Aplicacion: Calculo del centro de masa

6. Aplicación: Cálculo del centro de masa

Consideremos un "subeybaja" uniforme (Figura 6.), con dos cuerpos (o partículas) de masas $m_{1}$ y $m_{2}$ con posición $x_{1}$ y $x_{2}$

Fig. 6.25: El "subeybaja" está en equilibrio si

x_{1} m_{1} + x_{2} m_{2} = 0

Situamos el "subeybaja" en un sistema de coordenadas

XY

con el punto de apoyo ("fulcro") en el origen. En este caso, las coordenadas

x_{1}, x_{2}

cumplen

x_{2} < 0 < x_{1} .

El "subeybaja"está en equilibrio si

m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} = 0

En este caso, si la suma da cero, el centro de masa ("punto de balance") sería el origen. El punto de balance o centro de masa los denotamos con $\bar{x} .$

Si $m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} \neq 0$ , entonces ¿dónde queda el punto de equilibrio?.

Podemos contestar esta pregunta basado en un principio de la física. Si tenemos $k$ cuerpos de masa $m_{i}$ entonces el producto $m_{i} x_{i}$ se llama "momento" de este cuerpo respecto al origen del sistema de coordenadas y $m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + . . . + m_{k} x_{k}$ se llama el "momento total" respecto al origen.

Fig. 6.26: Cuerpos de masa

m_{i}

en posoción

x_{i}

Para encontrar el centro de masa se usa el siguiente principio de la física

El centro de masa es el punto $\bar{x}$ con la propiedad de que si toda la masa del sistema fuera concentrada allí, el momento total del nuevo sistema debe ser el mismo que el del sistema original

Es decir, si la masa total del sistema es

M = m_{1} + m_{2} + . . . + m_{k}

, entonces

M \bar{x} = m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + . . . + m_{k} x_{k}

Por lo tanto el punto de equilibrio es

\bar{x} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + . . . + m_{k} x_{k}}{M}

En el plano

XY

si tenemos

k

cuerpos de masa

m_{i}

en la posición

(x_{i}, y_{i})

entonces el "momento" mide como el sistema se equilibra respecto al sistema de coordenadas.

Fig. 6.27: Centro de masa

\bar{x}

Las coordenadas

x_{i}

miden la posición relativa respecto al eje

Y

y las coordenadas

y_{i}

miden la posición relativa respecto al eje

X

. La intuición es que si

x_{i}

es grande, el punto está lejos del eje

X

y tiene "mucha fuerza" para hacer girar el sistema alrededor de ese eje (como un "sube y baja"). Y de manera análoga sucede si

y_{i}

es grande.

Momento total respecto al eje Y = \sum_{i = 1}^{k} m_{i} x_{i}

Momento total respecto al eje X = \sum_{i = 1}^{k} m_{i} y_{i}

Nuestro principio físico dice que el centro de masa es el punto

(\bar{x}, \bar{y})

tal que

M \bar{x} = \sum_{i = 1}^{k} m_{i} x_{i} ⟹ \bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} m_{i} x_{i}}{M}

M \bar{y} = \sum_{i = 1}^{k} m_{i} y_{i} ⟹ \bar{y} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} m_{i} y_{i}}{M}

ℝ^{3}

calculamos

\bar{x}, \bar{y}

\bar{z}

de manera similar.

Centro de masa. Caso continuo. En el caso "continuo" en

ℝ^{2},

tenemos la masa distribuida de una manera continua a través del sistema. Imaginemos que tenemos una "lámina delgada" con densidad

ρ (x, y)

en cada punto

(x, y) .

La "lámina" es una región

D

del plano

XY

entonces:

M = \iint_{D} ρ (x, y) d A,

el centro de masa es el punto

(\bar{x}, \bar{y})

con

$\bar{x} = \frac{Momento total respecto al eje Y}{Masa total} = \frac{\iint_{D} xρ (x, y) d A}{M}$

\bar{y} = \frac{Momento total respecto al eje X}{Masa total} = \frac{\iint_{D} yρ (x, y) d A}{M}

Intuitivamente, el término " $ρ (x, y) dA$ " representa la masa de una pieza de lámina "inifinitamente pequeña" y $M = \iint_{D} ρ (x, y) dA$ es el límite de las sumas de las masas "locales", es decir, la masa total. Las otras integrales son el límite de las sumas de los "momentos" correspondientes.

Puede pasar que el centro de masa quede fuera de la región $D,$ por ejemplo en el caso de que $D$ sea un anillo o tenga forma de herradura, con densidad uniforme. En general, si la región es "convexa" el centro de masa se mantendrá dentro de la región, pero si la región es "cóncava" si puede salir de la región.

Valor promedio de una función. Si la densidad es constante en una región

D

, entonces

M = \iint_{D} 1 d A,

y el centro de masa es $(\bar{x}, \bar{y})$ con

\bar{x} = \frac{\iint_{D} x d A}{M}, \bar{y} = \frac{\iint_{D} y d A}{M}

Es decir, coincide con el valor promedio de las funciones

f (x, y) = x

f (x, y) = y

. En general, el valor promedio de una función

f : ℝ^{2} \to ℝ

sobre

D

{\bar{f}}_{D} = \frac{\iint_{D} f (x, y) d A}{M}

6..1 Aplicación del Método de Monte Carlo para Integrales Dobles

El método de Monte Carlo es una técnica de aproximación numérica que utiliza la generación de puntos aleatorios para estimar el valor de integrales múltiples. Su fundamento teórico es el teorema del valor medio para integrales dobles

Teorema 27 — Valor Medio para Integrales Dobles.

Si $f$ es una función continua en una región $D \subset ℝ^{2}$ acotada y conexa, entonces existe un punto $P \in D$ tal que

\iint_{D} f (x, y) dA = f (P) \cdot área (D) .

De este teorema se deduce que si

M = \iint_{D} 1 d A,

f (P) = \frac{\iint_{D} f (x, y) dA}{M} = {[f]}_{promedio},

es decir, el valor de $f$ en el punto $P$ es exactamente el valor promedio de $f$ sobre la región $D$ .

La idea central del método Monte Carlo es aproximar este valor promedio seleccionando

n

puntos aleatorios

P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}

D

y calculando el promedio muestral:

\hat{f} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (P_{i}) .

Entonces, $\hat{f} \approx {[f]}_{prom}$ y, por lo tanto,

\iint_{D} f (x, y) dA \approx área (D) \cdot \hat{f} = \frac{área (D)}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (P_{i}) . (1)

Si el área de $D$ es difícil de determinar exactamente, también puede estimarse mediante Monte Carlo: se coloca $D$ dentro de un rectángulo $R$ y se generan $m$ puntos aleatorios en $R$ . Si $r$ denota la fracción de estos puntos que caen dentro de $D$ , entonces

área (D) \approx r \cdot área (R) . (2)

El método es particularmente útil cuando la integral no puede evaluarse mediante primitivas elementales, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo151Aproximación usando el método de Monte Carlo

Consideremos la integral

I = \iint_{D} e^{- (x^{2} + y^{2})} dA,

donde $D$ es el círculo unitario:

D = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1} .

Esta integral no tiene primitiva elemental en coordenadas cartesianas, ya que la función $e^{- x^{2}}$ no es integrable en términos de funciones elementales. Sin embargo, en coordenadas polares podemos calcular su valor exacto:

I = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} e^{- r^{2}} r dr d𝜃 = 2 π {[- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]}_{0}^{1} = π (1 - e^{- 1}) \approx 1.9859 .

Aproximemos ahora $I$ mediante el método de Monte Carlo.

1

Paso 1: Estimar el área de

D

. Colocamos

D

dentro del rectángulo

R = [- 1, 1] \times [- 1, 1]

, que tiene área

área (R) = 4

. Generamos

m = 10 000

puntos aleatorios en

R

y contamos cuántos caen dentro del círculo unitario (

x^{2} + y^{2} \leq 1

). En una simulación típica, obtenemos

r \approx 0.7854

, de modo que

área (D) \approx r \cdot área (R) = 0.7854 \cdot 4 = 3.1416 .

2

Paso 2: Estimar la integral. Generamos

n = 10 000

puntos aleatorios dentro de

D

y calculamos

\hat{f} = \frac{1}{10 000} \sum_{i = 1}^{10 000} e^{- (x_{i}^{2} + y_{i}^{2})} \approx 0.6321 .

Luego, aplicando (1):

I \approx área (D) \cdot \hat{f} \approx 3.1416 \cdot 0.6321 \approx 1.9858 .

3

Comparación:

I_{exacto} = π (1 - e^{- 1}) \approx 1.9859, I_{MC} \approx 1.9858,

con un error relativo inferior al $0.01$ , lo que demuestra la efectividad del método en este caso.

El método de Monte Carlo presenta ventajas significativas:

1.: Flexibilidad: No requiere que la función tenga primitiva elemental.
2.: Facilidad de implementación: Solo requiere la generación de puntos aleatorios y la evaluación de la función.
3.: Escalabilidad: Funciona en cualquier dimensión, siendo especialmente útil en dimensiones altas donde los métodos deterministas son inviables.

Sin embargo, tiene la desventaja de una convergencia lenta, ya que el error es del orden $O (1 ∕ \sqrt{n})$ , lo que exige un número elevado de puntos para obtener alta precisión.

Ejemplo152Cálculo de la masa y el centro de masa

Considera la región

D,

en la figura a al derecha, que representa una "lámina" de densidad

ρ (x, y) = x^{2} + y .

Calcule su centro de masa.

Solución.

\bar{x} = \frac{\iint_{D} xρ (x, y) d A}{\iint_{D} ρ (x, y) d A}

\bar{y} = \frac{\iint_{D} yρ (x, y) d A}{\iint_{D} ρ (x, y) d A}

Fig. 6.28: Región

D

1

Masa

M = \int_{- 3}^{3} \int_{x^{2}}^{9} (x^{2} + y) dydx = \frac{1296}{5}

2

Cálculo de

(\bar{x}, \bar{y})

\bar{x} = \frac{\int_{- 3}^{3} \int_{x^{2}}^{9} x (x^{2} + y) dydx}{M} = 0

\bar{y} = \frac{\int_{- 3}^{3} \int_{x^{2}}^{9} y (x^{2} + y) dydx}{M} = \frac{45}{7}

3

El centro de masa es

(\bar{x}, \bar{y}) = (0, \frac{45}{7})

Fig. 6.29: Centro de masa

(\bar{x}, \bar{y})

Ejemplo153Cálculo de la masa y el centro de masa

Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región que se muestra a la derecha y tiene función de densidad

ρ (x, y) = x + e^{5 y + 5}

Fig. 6.30: Lámina con

ρ (x, y) = x + e^{5 y + 5}

Solución.

1

Masa

M = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 - x} (x + e^{5 y + 5}) dydx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{x} (x + e^{5 y + 5}) dydx \approx 259703 .

2

Cálculo de

(\bar{x}, \bar{y})

$\bar{x} = \frac{\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 - x} x (x + e^{5 y + 5}) dydx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{x} x (x + e^{5 y + 5}) dydx}{M} \approx 1$

\bar{y} = \frac{\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 - x} y (x + e^{5 y + 5}) dydx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{x} y (x + e^{5 y + 5}) dydx}{M}

3

Observe que en este caso el centro de massa está fuera de la la lámina:

(\bar{x}, \bar{y}) \approx (1, 1.607)

Fig. 6.31: Centro de masa

(\bar{x}, \bar{y})