Introduccion: Sumas de Riemann en una variable

1. Introducción: Sumas de Riemann en una variable

La idea de la integral de Riemann es que la integral definida no dependa de la derivada exclusivamente. La integral se define informalmente como el límite de la suma de las áreas orientadas de los rectángulos bajo la curva en $[a, b]$ , cuando $max (Δ x_{k}) \to 0$ .

\int_{a}^{b} f (x) dx = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) Δ_{k}

Fig. 6.1: Suma de Riemman

S_{n}

(hacer clic para ver el widget)

Funciones integrables en el sentido Riemann

1

Las funciones continuas en

[a, b]

y también las funciones acotadas y continuas excepto en conjunto "medible" (con medida cero^a) de puntos en

[a, b]

, son integrales en el sentido Riemann

2

Cálculo: Si

f

es integrable en el "sentido Riemann", entonces se puede calcular la integral con

\int_{a}^{b} f (x) dx = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) \frac{(b - a)}{n}

usando cualquier escogencia fija de los $ξ_{k} :$ Puntos medios, extremo $x_{k - 1}$ , extremo $x_{k}$ , etc.

3

Torema fundamental del cálculo. Si

f

es integrable en

[a, b]

F^{'} (x) = f (x)

para todo

x \in [a, b],

entonces

\int_{a}^{b} f (x) dx = F (x) |_{b}^{a} = F (b) - F (a)

Si $g$ es continua en $[a, b]$ (por tanto integrable), entonces definimos la función $G$ como

G (x) : = \int_{a}^{x} g (t) dt, x \in [a, b]

Entonces $G$ es continua en y $G^{'} (x) = g (x)$ en $[a, b]$

Hay varias nociones de ’integral’ (como la Integral de Riemann, Darboux, Lebesgue, Gauge o Birkhoff, etc.), pero en este libro usaremos exclusivamente la integral en el sentido de Riemann, ya que es suficiente para nuestros propósitos. Las demás nociones son generalizaciones de ésta o definiciones diseñadas en otro sentido para resolver problemas específicos.

Particiones. Una partición

P

del intervalo

[a, b]

es cualquier conjunto finito de puntos:

P = {x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

tales que:

a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b .

Esta partición divide al intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos $[x_{k - 1}, x_{k}]$ , cuya longitud es $Δ x_{k} = x_{k} - x_{k - 1}$ .

La norma de la partición $P$ , denotada por $| | P | |$ , se define como la longitud del subintervalo más grande:

| | P | | = max_{1 \leq k \leq n} {Δ x_{k}} .

Decir que $| | P | | \to 0$ implica que todos los subintervalos se hacen arbitrariamente pequeños, condición necesaria para la definición rigurosa de la integral de Riemann.

Particiones regulares. Estas particiones son particiones "igualmente espaciadas". Consideremos una partición "igualmente espaciada" del intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos

P = {[x_{0}, x_{1}], [x_{1}, x_{2}], . . ., [x_{n - 1}, x_{n}]}

donde $Δ x_{i} = | x_{i - 1} - x_{i} | = \frac{b - a}{n} = Δ x,$ es decir, $x_{k} = a + k \cdot Δ x$

Fig. 6.2: Parición de

[a, b]

Sumas de Riemann

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Definición 20 — Integral de Riemann.

Sea $f$ una función acotada definida en $[a, b]$ . Se dice que $f$ es integrable en el "sentido Riemann" en $[a, b]$ si existe un número $I$ tal que para cualquier sucesión de particiones $P_{n}$ con norma $| | P_{n} | | \to 0$ y cualquier elección de puntos de muestra $ξ_{k} \in [x_{k - 1}, x_{k}]$ , se cumple que:

lim_{| | P | | \to 0} \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) Δ x_{k} = I

donde $Δ x_{k} = x_{k} - x_{k - 1}$ y $| | P | | = max {Δ x_{k}}$ . La condición $| | P | | \to 0$ garantiza que todos los subintervalos se hagan arbitrariamente pequeños, sin exigir que sean iguales.

1: Si $f$ es integrable, escribimos $\int_{a}^{b} f (x) dx = I$ .
2: Convenio: $\int_{a}^{a} f (x) dx = 0$ .
3: Convenio: $\int_{a}^{b} f (x) dx = - \int_{b}^{a} f (x) dx$ .

Ahora ya no dependemos de la derivada para integrar una función.

1

f

es integrable y

g

es acotada en

[a, b]

y si

f (x) = g (x)

[a, b]

excepto en un número finito de puntos, entonces

\int_{a}^{b} f (x) dx = \int_{a}^{b} g (x) dx

Por ejemplo $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ es acotada en $[0, 2]$ (tiene una discontinuidad evitable en $x = 1$ ), entonces

\int_{0}^{2} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} dx = \int_{0}^{2} x + 1 dx

Teorema 23 — (TFC).

1.

f

es R-integrable en

[a, b]

F^{'} (x) = f (x)

para todo

x \in [a, b],

entonces

\int_{a}^{b} f (x) dx = F (x) |_{b}^{a} = F (b) - F (a)

2.

g

es continua en

[a, b]

(por tanto R-integrable), entonces definimos la función

G

como

G (x) : = \int_{a}^{x} g (t) dt, x \in [a, b]

Entonces $G$ es continua en y $G^{'} (x) = g (x)$ en $[a, b]$

Funciones definidas por una integral

Cuando una función $f$ no tiene primitiva elemental, como es el caso de $e^{- x^{2}},$ $\frac{sin x}{x},$ $\sqrt{1 - x^{4}}$ , etc., el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que sí existe una primitiva para $f$ , aunque no podamos calcularla y, en ese caso, podemos definir una nueva función.

Por ejemplo,

1: $erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{x} e^{- t^{2}} dt$
2: $Si (x) = ∫_{0}^{x} \frac{sin t}{t} dt$
3: $F (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1 - t^{4}}}$ (función elíptica)

Cálculo del área de una región. Si una región

R

está entre dos funciones continuas

f

g

en un intervalo

[a, b]

, tal que

f (x) \geq g (x)

en este intervalo, entonces el área de la región

R

, denotada

A_{R}

, es

A_{R} = \int_{a}^{b} f (x) - g (x) dx