Ejercicios

7.1

Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región que se muestra a la derecha y tiene función de densidad

ρ (x, y) = 3 x^{2} + 3 y^{2}

Figura 6.21: Lámina de densidad

ρ (x, y) = 3 x^{2} + 3 y^{2}

Masa

M = 86

$\bar{x} = \frac{17}{10}$

$\bar{y} = \frac{322}{215}$

7.2

Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región que se muestra a la derecha y tiene función de densidad

ρ (x, y) = x^{2} + y^{3}

Figura 6.22: Lámina de densidad

ρ (x, y) = x^{2} + y^{3}

Masa

M = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 - x} (x^{2} + y^{3}) dydx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{x} (x^{2} + y^{3}) dydx = \frac{109}{15} .

$\bar{x} = \frac{\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 - x} x (x^{2} + y^{3}) dydx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{x} x (x^{2} + y^{3}) dydx}{M} \approx 1.3211$

$\bar{y} = \frac{\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 - x} y (x^{2} + y^{3}) dydx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{x} y (x^{2} + y^{3}) dydx}{M} \approx 1.04128$

Centro de masa $(\bar{x}, \bar{y}) \approx (1.3211, 1.04128)$

7.3Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región

D = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que - 1 \leq x \leq 1 \land 0 \leq y \leq 1}

y tiene función de densidad $ρ (x, y) = x^{2}$

Se omite.

7.4Hallar el promedio de

f (x, y) = y sen (xy)

sobre

D = [0, π] \times [0, π]

Se omite.

7.5Hallar el promedio de

f (x, y) = e^{x + y}

sobre el triángulo de vértices

(0, 0), (0, 1)

y

(1, 0)

Se omite.