6. Función diferenciable. Diferencial total.

Diferencial en una variable. Geométricamente, si f es derivable en x0 entonces la ecuación de la recta tangente T a fen (x0,f(x0)) es

T(x) = f′(x 0)(x − x0) + f(x0)

Entonces

f(x0 + Δx) ≈ T(x0 + Δx) = f′(x0)Δx + f(x0) ⟹ f(x0 + Δx) − f(x0) ≈ f′(x0)Δx

El diferencial dx puede ser cualquier número (grande o pequeño), si dx es pequeño, Δy se puede aproximar con el diferencial dy = f′(x0)dx. Formalmente,

Δy = f′(x)dx + 𝜖 con  lim ⁡ Δx→0 𝜖 Δx = 0

Esto dice que f es diferenciable en x0 si la distancia 𝜖 entre el gráfico de f y su tangente se desvanece más rápidamente que el desplazamiento horizontal hacia el punto de tangencia.

PIC

Diferencial total en dos variables. Sea S una superficie de ecuación z = f(x,y). El cambio en f en dos variables es

Δf = f(x0 + Δx,y0 + Δy) − f(x0,y0)

Sea P = (x0,y0,z0) ∈S y supongamos que existe el plano tangente Π a S en P. Más adelante vamos a ver que si las derivadas parciales existen y son continuas en P, dos vectores tangentes son (1,0,fx(x0,y0)) y (0,1,fy(x0,y0)) que están en el plano tanegnte a S en P. Con estos vectores tangentes obtenenos una ecuación vectorial del plano tangente Π (si hubiera) en P ∈S. Esta ecuación vectorial es

ΠT : P + t ⋅ (1,0,fx(x0,y0)) + s ⋅ (0,1,fy(x0,y0)),t,s ∈ℝ

Si tomamos t = dx y s = dy, y si Q = (x0,y0,z2) ∈Π, la coordenada z de Q es

z2 = f(x0,y0) + fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0))dy

Entonces f(x0 + dx,y0 + dy) ≈ f(x0,y0) + fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy

PIC

Figura 4.5: Δf = z1 −z2

Tenemos Δf = f(x0 + dx,y0 + dy) − f(x0,y0) ≈ fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy, es decir,

Δf ≈ fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy

El diferencial total de f es df = fxdx + fydy.

PIC

Figura 4.6: Δf ≈fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)
(Función diferenciable) Si la derivada Df(a) de f en a existe, decimos que f es "localmente lineal" o "diferenciable" en a si f(a + Δx) − f(a) y Df(a)Δx son indistinguibles en el sentido de que su diferencia se desvanece más rápido que ||Δx||.

Geométricamente, en particular la función f es diferenciable en a = (x0,y0) si la distancia entre la superficie y el plano

E = f(x0 + Δx,y0 + Δy) −[f(x0,y0) + fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)]

se desvanece más rápidamente que el desplazamiento horizontal dx2 + dy2 = ||(x,y) − (x0,y0)|| hacia el punto de tangencia.

Definición 10 ((Función diferenciable)).

Una función f : ℝ2 → ℝ es diferenciable en (x0,y0) si existe un entorno alrededor de (x0,y0) en el que

f(x,y) = f(x0,y0) + fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy + E(x,y) con  lim ⁡ (x,y)→(x0,y0) E(x,y) ||(x,y) − (x0,y0)|| = 0

Es decir, si f es diferenciable en (x0,y0), entonces en la cercanías de (x0,y0) la función f se puede aproximar usando el plano tangente. Si z = f(x,y) es diferenciable, el diferencial total df = fx(P)dx + fy(P)dy representa el incremento de f a lo largo del plano tangente a f en el punto (x,y). Sería como calcular con el plano tangente en vez de usar la superficie S (ver figura ).

Tenemos un teorema para caracterizar las funciones diferenciables.

Teorema 6 — (Función diferenciable).

Sea f : U ⊂ ℝn→ℝ. Si las derivadas parciales de f existen y son continuas en un entorno de (x0,y0) ∈U, entonces f es diferenciable en (x0,y0).