Teorema de Fubini

4. Teorema de Fubini

El teorema de Fubini establece que si $f$ es continua sobre una región elemental $R$ (Figuras 6.15 y 6.16) o una combinación de ellas, $f$ es Riemann integrable y la integral doble se puede evaluar por “integración parcial” respecto a cada variable, una a la vez. Este es el método de “integrales iteradas”. Primero debemos especificar dos maneras de describir la región.

Regiones elementales

1

Tipo I. Región entre las curvas

y = g_{1} (x)

y = g_{2} (x) .

R = {(x, y) \in ℝ^{2} tq a \leq x \leq b y g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x)}

con $g_{1}$ y $g_{2}$ funciones continuas en $[a, b]$ .

Fig. 6.15:

3

Tipo II. Región entre las curvas

x = h_{1} (y)

x = h_{2} (y) .

R = {(x, y) \in ℝ^{2} tq p \leq y \leq q y h_{1} (y) \leq x \leq h_{2} (y)}

con $h_{1}$ y $h_{2}$ funciones continuas en $[p, q] .$

Fig. 6.16:

Teorema 26 — Fubini.

1

Sea

R = {(x, y) \in ℝ^{2} tq a \leq x \leq b y g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x)}

con $g_{1}$ y $g_{2}$ funciones continuas en $[a, b] .$

Si $f$ es continua en $R,$ entonces

\begin{matrix} \iint_{R} f (x, y) d A & = & \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y d x \\ = & \int_{a}^{b} [\int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y] d x \end{matrix}

2

Sea

R = {(x, y) \in ℝ^{2} tq p \leq y \leq q y h_{1} (y) \leq x \leq h_{2} (y)}

con $h_{1}$ y $h_{2}$ funciones continuas en $[p, q] .$

Si $f$ es continua en $R,$ entonces

\begin{matrix} \iint_{R} f (x, y) d A & = & \int_{p}^{q} \int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f (x, y) d x d y \\ = & \int_{p}^{q} [\int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f (x, y) d x] d y \end{matrix}

f

es integrable en un rectángulo

R = [a, b] \times [p, q]

entonces

\begin{matrix} \iint_{R} f (x, y) d A & = & \int_{p}^{q} \int_{a}^{b} f (x, y) d x d y \\ = & \int_{a}^{b} \int_{p}^{q} f (x, y) d y d x \end{matrix}

Ejemplo146Cálculo de integrales dobles

Sea

R

la región de la Figura 6.17. Vamos a calcular

\iint_{R} xy d A

usando el orden de integración "

dy d x

" y el orden de integración "

dx d y

Fig. 6.17: Región

R

1: Integrando en el orden “ $dy dx$ ”: En este caso, la variable independiente es $x .$ Entonces la región $R$ está entre las curvas $y = x$ (arriba) y $y = \frac{x^{2}}{2}$ (abajo), entre $x = 0$ y $x = 2 .$

$\begin{matrix} \iint_{R} xy d A & = & \int_{0}^{2} [\int_{\frac{x^{2}}{2}}^{x} xy d y] dx \\ = & \int_{0}^{2} [{x \frac{y^{2}}{2} |}_{\frac{x^{2}}{2}}^{x}] dx \\ = & \int_{0}^{2} [x \frac{x^{2}}{2} - x \frac{x^{4}}{8}] dx = \frac{2}{3} \end{matrix}$
2: Integrando en le orden “ $dx dy$ ”: En este caso, la variable independiente es $y .$ Entonces la región estrá entre $x = y$ ("abajo") y $x = \sqrt{2 y}$ ("arriba") entre $y = 0$ y $y = 2 .$

$\begin{matrix} \iint_{R} xy d A & = & \int_{0}^{2} [\int_{y}^{\sqrt{2 y}} xy dx] dy \\ = & \int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{2} y |_{y}^{\sqrt{2 y}} y \\ = & \int_{0}^{2} [\frac{2 y}{2} y - \frac{y^{2}}{2} y] dy = \frac{2}{3} \end{matrix}$

Ejemplo147Cálculo de integrales dobles

Considere la integral

I = \iint_{R} (x^{2} + y^{2}) d A,

donde

R

es la región de la Figura 6.18.

Vamos a calcular esta integral doble, usando el orden de integración “ $dy d x$ ” y el orden de integración “ $dx d y$ .”

Fig. 6.18: Región

R

En este ejemplo se muestra como el número de regiones de integración puede variar, de acuerdo a la elección del orden de integración.

1

Orden “

dy d x

”: en este caso

R = R_{1} \cup R_{2} \cup R_{3} .

La manera de ver la región es como sigue,

Fig. 6.19:

\begin{matrix} \iint_{R} x^{2} + y^{2} d A & = & \iint_{R_{1}} (x^{2} + y^{2}) d y d x + \iint_{R_{2}} (x^{2} + y^{2}) d y d x + \iint_{R_{3}} (x^{2} + y^{2}) d y d x \\ = & \int_{0}^{1} [\int_{0}^{x^{2}} x^{2} + y^{2} dy] dx + \int_{1}^{2} [\int_{0}^{1} x^{2} + y^{2} dy] dx + \int_{2}^{3} [\int_{0}^{3 - x} x^{2} + y^{2} dy] dx \\ = & \int_{0}^{1} {x^{2} y + \frac{y^{3}}{3} |}_{0}^{x^{2}} dx + \int_{1}^{2} {x^{2} y + \frac{y^{3}}{3} |}_{0}^{1} dx + \int_{2}^{3} {x^{2} y + \frac{y^{3}}{3} |}_{0}^{3 - x} dx \\ = & \int_{0}^{1} x^{4} + \frac{x^{6}}{3} dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{3} + x^{2} dx + \int_{2}^{3} 9 - 9 x + 6 x^{2} - \frac{4 x^{3}}{3} dx = \frac{1207}{210} \end{matrix}

2

Orden “

dx d y

”

\begin{matrix} I & = & \int_{0}^{1} [\int_{\sqrt{y}}^{3 - y} x^{2} + y^{2} dx] dy \\ = & \int_{0}^{1} [{\frac{x^{3}}{3} + x y^{2} |}_{\sqrt{y}}^{3 - y}] dy \\ = & \int_{0}^{1} 9 - 9 y + 6 y^{2} - \frac{4 y^{3}}{3} - \frac{y^{3 ∕ 2}}{3} (1 + 3 y) dy \\ = & \frac{1207}{210} \end{matrix}

Fig. 6.20:

Ejemplo148Cálculo de integrales dobles

Considere la integral $I = \int_{0}^{1} \int_{- x^{3}}^{x} f (x, y) d y d x + \int_{1}^{4} \int_{x - 2}^{x} f (x, y) d y d x$ . Dibuje la región de integración y reescriba la integral en el orden “ $dx d y$ .”

Solución.

1

La región de integración en la primera integral

\int_{0}^{1} \int_{- x^{3}}^{x} f (x, y) d y d x

0 \leq x \leq 1 y x \leq y \leq - x^{3} .

2

La región de integración en la segunda integral

\int_{1}^{4} \int_{x - 2}^{x} f (x, y) d y d x

1 \leq x \leq 4 y x \leq y \leq x - 2 .

En la Figura 6.21 aparece la región de integración. Si $y$ es la variable independiente, $R = R_{1} \cup R_{2} \cup R_{3} .$

Fig. 6.21:

3

Orden “

dx d y

”

\begin{matrix} \iint_{R} f (x, y) d A & = & \iint_{R_{3}} f (x, y) d A + \iint_{R_{2}} f (x, y) d A + \iint_{R_{1}} f (x, y) d A \\ = & \int_{2}^{4} \int_{y}^{4} f (x, y) dx dy + \int_{0}^{2} \int_{y}^{y + 2} f (x, y) dx dy + \int_{- 1}^{0} \int_{- \sqrt[3]{y}}^{y + 2} f (x, y) dx dy \end{matrix}

Ejemplo149Cálculo de integrales dobles

Sea $I = \int_{- 2}^{- 1} \int_{4 - 4 {(x + 2)}^{2}}^{x + 6} d y d x + \int_{- 1}^{0} \int_{x + 1}^{x + 6} d y d x .$

1: Dibuje la región de integración.
2: Plantear la integral o las integrales que corresponden a $I$ invirtiendo el orden de integración.

Solución.

1

De la integral

\int_{- 2}^{- 1} \int_{4 - 4 {(x + 2)}^{2}}^{x + 6} d y d x

tenemos la subregión

4 - 4 {(x + 2)}^{2} \leq y \leq x + 6 si - 2 \leq x \leq - 1

2

De la integral

\int_{- 1}^{0} \int_{x + 1}^{x + 6} d y d x

tenemos la subregión

x + 1 \leq y \leq x + 6 si - 1 \leq x \leq 0

Fig. 6.22:

2

Para integrar en el orden “

dx d y

” hay que partir la región en tres subregiones (que podemos visualizar con el widget )

R_{1}, R_{2}, R_{3} .

${\begin{matrix} R_{1} : - 2 + \frac{\sqrt{4 - y}}{2} \leq x \leq y - 1 & si & 0 \leq y \leq 1 \\ R_{2} : - 2 + \frac{\sqrt{4 - y}}{2} \leq x \leq 0 & si & 1 \leq y \leq 4 \\ R_{3} : y - 6 \leq x \leq 0 & si & 4 \leq y \leq 6 \end{matrix}$

Luego,

I = \int_{0}^{1} \int_{- 2 + \frac{\sqrt{4 - y}}{2}}^{y - 1} d x d y + \int_{1}^{4} \int_{- 2 + \frac{\sqrt{4 - y}}{2}}^{0} d x d y + \int_{4}^{6} \int_{y - 6}^{0} d x d y

Área de una región

Área de una región R De acuerdo con nuestra definición de integral doble, el área

A_{R}

de una región

R

se puede calcular con la integral doble (“área de la base

\times

altura”)

A_{R} = \iint_{R} 1 dA

Ejemplo150Cálculo de una integral doble. Dibujar la región

Considere una región $R$ con área se puede describir y calcular con $A_{R} = \int_{0}^{1} \int_{2 x}^{3 - x^{2}} dydx$

1: Dibuje la región $R$
2: Plantee la o las integrales que permiten calcular $A_{R}$ en el orden de integración $dxdy$ .
3: Calcule $A_{R}$

Solución.

1: Dibuje la región $R :$ La integral $A_{R} = \int_{0}^{1} \int_{2 x}^{3 - x^{2}} dydx$ nos dice que la región $R$ está entre las curvas $y = 2 x$ (abajo) y $y = 3 - x^{2}$ (arriba), entre $x = 0$ y $x = 1 .$

Fig. 6.23: Región de integración

R

2

Para calcular

A_{R}

en el orden de integración

dxdy

debemos despejar

x

como función de

y .

x = \frac{y}{2} y x = + \sqrt{3 - y}

Además debemos calcular la intersección entre estas curvas para poder partir la región apropiadamente.

$\begin{matrix} y = 2 x \cap y = 3 - x^{2} & ⟹ & 2 x = 3 - x^{3} \\ ⟹ & x = 1 y_{u} y = 2 \end{matrix}$

Región de integración

R = R_{1} + R_{2}

: El área de la región se puede calcular con $A_{R} = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{y}{2}} dydx + \int_{2}^{3} \int_{0}^{\sqrt{3 - y}} dydx$

3: $A_{R} = \int_{0}^{1} \int_{2 x}^{3 - x^{2}} dydx = \int_{0}^{1} \int_{2 x}^{3 - x^{2}} {y |}_{2 x}^{3 - x^{2}} dx = \int_{0}^{1} (3 - x^{2} - 2 x) dx = \frac{5}{3} u l^{2}$