2. Integral doble

Sea R = [a,b] × [c,d], y sea f : ℝ2 → ℝ una función definida y acotada sobre R. Supongamos que MR = {R11,R12,...Rnm} es un conjunto de nm rectángulos que conforman una malla que cubre R (ver figura). El área de cada celda Rij la denotamos con ΔAij. La malla MR es el conjunto de rectángulos Rij = [xi,xi+1] × [yj,yj+1] de área ΔAij = ΔxiΔyj.

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Una suma de Riemann de f sobre R es una expresión de la forma ∑ ⁡ i=1n ∑ j=1mf(x i,yj)ΔAij donde (xi,yj) ∈Rij.
Si f es continua y positiva sobre R, entonces f(xi,yj)ΔAij aproxima el volumen de cada paralelepípedo Pij de base Rij y altura f(xi,yj); en este caso la suma de Riemann aproxima el volumen del sólido entre la región R y el gráfico de f.

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Diámetro de la malla. El diámetro de cada celda Rij es la máxima distancia entre todas las distancias entre cualesquiera dos puntos en Rij y se denota ||Rij||. El diámetro de la malla MR es ||MR|| =  Sup i{||Rij||}. Conforme ||MR||→ 0, el área de cada celda tiende a cero, es decir, ΔAij → 0 y la cantidad de celdas se hace infinitamente grande: n →∞.

Volumen. Si f es continua y no negativa en la región R, entonces e siguiente límite existe,

V Q = lim ⁡ ||M||→0 ∑ i=1n ∑ j=1mf(x i,yj)ΔAij con nm =  Card (M)

y V Q es el volumen de sólido Q, limitado por la región R y la superficie S : z = f(x,y). El límite se toma sobre todas las posibles mallas rectángulares MR con (xi,yj) cualquier punto de Rij.

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Figura 6.3: Aproximación del volumen de un sólido con sumas de Riemann

Caso general. Si la región R es una región cerrada y acotada y f es no negativa y está definida y es acotada sobre R, entonces usamos una malla de rectángulos Rij, contenidos en la región R, de área ΔAij contenidos en R. Si f es no negativa en la región R, entonces el volumen V del sólido Q limitado por R y la superficie S : z = f(x,y) se aproxima con

V ≈∑ i=1n ∑ j=1mf(x i,yj)ΔAij

siendo ΔAk = ΔxkΔyk.

Suponiendo que f es continua sobre R y que la región R está limitada por una curva suave a trozos (con un número finito de trozos), entonces conforme ||MR||→ 0, el área de cada celda tiende a cero, es decir, ΔAk → 0 y la cantidad de celdas se hace infinitamente grande (n →∞) y la unión de los rectángulos Rij se va ajustando a la región R conforme ||MR||→ 0. El volumen de Q se obtiene como

lim ⁡ ||M||→0 ∑ i=1n ∑ j=1mf(x i,yj)ΔAij con nm =  Card (M)

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El límite se toma sobre todas las mallas MR y con (xk,yk) cualquier punto de Rk. La generalización de estas ideas no requiere que f sea no negativa, solo requiere que el límite anterior exista.

Definición 18 ( (Función integrable).).

Si las sumas de Riemann de f tienen un límite (que se toma sobre todas las posibles mallas rectángulares MR contenidas en la región R) independiente de la escogencia de los (xi,yj), conforme ||MR||→ 0, entonces decimos que f es integrable sobre R y que la integral es este límite. En este caso escribimos,

∬Rf(x,y)dA = lim ⁡ ||M||→0 ∑ i=1n ∑ j=1mf(x i,yj)ΔxiΔyj con nm =  Card (M)

Las propiedades de las funciones integrables en dos variables son similares a las propiedades de las funiones integrables en una variable.

Teorema 22 — (Propiedades de la funciones integrables)..

a.)
Si f es continua sobre R, entonces f es integrable sobre R.
b.)
Sea k ∈ℝ. Si f y g son integrables sobre R, entonces kf y f ± g son integrables sobre R y

∬Rkf(x,y)dA = k∬Rf(x,y)dA y  ∬Rf(x,y) ± g(x,y)dA = ∬Rf(x,y)dA ±∬Rg(x,y)dA

c.)
Si f y g son integrables sobre regiones R y S que no se traslapan, entonces f es integrables sobre R ∪S y ∬R∪Sf(x,y)dA = ∬Rf(x,y)dA + ∬Sf(x,y)dA

d.)
Si f y g son integrables sobre R y f(x,y) ≤ g(x,y) para todo (x,y) ∈R, entonces ∬Rf(x,y)dA ≤∬Rg(x,y)dA

e.)
Si f es integrable sobre R y M ≤ f(x,y) ≤ m para todo (x,y) ∈R, entonces mA(R) ≤∬Rf(x,y)dA ≤ MA(R)

Ejemplo136
Consideremos el sólido Q limitado por la superficie S1 : z = 8 − x2 − y2 y el cilindro S2 : x2 + y2 − 4 en el primer octante, tal y como se muestra en la figua de la derecha. La región de integración R sería el cuarto de círculo de radio 2 en el primer cuadrante.
La función f(x,y) = 8 − x2 − y2 es integrable en esta región R. Podemos aproximar el volumen del sólido Q usando la aproximación

∬Rf(x,y)dA ≈∑ i=1n ∑ j=1mf(x i,yj)ΔAij

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Usando Δx = Δy = 0.5, tendríamos una malla de 8 rectángulos, cada uno de área 0.52.

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Calculamos f(xi,yj) para cada xi = i ⋅ 0.5,yi = i ⋅ 0.5 en la malla

xi yi f(xi,yj) xi yi f(xi,yj) xi yi f(xi,yj) xi yi f(xi,yj) 0.5 0.5 7.5 0.5 1. 6.75 0.5 1.5 5.5 1. 0.5 6.75 1. 1. 6. 1. 1.5 4.75 1.5 0.5 5.5 1.5 1. 4.75

Entonces

∬Rf(x,y)dA ≈ f(x1,y1)ΔA11 + f(x1,y2)ΔA12 + ... + f(x1,y3)ΔA13

V Q = ∬Rf(x,y)dA ≈ 7.5 ⋅ 0.25 + 6.75 ⋅ 0.25 + 5.5 ⋅ 0.25 + 6.75 ⋅ 0.25 + 6 ⋅ 0.25 + 4.75 ⋅ 0.25 + 5.5 ⋅ 0.25 + 4.75 ⋅ 0.25

Por supuesto, esta aproximación no es muy buena. Se requiere una malla más fina para llegar cerca de V Q = 8π − 4 ≈ 21.1327.

Por ejemplo con Δx = Δy = 0.2, se obtiene V Q ≈ 16.2912 y con Δx = Δy = 0.05, se obtiene V Q ≈ 18.179

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Figura 6.4: Malla con Δx = Δy = 0.2

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Figura 6.5: Malla con Δx = Δy = 0.05

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Figura 6.6: Malla con Δx = Δy = 0.2

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Figura 6.7: Malla con Δx = Δy = 0.05

Otros tipos de integración. El concepto de integral que hemos visto es el concepto de integral en el sentido de Riemann y es suficiente para los cálculos y las aplicaciones en este curso. Para otros propósitos esta integral no es adecuada y se requiere definir un tipo más general de integración, por ejemplo la integral en el sentido Lebesgue, integral de Riemann-Stieltjes, integral de Henstock-Kurzweil, etc.