: $\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{2} + \frac{y^{2}}{4} + y + 1 = 0$
$\frac{{(x + 4)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = 1$
3: $\frac{x^{2}}{4} + x + \frac{y^{2}}{16} + \frac{y}{2} + 1 = 0$
$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{16} = 1$
4: $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} - 2 y + 1 = 0$
$x^{2} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{2} = 1$

5.3 Considere la cónica

4 x^{2} + y^{2} - 16 x - 6 y + 21 = 0 .

Realizar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la intersección con los ejes.

La ecuación canónica la obtenemos completando cuadrados.

$∙$: Ecuación canónica: $\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} = 1 .$
$∙$: Centro: $(h, k) = (2, 3)$
$∙$: $a^{2} = 4, b^{2} = 1$ y $c = \sqrt{3}$
$∙$: Focos: $(2, 3 \pm \sqrt{3})$
$∙$: No hay intersección con ejes.

5.4 Determine la ecuación de la elipse cuyo centro está en el origen, contiene al punto

(- 1, 3)

y uno de sus vértices es

(0, 5) .

Realizar la gráfica.

Los datos los podemos representar en la figura de la derecha.

Como el centro es

(h, k) = (0, 0),

entonces la ecuación es

\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1

Esto es así pues el vértice $(0, 5)$ nos indica que el eje mayor está (en este caso) sobre el eje $Y .$

Ahora, como $(0, 5)$ es un vértice y el centro está en $(0, 0)$ , se sigue que $a = 5$ y

\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{25} = 1

Por otra parte, como $(- 1, 3)$ está en la elipse

\frac{{(- 1)}^{2}}{b^{2}} + \frac{3^{2}}{25} = 1

de aquí, despejando, obtenemos $b^{2} = \frac{25}{16} .$ Finalmente, la ecuación canónica de la elipse es

\frac{x^{2}}{\frac{25}{16}} + \frac{y^{2}}{25} = 1

5.5 Determine la ecuación canónica de la elipse con vértices en

(3, 1), (3, 9)

y eje menor de longitud

6

. Realizar la gráfica.

El eje mayor de la elipse es paralelo al eje

Y .

Como la longitud del eje menor es de

6

unidades, entonces

b = 3 .

Como los vértices están en

(3, 1)

(3, 9),

entonces el centro es

(h, k) = (3, 5)

y por tanto

a = 4 .

La ecuación canónica es

\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{16} = 1

La gráfica de la elipse se muestra en la figura de la derecha. Solo hay una intersección con el eje $Y$ en $y = 5 .$

5.6 Determinar la ecuación canónica de la elipse si se sabe que es tangente a los ejes en el primer cuadrante y uno de sus vértices es

(8, 2) .

La elipse se puede ver en la figura de la derecha.

Como la elipse es tangente a los ejes en el primer cuadrante, el otro vértice debe ser

(0, 2)

(su eje mayor no puede ser paralelo al eje

Y

pues su semieje menor sería de

8

unidades y el mayor de

1

unidad!). Luego,

(h, k) = (4, 2),

a = 4

b = 2 .

La ecuación canónica es

\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1 .

5.7 Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en

(0, 0)

, eje mayor horizontal y los puntos

(3, 1)

(4, 0)

están en la elipse.

La elipse se puede ver en la figura de la derecha.

Según los datos,

(h, k) = (0, 0)

(4, 0)

es el vértice de la derecha, entonces

a = 4

(3, 1)

satisface la ecuación de la elipse:

\frac{3^{2}}{16} + \frac{1^{2}}{b^{2}} = 1 ⟹ b^{2} = \frac{16}{7} .

La ecuación canónica es

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{\frac{16}{7}} = 1 .

$∙$: Centro: $(h, k) = (0, 0),$
$∙$: $c = \sqrt{\frac{96}{7}},$
$∙$: focos: $(0 \pm \sqrt{\frac{96}{7}}, 0),$
$∙$: vértices: $(4, 0)$ y $(- 4, 0) .$

5.8 Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en

(2, 1),

longitud del eje menor

2 ul

y eje mayor vertical y de longitud

6 ul .

{(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1 .

$∙$: Centro: $(h, k) = (2, 1),$
$∙$: $c = \sqrt{8},$
$∙$: focos: $(2, 1 \pm \sqrt{8})$
$∙$: vértices: $(2, 1 \pm 3) .$

5.9 Determine la ecuación de la circunferencia de radio 2 con centro en el vértice de la parábola de foco

(1, - 1)

y directriz

x = - 3 .

Realizar la gráfica.

Como el vértice de una parábola está a la mitad del camino entre el foco y la directriz entonces

(h, k) = (- 1, - 1) .

La ecuación de la circunferencia es

{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4 .

Las intersecciones con el eje $X$ son $x \approx - 2.73$ y $x \approx 0.73 .$ Las intersecciones con el eje $Y$ son $y \approx - 2.73$ y $y \approx 0.73 .$

5.10 Hallar la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse que tiene un vértice y un foco en común con la parábola

y^{2} + 4 x = 32

y que tiene su otro foco en el origen.

La elipse se puede ver en la figura de la derecha.

La ecuación canónica de la parábola es

y^{2} = - 4 (x - 8) .

De esta ecuación se obtiene el otro foco y un vértice derecho de la elipse. La ecuación canónica es

\frac{{(x - 3.5)}^{2}}{4 . 5^{2}} + \frac{y^{2}}{8} = 1 .

$∙$: Centro: $(h, k) = (3.5, 0),$
$∙$: $c = 3.5,$
$∙$: focos: $(0, 0)$ y $(7, 0),$
$∙$: vértices: $(- 1, 0)$ y $(8, 0) .$

5.11 Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse cuya suma de distancias a los puntos

(\pm 3, 0)

16

La ecuación canónica es

\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{55} = 1 .

$∙$: Centro: $(h, k) = (0, 0),$
$∙$: $c = 3,$
$∙$: focos: $(\pm 3, 0),$
$∙$: vértices: $(\pm 8, 0) .$

5.12 Considere la cónica de ecuación

9 y^{2} + 16 x^{2} + 54 y - 64 x + 1 = 0 .

Verifique que se trata de una elipse e indique sus características principales.

La ecuación canónica es

\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = 1 .

Por lo tanto es una elipse.

$∙$: Centro: $(h, k) = (2, - 3),$
$∙$: $c = \sqrt{7},$
$∙$: focos: $(2, - 3 \pm \sqrt{7}),$
$∙$: vértices: $(2, - 3 \pm 4) .$

5.13Se tiene una circunferencia inscrita en un cuadrado tal y como se muestra en la figura. Determinar el radio.

Si consideramos los lados del cuadrado como ejes coordenados, la circunferencia inscrita es un circunferencia con centro en

(r, r)

(x, y) = (3, 4)

es un punto en la circunferencia.

Por lo tanto,

\begin{array}{rcl} {(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} & = & r^{2}, \\ {(3 - r)}^{2} + {(4 - r)}^{2} & = & r^{2}, \\ r & = & 7 - 2 \sqrt{6} \approx 2.1 \\ r & = & 7 + 2 \sqrt{6} \approx 11.8 \end{array}

Como $r < 4$ entonces $r = 7 - 2 \sqrt{6} .$

5.14Considere la cónica

C

de ecuación

x^{2} - 4 x + 8 y + 12 = 0 .

Determine la ecuación canónica y las características más importantes, de la elipse que cumple simúltaneamente con las siguientes condiciones,

1.: Su centro coincide en el vértice de la cónica $C$
2.: La distancia entre sus focos es $4$ y están en la recta $x = 2$
3.: La distancia de un foco al vértice más cercano es $3$

1.: $C$ es una parábola de ecuación canónica ${(x - 2)}^{2} = - 8 (y + 1) .$
2.: Centro de la elipse $(2, - 1)$
3.: $d (F_{1}, F_{2}) = 4 ⟹ 2 c = 4 ⟹ c = 2$
4.: $d (F_{1}, V_{1}) = 3 ⟹ a - c = 3 ⟹ a = 5$
5.: $b^{2} = 21$
6.: Ecuación canónica de la elipse: $\frac{{(x - 2)}^{2}}{21} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{25} = 1$
7.: Vértices $(2, 4),$ $(2, - 6) .$
8.: Focos $(2, 1),$ $(2, - 3) .$

5.15Determine la ecuación canónica de la elipse que satisface simultáneamente las siguientes condiciones:

1.: El vértice $V_{1}$ de la elipse coincide con el foco de la parábola de ecuación ${(x - 2)}^{2} = - 4 y + 24$ .
2.: El vértice $V_{2}$ de la elipse coincide con el centro de la hipérbola de ecuación $x^{2} - 4 x - y^{2} + 2 y = - 2$ .
3.: La elipse contiene el punto $(1, 2)$ .

De la información que nos dan deducimos:

$∙$: El foco de la parábola ${(x - 2)}^{2} = - 4 (y - 6)$ es $V_{1} = (2, 6 - 1) = (2, 5)$ pues $p = - 1 .$
$∙$: El centro de la hipérbola ${(x - 2)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1$ es $V_{2} = (2, 1) .$
$∙$: Los vértices nos indican que la elipse tiene centro en $(h, k) = (2, 3)$ y su ecuación canónica es
$\frac{{(x - 2)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{2^{2}} = 1 .$
$∙$: Como la elipse contiene el punto $(1, 2),$

$\frac{{(1 - 2)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(2 - 3)}^{2}}{2^{2}} = 1 ⟹ b^{2} = \frac{4}{3} .$

La ecuación canónica de la elipse es

\frac{{(x - 2)}^{2}}{\frac{4}{3}} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{2^{2}} = 1 .

5.16En la definición de la elipse como un lugar geométrico se indica que

2 a > d (F_{1}, F_{2})

. ¿Qué pasa si

2 a \leq d (F_{1}, F_{2})