Teoremas sobre limites

2. Teoremas sobre límites

Los teoremas en una variable sobre límites de funciones constantes, funciones lineales, senos, cosenos, etc., así como límites de sumas, productos, cocientes, etc. siguen siendo válidos en varias variables. Pero, hay que recordar que estos teoremas se pueden aplicar si cada límite involucrado, existe.

Teorema 2 — Unicidad del límite.

Si $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ existe, entonces es único

En particular el teorema dice que

lim_{x \to x_{0}} f (x)

no existe si al calcular con diferentes caminos para acercarse a

x_{0},

obtenemos resultados distintos.

Ejemplo77Límites que no existen

1

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}

no existe pues se viola la unicidad del límite,

(a): Si nos acercamos a $(0, 0)$ sobre la recta $y = x$ , $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} = lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2}}{2 x^{2}} = \frac{1}{2}$
(b): Si nos acercamos a $(0, 0)$ sobre la recta $y = 0,$ $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} = lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{0}{x^{2}} = 0$

2

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}

no existe pues se viola la unicidad del límite,

(a): Si nos acercamos a $(0, 0)$ sobre la recta $y = x$ , $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}} = lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{3}}{x^{4} + x^{2}} = lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x}{x^{2} + 1} = 0$
(b): Si nos acercamos a $(0, 0)$ sobre la parábola $y = x^{2},$ $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}} = lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{4}}{2 x^{4}} = \frac{1}{2}$

Definición 10 — Continuidad.

Sea $f : ℝ^{n} \to ℝ .$ La función $f$ es continua en $x_{0} \in ℝ^{n}$ si $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) .$

Teorema 3 — Continuidad. Cálculo de límites.

Sean $f : ℝ^{n} \to ℝ$ y $g : ℝ^{n} \to ℝ$ funciones continuas en $x_{0} \in ℝ^{n} .$ Supongamos que

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A y que lim_{x \to x_{0}} g (x) = B

entonces,

1: $f \pm g$ es continua en $x_{0}$ y $lim_{x \to x_{0}} (f \pm g) (x) = A \pm B$
2: $f \cdot g$ es continua en $x_{0}$ y $lim_{x \to x_{0}} (f \cdot g) (x) = A \cdot B$
3: $\frac{f}{g}$ continua en $x_{0}$ si $g (x_{0}) \neq 0$ y $lim_{x \to x_{0}} \frac{f}{g} (x) = \frac{A}{B}$ si $B \neq 0$
4: Sea $h : ℝ \to ℝ$ continua en $g (x_{0}) = B,$ entonces $lim_{x \to x_{0}} h (g (x)) = h (B)$
5: Si $F (x, y)$ es continua para todo $x, y \in D \subseteq ℝ^{n}$ y si $f (x), g (x) \in D,$ entonces $F [f (x), g (x)]$ es continua en $D .$

En particular, son continuos los polinomios

P (x)

en varias variables y las fracciones racionales

\frac{P (x)}{Q (x)}

son continuas en

x_{0}

Q (x_{0}) \neq 0 .

Además si existe un conjunto abierto

V_{x_{0}}

en el que

\frac{P (x)}{Q (x)} = f (x)

excepto talvez en

x = x_{0}

entonces

lim_{x \to x_{0}} \frac{P}{Q} (x) = lim_{x \to x_{0}} f (x)

El inciso d.) del teorema 3 nos dice que si $g$ es continua en $x,$ entonces las funciones usuales del cálculo $cos (g (x)),$ $sen (g (x)),$ $ln (g (x)),$ etc. son continuas si éstas son continuas en $g (x) .$

Ejemplo78Cálculo usando teoremas de límites

El teorema 3 nos permite calcular límites de manera directa.

1: $lim_{(x, y) \to (0, 0)} 2 x^{2} y^{2} = 0$
2: ] $lim_{(x, y) \to (1, 2)} \frac{x^{2} y + xy + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{8}{5}$
3: $lim_{(x, y) \to (2, 1)} ln (xy - 1) = ln (1) = 0$
4: $lim_{(x, y) \to (1, 1)} \frac{x^{2} - y^{2}}{x - y} = lim_{(x, y) \to (1, 1)} \frac{(x - y) (x + y)}{x - y} = 2$
5: $\begin{matrix} lim_{(x, y) \to (2, 0)} \frac{\sqrt{2 x - y} - 2}{2 x - y - 4} & = & lim_{(x, y) \to (2, 0)} \frac{\sqrt{2 x - y} - 2}{2 x - y - 4} \cdot \frac{\sqrt{2 x - y} + 2}{\sqrt{2 x - y} + 2} \end{matrix}$

3.1 Calcular

lim_{(x, y, z) \to (0, 0, 1)} \frac{3 x - y + z}{xy + z^{2}}

Un cálculo directo nos da

lim_{(x, y, z) \to (0, 0, 1)} \frac{3 x - y + z}{xy + z^{2}} = 1

3.2 Calcular

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{3 x - y}{(x - 4) sen (π ∕ 2 + y)}

Un cálculo directo nos da

\frac{9}{- 1} = - 9 .