Integral doble

2. Integral doble

Sea

R = [a, b] \times [c, d],

y sea

f : ℝ^{2} \to ℝ

una función definida y acotada sobre

R .

Supongamos que

M_{R} = {R_{11}, R_{12}, . . . R_{nm}}

es un conjunto de

nm

rectángulos que conforman una malla que cubre

R

(Figura 6.3). El área de cada celda

R_{ij}

la denotamos con

Δ A_{ij} .

La malla

M_{R}

es el conjunto de rectángulos

R_{ij} = [x_{i}, x_{i + 1}] \times [y_{j}, y_{j + 1}]

de área

Δ A_{ij} = Δ x_{i} Δ y_{j} .

Fig. 6.3: Malla de

nm

rectángulos

Una suma de Riemann de

f

sobre

R

es una expresión de la forma

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} f (x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) Δ A_{ij} donde (x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) \in R_{ij}

Si $f$ es continua y positiva sobre $R,$ entonces $f (x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) Δ A_{ij}$ aproxima el volumen de cada paralelepípedo $P_{ij}$ de base $R_{ij}$ y altura $f (x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*});$ en este caso la suma de Riemann aproxima el volumen del sólido entre la región $R$ (en el plano $XY$ ) y el gráfico de $f .$

Fig. 6.4:

Diámetro de la malla. El diámetro de cada celda

R_{ij}

es la máxima distancia entre todas las distancias entre cualesquiera dos puntos en

R_{ij}

y se denota

| | R_{ij} | | .

El diámetro de la malla

M_{R}

| | M_{R} | | = Sup_{ij} {| | R_{ij} | |} .

Conforme

| | M_{R} | | \to 0,

el área de cada celda tiende a cero, es decir,

Δ A_{ij} \to 0

y la cantidad de celdas se hace infinitamente grande:

n \to \infty

Volumen. Si $f$ es continua y no negativa en la región $R,$ en el pl;ano $XY$ , entonces el siguiente límite existe,

V_{Q} = lim_{| | M | | \to 0} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} f (x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) Δ A_{ij} con nm = Card (M)

y $V_{Q}$ es el volumen de sólido $Q,$ limitado por la región $R$ en el plano $XY$ , y la superficie $S : z = f (x, y) .$ El límite se toma sobre todas las posibles mallas rectángulares $M_{R}$ con $(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*})$ cualquier punto de $R_{ij} .$ En particular se puede tomar como $(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*})$ los extremos $(x_{i}, y_{j}) .$

Caso general. Suponiendo que

f

es continua sobre una región

R

en el plano

XY

y que la región

R

está limitada por una curva suave a trozos (con un número finito de trozos), entonces conforme

| | M | | \to 0

, el área de cada celda tiende a cero (

Δ A_{k} \to 0

) y la cantidad de celdas se hace infinitamente grande. La unión de los rectángulos

R_{ij}

contenidos en

R

se va ajustando a la región

R

conforme la malla se refina.

El volumen de $Q$ se obtiene como:

V = lim_{| | M | | \to 0} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} f (x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) Δ A_{ij} con (x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) \in R_{ij}

donde el límite se toma sobre todas las mallas $M$ cuya norma tiende a cero, y $(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*})$ es cualquier punto de muestra dentro del rectángulo $R_{ij}$ (la función se debe definir como nula, fuera de la región $R$ ). La generalización de estas ideas no requiere que $f$ sea no negativa; solo requiere que el límite exista (es decir, que $f$ sea integrable).

Fig. 6.5:

Definición 21 — Función integrable.

Si las sumas de Riemann de $f$ convergen a un límite único, independiente de la elección de los puntos de muestra $(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*})$ en cada sub-rectángulo, conforme la norma de la malla $∥ M ∥ \to 0$ para cualquier sucesión de particiones, entonces decimos que $f$ es integrable sobre $R$ . En este caso, la integral doble se define como:

\iint_{R} f (x, y) dA = lim_{∥ M ∥ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} f (x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) Δ x_{i} Δ y_{j}

donde el límite se toma sobre todas las particiones de la región $R$ cuya norma tiende a cero.

Las propiedades de las funciones integrables en dos variables son similares a las propiedades de las funciones integrables en una variable.

Teorema 24 — Funciones integrables.

1

f

es continua sobre

R

(cerrado y acotado), entonces

f

es integrable sobre

R

2

f

es acotada y el conjunto de sus discontinuidades en

R

tiene área cero (en particular, si es continua excepto quizás en un conjunto finito de puntos o a lo largo de un número finito de curvas suaves, como segmentos de recta o arcos de círculo), entonces

f

es integrable sobre

R

3

f

es integrable, entonces el valor del límite es el mismo para cualquier elección de los puntos muestra

(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*})

. En consecuencia, para calcular la integral (una vez que sabemos que existe), podemos elegir cualquier conjunto de puntos muestra, por ejemplo los extremos de cada subintervalo o los puntos medios, siempre que tomemos particiones cuya norma tienda a cero.

Si la región es un rectángulo

R = [a, b] \times [p, q]

y se toman particiones regulares (subintervalos de igual longitud), entonces:

Δ x_{i} = \frac{b - a}{n}, Δ y_{j} = \frac{q - p}{m}, por lo que Δ A_{ij} = Δ x_{i} Δ y_{j} = \frac{(b - a) (q - p)}{nm} .

Si la región no es rectangular, debemos definir la función como nula fuera de la región y aplicar la misma fórmula (siempre que la frontera de la región tenga área cero).

Teorema 25 — Propiedades de la funciones integrables.

1

f

g

son integrables sobre regiones

R

S

que no se traslapan, entonces

f

es integrables sobre

R \cup S

\iint_{R \cup S} f (x, y) dA = \iint_{R} f (x, y) dA + \iint_{S} f (x, y) dA

2

f

g

son integrables sobre

R

f (x, y) \leq g (x, y)

para todo

(x, y) \in R

, entonces

\iint_{R} f (x, y) dA \leq \iint_{R} g (x, y) dA

3

f

es integrable sobre

R

M \leq f (x, y) \leq m

para todo

(x, y) \in R

, entonces, si

A (R)

es el área de

R

m A (R) \leq \iint_{R} f (x, y) dA \leq M A (R)

La hipótesis "...son integrables sobre regiones $R$ y $S$ que no se traslapan.." es una condición suficiente, pero en realidad no hay problema si se superponen en conjuntos de "medida cero" (por ejemplo, una línea o un conjunto finito de puntos).

Ejemplo145Cálculo de integrales triples

[Aproximación de un volumen]

Consideremos el sólido

Q

limitado por la superficie

S_{1} : z = 8 - x^{2} - y^{2}

y el cilindro

S_{2} : x^{2} + y^{2} - 4

en el primer octante, tal y como se muestra en la Figura 6.6. La región de integración

R

sería el cuarto de círculo de radio

2

en el primer cuadrante.
La función

f (x, y) = 8 - x^{2} - y^{2}

es integrable en esta región

R .

Podemos aproximar el volumen del sólido

Q

usando la aproximación

\iint_{R} f (x, y) dA \approx \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} f (x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) Δ A_{ij}

Fig. 6.6:

La región de integración no es rectangular, pero para nuestra aproximación podemos tomar los puntos $(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}$ en el interior de la región.

Usando $Δ x = Δ y = 0.5,$ tendríamos una malla regular de $8$ rectángulos, cada uno de área $0 . 5^{2} .$

Fig. 6.7:

Calculamos

f (x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) = f (x_{i}, y_{i})

para cada

x_{i} = i \cdot 0.5, y_{i} = i \cdot 0.5

en la malla

$x_{i}$	$y_{i}$	$f (x_{i}, y_{i})$	$x_{i}$	$y_{i}$	$f (x_{i}, y_{i})$	$x_{i}$	$y_{i}$	$f (x_{i}, y_{i})$	$x_{i}$	$y_{i}$	$f (x_{i}, y_{i})$

$0.5$	$0.5$	$7.5$	$0.5$	$1 .$	$6.75$	$0.5$	$1.5$	$5.5$

$1 .$	$0.5$	$6.75$	$1 .$	$1 .$	$6 .$	$1 .$	$1.5$	$4.75$

$1.5$	$0.5$	$5.5$	$1.5$	$1 .$	$4.75$