7. Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange

Supóngamos que queremos hallar los máximos y los mínimos relativos de z = f(x,y) sujeto a la restricción g(x,y) = 0. Esto significa que la función f(x,y) solo podrá ser evaluada en los puntos (x,y) que estén en la curva de nivel g(x,y) = 0, es decir f(x,y) está restringida (o sujeta) a g(x,y) = 0.

Una manera de resolver este problema, en el caso de un mínimo local, se puede obtener con un análisis geométrico de la situación: En las cercanías de un mínimo local, nos desplazamos sobre g en la dirección de máximo decrecimiento de f, hasta el punto “más profundo” que puede alcanzarse sobre g en esta dirección. Este punto podría ser el mínimo local con restricciones que andamos buscando.

Digamos que P = (a,b,c) es el mínimo local con restricciones. Para poder determinar este punto con una ecuación, podemos pensar que viajamos a “este punto más profundo” atravesando curvas de nivel, entonces la “última” curva de nivel debería ser una curva de nivel z = c tangente a g en p (si p no es un punto terminal de g). Que estas curvas sean tangentes significa que sus gradientes son paralelos, es decir, ∇ ⁡z(a,b) = λ∇ ⁡g(a,b.) Esta es la ecuación que usamos para determinar P.

El análisis es similar para determinar un máximo local con restricciones: En las cercanías de un máximo local, nos desplazamos sobre g en la dirección de máximo crecimiento hasta el punto más profundo que podamos alcanzar, sobre g.

PIC

Teorema 20 — Multiplicadores Lagrange. Condición de primer orden.

Sea U ⊆ ℝ2 un conjunto abierto y sean f,g : U → ℝ funciones C1 y sea x∗ un extremo local de f en el conjunto D = {x ∈U|g(x) = 0.} Entonces, si ∇ ⁡g(x∗)≠(0,0), existe λ ∈ℝ (que puede ser cero) tal que

∇ ⁡f(x∗) − λ∇ ⁡g(x∗) = (0,0)

El teorema dice que los extremos locales x∗ de f sujetos a la restricción g(x,y) = 0 (y ∇ ⁡g(x∗)≠(0,0)), son puntos críticos de la función "lagrangiana" L(x,y,λ) = f(x,y) − λg(x,y), pero no necesariamente viceversa. Puede suceder que algunos puntos críticos de L no sean extremos locales de f sujeto a la restricción g(x,y) = 0.

Propósito: Visualizar cómo una solución del problema con restricciones "Optimizar = f(x,y) sujeto a g(x,y) = 0" se obtiene cuando los gradientes son paralelos: ∇ ⁡f = λ∇ ⁡g.

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Multiplicadores de Lagrange
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Método de los multiplicadores de Lagrange con una restricción

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Para minimizar o maximizar f(x1,x2,...,xn) sujeta a la condición g(x1,x2,...,xn) = 0, se busca los puntos críticos de la Lagrangiana L(x1,y1,...,xn,λ) = f(x1,x2,...,xn) − λg(x1,x2,...,xn) (asumimos ∇ ⁡g(x)≠0 en un entorno de p).

Para hallar los puntos críticos de L(x1,y1,...,xn,λ) se debe resolver el sistema

{ Lx1 = 0 ⋮ ⋮ ⋮ Lxn = 0 g(x1,x2,...,xn) = 0

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En tres variables, podríamos encontrar los puntos críticos del problema de optimización, como soluciones del sistema

L(x,y,z,λ) = f(x,y,z) −λg(x,y,z)

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A λ se le llama multiplicador (de Lagrange). Observe que λ podría ser cero. Esto pasa por ejemplo cuando un extremo local con restricciones coincide con un extremo local (sin restricciones).