Considere una región $R$ de área $A_R={\int }_0^1{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{2x}^{3-x^2}\mathit{dydx}$

1.

Dibuje la región $R$

2.

Plantee la o las integrales que permiten calcular $A_R$ en el orden de integración $\mathit{dxdy}$.

3.

Calcule $A_R$

Solución.

1.

Dibuje la región $R:$ La integral $A_R={\int }_0^1{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{2x}^{3-x^2}\mathit{dydx}$ nos dice que la región $R$ está entre las curvas $y=2x$ (abajo) y $y=3-x^2$ (arriba), entre $x=0$ y $x=1.$

2.

Para calcular $A_R$ en el orden de integración $\mathit{dxdy}$ debemos despejar $x$ como función de $y.$
$$x={\displaystyle \frac{y}{2}}\text{ y }x=+\sqrt{3-y}$$

Además debemos calcular la intersección entre estas curvas para poder partir la región apropiadamente.

$y=2x\cap y=3-x^2⟹2x=3-x^3⟹x=1\wedge y=2$

La región queda de la siguiente manera

$$A_R={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\frac{y}{2}}\mathit{dydx}+{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_2^3{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\sqrt{3-y}}\mathit{dydx}$$

3.

$A_R={\int }_0^1{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{2x}^{3-x^2}\mathit{dydx}={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{2x}^{3-x^2}{y|}_{2x}^{3-x^2}\mathit{dx}={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1(3-x^2-2x)\mathit{dx}={\displaystyle \frac{5}{3}}u{l}^2$