Calculo de integrales dobles. Integral iterada.

3. Cálculo de integrales dobles. Integral iterada.

Idea del volumen como una suma de volúmenes de “rebanadas”. Consideremos un sólido $Q$ cuya proyección sobre el plano $XY$ es un rectángulo. Tomamos una partición del intervalo $[a, b]$ en el eje $X,$ $a = a_{0} < x_{1} < x_{2} < . . . < x_{n} = b,$ luego consideramos las rebanadas “planas” del sólido que se obtienen intersecando el sólido con cada plano $P_{k} : x = x_{k} .$ Digamos que cada rebanada tiene área $A (x_{k}) .$ Cada sección del sólido, entre los planos $P_{k - 1}$ y $P_{k},$ es aproximadamente un prisma y, su volumen aproximado es $A (x_{k}) Δ x_{k} .$ De esta manera: $Volumen de Q : V_{Q} \approx \sum_{k = 1}^{n} A (x_{k}) Δ x_{k}$

Figura 6.8: Volumen de

Q

aproximado como una suma del volúmenes de

n

rebanadas

Ahora, tomando una partición de

[a, b]

n

subintervalos de igual tamaño tenemos

Volumen de Q : V_{Q} = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} A (x_{k}) Δ x_{k} = \int_{a}^{b} A (x) dx

Pero cada área $A (x_{k})$ se puede calcular en el plano $x = x_{k}$ como $A (x_{k}) = \int_{y_{k - 1}}^{y_{k}} f (x_{k}, y) dy,$ entonces tendríamos

Volumen de Q : V_{Q} = \int_{a}^{b} A (x) dx = \int_{a}^{b} (\int_{p}^{q} f (x, y) dy) dx

Integrales iteradas. La idea anterior se puede generalizar a sólidos con una proyección más general. Consideramos un sólido $Q$ entre las superficies (suaves) $S_{1} : z = f (x, y)$ y $S_{2} : z = g (x, y),$ como se muestra en la figura que sigue; conforme nos desplazamos por los planos $x = x_{k},$ el área $A (x_{k})$ y el volumen $V_{Q}$ se obtienen como

A (x_{k}) = \int_{g_{1} (x_{k})}^{g_{2} (x_{k})} [f (x_{k}, y) - g (x_{k}, y)] dy y entonces V_{Q} = \int_{a}^{b} A (x) dx = \int_{a}^{b} (\int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} [f (x, y) - g (x, y)] dy) dx

Figura 6.9: Cálculo de integral iterada, en el orden

dydx

Figura 6.10: Cálculo de integral iterada, en el orden

dxdy

De manera análoga, si nos desplazamos sobre los planos

y = y_{k},

el área

A (x_{k})

y el volumen

V_{Q}

se obtienen como

A (x_{k}) = \int_{h_{1} (y_{k})}^{h_{2} (y_{k})} [f (x, y_{k}) - g (x, y_{k})] dx y entonces V_{Q} = \int_{p}^{q} A (x) dy = \int_{p}^{q} (\int_{h_{1} (x)}^{h_{2} (x)} [f (x, y) - g (x, y)] dx) dy

El teorema de Fubini establece que si

f

es continua sobre

R

(por tanto Riemann integrable) la integral doble se puede evaluar por “integración parcial” respecto a cada variable, una a la vez. Este es el método de “integrales iteradas”. Primero debemos especificar dos maneras de describir una misma región.

∙

Región entre las curvas

y = g_{1} (x)

y = g_{2} (x) .

R = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que a \leq x \leq b y g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x)}

con

g_{1}

g_{2}

funciones continuas en

[a, b]

∙

Región entre las curvas

x = h_{1} (y)

x = h_{2} (y) .

R = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que p \leq y \leq q y h_{1} (y) \leq x \leq h_{2} (y)}

con

h_{1}

h_{2}

funciones continuas en

[p, q] .

Teorema 23 — Fubini.

Sea

R = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que a \leq x \leq b y g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x)}

con

g_{1}

g_{2}

funciones continuas en

[a, b] .

f

es continua en

R,

entonces

\iint Rf (x, y) dA = \int b a \int g_{2} (x) g_{1} (x) f (x, y) d y dd x = \int b a [\int g_{2} (x) g_{1} (x) f (x, y) d y] dd x

Sea

R = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que p \leq y \leq q y h_{1} (y) \leq x \leq h_{2} (y)}

con

h_{1}

h_{2}

funciones continuas en

[p, q] .

f

es continua en

R,

entonces

\iint Rf (x, y) dA = \int q p \int h_{2} (y) h_{1} (y) f (x, y) d x dd y = \int q p [\int h_{2} (y) h_{1} (y) f (x, y) d x] dd y

Ejemplo137

Sea $R$ la región de la figura. Vamos a calcular $\iint Rxy dA$ usando el orden de integración “ $dy d x$ ” y el orden de integración “ $dx d y$ .”

Si la variable independiente es

x

entonces la región

R

está entre las curvas

y = x

(arriba) y

y = \frac{x^{2}}{2}

(abajo), entre

x = 0

x = 2 .

Tomando a

y

como variable independiente, entonces la región estrá entre

x = y

("abajo") y

x = \sqrt{2 y}

("arriba") entre

y = 0

y = 2 .

$∙$ Integrando en el orden “ $dy dx$ ”: En este caso, la variable independiente es $x .$

\begin{matrix} \iint Rxy dA & = & \int 20 [\int x \frac{x^{2}}{2} xy d y] ddx \\ = & \int_{0}^{2} [{x \frac{y^{2}}{2} |}_{\frac{x^{2}}{2}}^{x}] dx \\ = & \int_{0}^{2} [x \frac{x^{2}}{2} - x \frac{x^{4}}{8}] dx = \frac{2}{3} \end{matrix}

∙

Integrando en le orden “

dx dy

”: En este caso, la variable independiente es

y .

\begin{matrix} \iint Rxy dA & = & \int 20 [\int \sqrt{2 y} y xy dx] ddy \\ = & \int 20 \frac{x^{2}}{2} y | \sqrt{2 y} y d y \\ = & \int_{0}^{2} [\frac{2 y}{2} y - \frac{y^{2}}{2} y] dy = \frac{2}{3} \end{matrix}

Ejemplo138

En este ejemplo se muestra como el número de regiones de integración puede variar, de acuerdo a la elección del orden de integración.
Considere la integral

I = \iint R (x^{2} + y^{2}) dA,

donde

R

es la región de la figura. Vamos a calcular esta integral doble, usando el orden de integración “

dy d x

” y el orden de integración “

dx d y

.”

$∙$ Orden “ $dy d x$ ”: en este caso $R = R_{1} ⋃ R_{2} ⋃ R_{3} .$ La manera de ver la región es como sigue,

\begin{matrix} \iint R x^{2} + y^{2} dA & = & \int 10 [\int x^{2} 0 x^{2} + y^{2} dy] ddx + \int 21 [\int 1
 0 x^{2} + y^{2} dy] ddx + \int 32 [\int 3 - x 0 x^{2} + y^{2} dy] ddx \\ = & \int_{0}^{1} {x^{2} y + \frac{y^{3}}{3} |}_{0}^{x^{2}} dx + \int_{1}^{2} {x^{2} y + \frac{y^{3}}{3} |}_{0}^{1} dx + \int_{2}^{3} {x^{2} y + \frac{y^{3}}{3} |}_{0}^{3 - x} dx \\ = & \int_{0}^{1} x^{4} + \frac{x^{6}}{3} dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{3} + x^{2} dx + \int_{2}^{3} 9 - 9 x + 6 x^{2} - \frac{4 x^{3}}{3} dx = \frac{1207}{210} \end{matrix}

∙

Orden “

dx d y

”

\begin{matrix} I & = & \int 10 [\int 3 - y \sqrt{y} x^{2} + y^{2} dx] ddy \\ = & \int_{0}^{1} [{\frac{x^{3}}{3} + x y^{2} |}_{\sqrt{y}}^{3 - y}] dy \\ = & \int_{0}^{1} \frac{{(3 - y)}^{3}}{3} + (3 - y) y^{2} - (\frac{{\sqrt{y}}^{3}}{3} + y^{2} \sqrt{y}) dy \\ = & \frac{1207}{210} \end{matrix}

Ejemplo139

Considere la integral $I = \int 10 \int x - x^{3} f (x, y) d y dd x + \int 41 \int x x - 2 f (x, y) d y dd x$ . Dibuje la región de integración y reescriba la integral en el orden “ $dx d y$ .”

Solución. La región de integración en la primera integral es $0 \leq x \leq 1$ y $x \leq y \leq - x^{3} .$ La región de integración en la segunda integral es $1 \leq x \leq 4$ y $x \leq y \leq x - 2 .$