Para calcular ${\iint }_{R_C}1\cdot \mathit{dA}$ debemos dibujar la nueva región de integración $R_{\mathit{uv}}$ en el plano $\mathit{UV}$ a partir de la región $R_{\mathit{xy}}$ dada y el cambio de variable que se indica. Como la inversa del cambio de variable es continua si $v>0,$ esto se puede hacer aplicando el cambio de variable a las curvas frontera de la región $R_{\mathit{xy}}$ y calculando las respectivas curvas en el plano $\mathit{UV}.$

Nueva región. Como $u=\mathit{xy},$ Las curvas $\mathit{xy}=1$ y $\mathit{xy}=2$ corresponden a las curvas $u=1$ y $u=2$ en el plano $\mathit{UV}.$ Como $v={\displaystyle \frac{y}{x^2}},$ las curvas $y=x^2$ y $y=2x^2$ corresponden a las curvas $v=1$ y $v=2$ en el plano $\mathit{UV}.$

El cambio de variable es invertible: El cambio de variable ‘mapea’ la región $R_{\mathit{uv}}$ en la región $R_{\mathit{xy}}$ pues el cambio de variable es invertible y la inversa es continua si $v>0.$ En efecto, como $x>0$ y $y>0$ entonces $u>0$ y $v>0$. Luego como $y=v{x}^2$ $⟹u=x^{3}v,$ de donde $x=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{u}{v}}}$ y $y=v\cdot \sqrt[3]{{\displaystyle \frac{u^2}{v^2}}}.$

Calcular el Jacobiano. Ahora, $J(x,y)=\text{Det}\left[\begin{array}{cc}\hfill u_x\hfill & \hfill u_y\hfill \end{array}\right]=\text{Det}\left[\begin{array}{cc}\hfill y\hfill & \hfill x\hfill \end{array}\right]=3y∕x^2>0,$ pues $x,y>0.$ Como las derivadas parciales de $x$ e $y$ son continuas y el jacobiano es no nulo, entonces por el teorema de la función inversa,

$\bullet$ $J(u,v)={\displaystyle \frac{1}{J(x,y)}}={\displaystyle \frac{1}{3y∕x^2}}={\displaystyle \frac{1}{3v}}>0$ pues $v>0.$

Calcular el área. El área de la región es

$$\begin{array}{ccc}\hfill A_{R_{\mathit{xy}}}& \hfill =\hfill & \int \; <!--\; nolimits\; -->\mathrm{2\; 1}\int \; <!--\; nolimits\; -->\mathrm{2\; 11}\cdot |J(u,v)|\cdot \mathit{du}\mathit{ddv}\hfill \\ \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \int \; <!--\; nolimits\; -->\mathrm{2\; 1}\int \; <!--\; nolimits\; -->\mathrm{2\; 11}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3v}}\cdot \mathit{du}\mathit{ddv}\hfill \\ \hfill \end{array}$$

${\iint }_{R_D}\left({\displaystyle \frac{y}{x^2}}{e}^{\mathit{xy}}\right)\mathit{dA}=...$

Aplicamos el cambio de variable

$$x=\mathit{ar}\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t\text{ y }y=\mathit{br}\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t;\text{ el Jacobiano es }J=rab$$

La nueva región es $D=\{(u,v)\in {ℝ}^2|u^2+v^2\le 1\}.$ Ahora use coordenadas polares.

Transformamos la región $R$ es un círculo con el cambio de variable,
$$u=\frac{(x-1)}{3},v=\frac{y}{5}.\text{ El Jacobiano es }J={\displaystyle \frac{1}{15}}.$$

La nueva región es $D=\{(u,v)\in {ℝ}^2|u^2+v^2\le 1\}.$ Ahora use coordenadas polares.

Se omite.

$I=3∕4(e-e^{-1}).$

Se omite.

Se omite.