Aplicacion: Calculo del centro de masa

6. Aplicación: Cálculo del centro de masa

Consideremos el "subeybaja" uniforme de la figura con masas $m_{1}$ y $m_{2}$ en cada extremo.

Figura 6.13: El "subeybaja" está en equilibrio si

x_{1} m_{1} + x_{2} m_{2} = 0

Si situamos el "subeybaja" en un sistema de coordenadas $XY$ con el punto de apoyo ("fulcro") en el origen. En este caso, las coordenadas $x_{1}, x_{2}$ cumplen $x_{2} < 0 < x_{1} . .$ El "subeybaja"está en equilibrio si

m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} = 0

En este caso, si la suma da cero, el centro de masa ("punto de balance") sería el origen. El punto de balance o centro de masa los denotamos con $\bar{x} .$

Momento. Si tenemos $k$ cuerpos de masa $m_{i}$ entonces el producto $m_{i} x_{i}$ se llama "momento" de este cuerpo respecto al origen del sistema de coordenadas y $m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + . . . + m_{k} x_{k}$ se llama el "momento total" respecto al origen.

Para encontrar el centro de masa se usa el siguiente principio de la física

El centro de masa es el punto

\bar{x}

con la propiedad de que si toda la masa del sistema fuera concentrada allí, el momento total del nuevo sistema debe ser el mismo que el del sistema original

Es decir, si

M = m_{1} + m_{2} + . . . + m_{k}

es la masa total, entonces el centro de masa

\bar{x}

cumple

M \bar{x} = x_{1} m_{1} + m_{2} x_{2} + . . . + x_{k} m_{k}

Tenemos entonces

\bar{x} = \frac{x_{1} m_{1} + m_{2} x_{2} + . . . + x_{k} m_{k}}{M}

En dos y tres dimensiones la idea es similar: Tenemos $k$ cuerpos, el cuerpo $i$ tiene masa $m_{i}$

Figura 6.14: Sistema de

k

masas en

ℝ^{2}

Figura 6.15: Sistema de

k

masas en

ℝ^{3}

El "momento" mide como el sistema se balancea respecto al sistema de coordenadas. Las coordenadas $x_{i}$ miden la posición relativa respecto al eje $Y$ y las coordenadas $y_{i}$ miden la posición relativa respecto al eje $X$

Momento total respecto al eje Y = \sum_{i = 1}^{k} m_{i} x_{i}

Momento total respecto al eje X = \sum_{i = 1}^{k} m_{i} y_{i}

Nuestro principio físico dice que el centro de masa es el punto

(\bar{x}, \bar{y})

tal que

M \bar{x} = \sum_{i = 1}^{k} m_{i} x_{i} ⟹ \bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} m_{i} x_{i}}{M}

M \bar{y} = \sum_{i = 1}^{k} m_{i} y_{i} ⟹ \bar{y} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} m_{i} y_{i}}{M}

Y en tres dimensiones el centro de masa

\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}

se define de manera similar.

En el caso "continuo" en $ℝ^{2},$ tenemos la masa distribuida de una manera continua a través del sistema. Imaginemos que tenemos una "lámina delgada" con densidad $ρ (x, y)$ en cada punto $(x, y) .$ La "lámina" es una región $D$ del plano $XY,$ entonces el centro de masa es el punto $(\bar{x}, \bar{y}) :$

${\begin{matrix} \bar{x} & = & \frac{Momento total respecto al eje Y}{Masa total} & = & \frac{\iint_{D} x ρ (x, y) dA}{M} \\ con M = \iint_{D} ρ (x, y) dA \end{matrix}$

Figura 6.16: "Lámina"

D

con densidad

ρ (x, y)

en cada punto

(x, y)

Intuitivamente, el término " $ρ (x, y) dA$ " representa la masa de una pieza de lámina "inifinitamente pequeña" y $M = \iint_{D} ρ (x, y) dA$ es el límite de las sumas de las masas "locales", es decir, la masa total. Las otras integrales son el límite de las sumas de los "momentos" correspondientes.

Valor promedio de una función. El valor promedio de una función es

f : ℝ^{2} \to ℝ

sobre

D

{\bar{f}}_{D} = \frac{\iint_{D} f (x, y) dA}{\iint_{D} 1 \cdot dA}

Ejemplo142

Considera la región

D,

en la figura a al derecha, que representa una "lámina"de densidad

ρ (x, y) = x^{2} + y .

Calcule su centro de masa.
Solución.

${\begin{matrix} \bar{x} & = & \frac{\iint_{D} x ρ (x, y) dA}{\iint_{D} ρ (x, y) dA} \end{matrix}$

Figura 6.17: Región

D

: Lámina de densidad

ρ (x, y) = x^{2} + y .

Masa

M = \int_{- 3}^{3} \int_{x^{2}}^{9} (x^{2} + y) dydx = \frac{1296}{5}

{\begin{matrix} \bar{x} & = & \frac{\int_{- 3}^{3} \int_{x^{2}}^{9} x (x^{2} + y) dydx}{M} = 0 \end{matrix}

El centro de masa es

(\bar{x}, \bar{y}) \approx (0, 6.43)

Figura 6.18: Centro de masa

(\bar{x}, \bar{y})

Puede pasar que el entro de masa quede fuera de la región

D,

por ejemplo en el caso de que

D

sea un anillo o tenga forma de herradura, con densidad uniforme

Ejemplo143

Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región que se muestra a la derecha y tiene función de densidad

ρ (x, y) = x + e^{5 y + 5}

Figura 6.19: Lámina con

ρ (x, y) = x + e^{5 y + 5}

Solución. Masa $M = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 - x} (x + e^{5 y + 5}) dydx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{x} (x + e^{5 y + 5}) dydx \approx 259703 .$

$\bar{x} = \frac{\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 - x} x (x + e^{5 y + 5}) dydx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{x} x (x + e^{5 y + 5}) dydx}{M} \approx 1$

$\bar{y} = \frac{\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 - x} y (x + e^{5 y + 5}) dydx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{x} y (x + e^{5 y + 5}) dydx}{M} \approx 1.607187$

Observe que en este caso el centro de massa está fuera de la la lámina: $(\bar{x}, \bar{y}) \approx (1, 1.607)$

Figura 6.20: Centro de masa

(\bar{x}, \bar{y})