Ejercicios

5. Ejercicios

5.1 Considere la integral

I = \int_{0}^{1} \int_{2 y^{2}}^{3 - \sqrt{y}} 36 dxdy + \int_{- 1}^{0} \int_{0}^{3 (y + 1)} 36 dxdy

1.: Dibuje la región $R$ de integración.
2.: Plantee la integral $I$ en el orden de integración $dydx$ .
3.: Calcule $I$

\begin{matrix} I & = & \int_{0}^{2} \int_{x ∕ 3 - 1}^{\sqrt{x ∕ 2}} 36 dydx + \int_{2}^{3} \int_{x ∕ 3 - 1}^{{(x - 3)}^{2}} 36 dydx \\ = & \int_{0}^{2} (- 12 x + 18 \sqrt{2 x} + 36) dx + \int_{2}^{3} (36 x^{2} - 228 x + 360) dx \end{matrix}

5.2 El área de la región

R_{xy}

viene dada por

\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} dx dy + \int_{1}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 - y}} dx dy .

Dibuje la región

R_{xy}

y calcule la integral en el orden

dy dx .

A_{R} = \int_{0}^{1} \int_{x}^{2 - x^{2}} dy dx = 7 ∕ 6

5.3 Considere la integral

I = \int_{0}^{4} \int_{4 - z}^{8 - z^{2} ∕ 2} xy dydz + \int_{- 4}^{0} \int_{4 + z}^{8 - z^{2} ∕ 2} xy dydz .

Dibuje la región de integración y plantear la integral

I

usando el orden de integración

dz dy .

I = \int_{0}^{4} \int_{- \sqrt{16 - 2 y}}^{y - 4} xy dzdy + \int_{0}^{4} \int_{4 - y}^{\sqrt{16 - 2 y}} xy dzdy + \int_{4}^{8} \int_{- \sqrt{16 - 2 y}}^{\sqrt{16 - 2 y}} xy dzdy

5.4 Calcular

\iint_{D} x^{2} cos (y) d A

D

es la región que se muestra en la Figura

Fig. 6.24: Región

D

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{{(x - 1)}^{2} + 1} x^{2} cos (y) dydx + ∫_{1}^{2} ∫_{0}^{x} x^{2} cos (y) dydx \approx 2.54045$

5.5 Considere la región

R

que se muestra en la Figura (región sombreada). Esta región está limitada por las curvas

y = 0;

y = 2;

y = 2 - {(x + 2)}^{2}

x + y = 2

Plantear la integral

\iint_{R} f (x, y) d A

en el orden “

dxdy

” y en el orden “

dydx

”

1.: $I = \int_{0}^{2} \int_{- 2 + \sqrt{2 - y}}^{2 - y} f (x, y) \cdot dxdy$
2.: $I = \int_{- 2}^{- 2 + \sqrt{2}} \int_{2 - {(x + 2)}^{2}}^{2} f (x, y) \cdot dydx + \int_{- 2 + \sqrt{2}}^{0} \int_{0}^{2} f (x, y) \cdot dydx + \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 - x} f (x, y) \cdot dydx$

5.6

Considere la región

R

en la Figura a la derecha. Esta región está limitada por las curvas

y = 0;

y = 2;

y = 2 - {(x + 2)}^{2}

y = {(x - 3)}^{2}

Plantear la integral

\iint_{R} f (x, y) d A

en el orden “

dxdy

” y en el orden “

dydx

”

Cuidado, debe escoger la rama correcta en cada parábola.

$\iint_{R} f (x, y) d A = \int_{0}^{2} \int_{- 2 + \sqrt{2 - y}}^{3 - \sqrt{y}} f (x, y) dx dy$

$\iint_{R} f (x, y) d A = \int_{- 2}^{- 2 + \sqrt{2}} \int_{2 - {(x + 2)}^{2}}^{2} f (x, y) dy dx + \int_{- 2 + \sqrt{2}}^{3 - \sqrt{2}} \int_{0}^{2} f (x, y) dy dx + \int_{3 - \sqrt{2}}^{3} \int_{0}^{{(x - 3)}^{2}} f (x, y) dy dx$

5.7

Use integrales dobles para calcular el área del círculo de ecuación

x^{2} + y^{2} = a^{2}

A = \int_{- a}^{a} \int_{- \sqrt{a^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} 1 \cdot dy dx = a^{2} π