1. Introducción: Sumas de Riemann en una variable

Particiones de [a,b]. Una partición P en n subintervalos del intervalo [a,b] es una colección {a = x0,x1,x2,...,xn = b} tal que x0 < x1 < x2 < ... < xn y ⋃ ⁡ k=1n[x k−1,xk] = [a,b]. Se denota con ||P|| la "norma" de la partición.

||P|| = max ⁡ k=1,...,n|xk−1 − xk|

PIC

Figura 6.1: Partición del intervalo [a,b]

Sea f una función definida en el intervalo [a,b]. Una suma de Riemann de f respecto a una partición P = {x0,...xn} , es una suma de la forma

∑ k=1nf(ξ k)Δxk,

 con ξk ∈[xk−1,xk] y Δxk = |xk−1 − xk|.

PIC

Figura 6.2: Suma de Riemann respecto a la partición P

Observe que Ak = f(ξk)Δxk puede ser negtivo si f(ξk) < 0.

Teorema 21 — (Integral de Riemann).

Sea f una función definida en [a,b]. Si existe un número I para el que dado cualquier 𝜀 > 0, existe N ∈ℕ tal que, siempre que n ≥ N y ξk es escogido arbitrariamente en cada intervalo [xk−1,xk], con xk = a + k(b − a)∕n, se cumple

|∑ k=1nf(ξ k)b − a n −I | < 𝜀

entonces f es integrable en el sentido Riemann.

Dado que si f es Riemann-integrable entonces se cumple el teorema y si se cumple el teorema, f es Riemann integrable, tenemos

∫ abf(x)dx = I⟺I = (b − a)lim ⁡ n→∞∑ k=1nf(ξk) n