Ejercicios

10.1

Utilice integrales dobles en coordenadas polares para calcular el área de la región

R

que se muestra en la figura

• Intersección:

\begin{matrix} sen 𝜃 - cos 𝜃 = 2 sen 𝜃 & ⟹ & \frac{sen 𝜃}{cos 𝜃} = - 1 \end{matrix}

• Tangentes al polo de interés:

$sen 𝜃 - cos 𝜃 = 0 ⟹ tan 𝜃 = 1 ⟹ 𝜃 = \frac{π}{4}$

$2 sen 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = 0$

A_{R} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \int_{0}^{2 sin (t)} r drdt + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \int_{sin (t) - cos (t)}^{2 sin (t)} r drdt \approx 2.0708

10.2Considere la región

R

de la figura. Calcular el área

A_{R}

de la región

R,

usando coordenadas polares.

Solución. Debemos hacer el cambio de variable

x = r cos (𝜃)

y = r sen (𝜃) .

Observe que

$∙$: La recta $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ se transforma en $r sen 𝜃 = \frac{1}{\sqrt{2}} ⟹ r = \frac{1}{\sqrt{2} sen (𝜃)} .$
$∙$: La circunferencia $x^{2} + y^{2} = 1$ se transforma en $r = 1 .$
$∙$: La recta $y = x$ se transforma en $𝜃 = π ∕ 4 .$ En efecto, $y = x ⟹ cos 𝜃 = sen (𝜃) ⟹ 𝜃 = π ∕ 4 .$ Esto, por supuesto, también lo podemos establecer de manera geométrica.

\begin{matrix} A_{R} & = & \iint_{R} 1 \cdot dA = \int \frac{3 π}{4} \frac{π}{4} \int 1 \frac{1}{\sqrt{2} sen (𝜃)} r d r dd𝜃 \\ = & \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} {\frac{r^{2}}{2} |}_{\frac{1}{\sqrt{2} sen (𝜃)}}^{1} d𝜃 = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \frac{1}{{sen}^{2} (𝜃)} d𝜃 = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} {csc}^{2} (𝜃) d𝜃 = {\frac{𝜃}{2} + \frac{1}{4} cot (𝜃) |}_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} = \frac{π - 2}{4} \end{matrix}

10.3Calcular el área de la región limitada por el lazo de la curva

r = 1 ∕ 2 + cos 𝜃 .

Ayuda: Notar que el lazo interno va de

𝜃 = 2 π ∕ 3

𝜃 = 4 π ∕ 3 .

10.4Verifique, usando coordenadas polares, que el área de la región

R

(región sombreada mostrada en la figura) es

\frac{11 \sqrt{3}}{2} + \frac{14 π}{3} \approx 24.187 .

Los límites de integración son

𝜃 = - π ∕ 6

𝜃 = 7 π ∕ 6 .

Ahora calcule la integral que da el área.

10.5Calcule, usando coordenadas polares, el área de la región

R

tal y como se muestra en la figura.

La ecuación de la curva es

r = 4 + 4 sen 3 𝜃 .

Tangentes al polo:

4 + 4 sen 3 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = - \frac{π}{6} + 2 k \frac{π}{3} .

Observando la figura tenemos que los límites de integración adecuados son $𝜃 = - \frac{π}{6}$ y $𝜃 = \frac{π}{2} .$

A_{R} = \iint_{R} 1 \cdot r drd𝜃 = \int_{- π ∕ 6}^{π ∕ 2} \int_{0}^{4 + 4 sen 𝜃} 1 \cdot r drd𝜃 = 8 π

10.6Calcular el área de las regiones sombreadas.

Solución.

a.)

1.

Tangentes al polo:

$2 + 2 sen 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = - \frac{π}{2}$

$4 cos 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = \frac{π}{2}$

2.

Intersección

$2 + 2 sen 𝜃 = 4 cos 𝜃 ⟹ - 12 + 8 sen 𝜃 + 20 {sen}^{2} 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = arcsen (3 ∕ 5) \approx 0.6435$

3.

Área:

A_{R} = \int_{- \frac{π}{2}}^{arcsen (\frac{3}{5})} \int_{0}^{2 + 2 sen (𝜃)} rdrd𝜃 + \int_{arcsen (\frac{3}{5})}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{4 cos (𝜃)} rdrd𝜃 = - \frac{28}{5} + \frac{7 π}{2} - arcsen (\frac{3}{5})

d.)

r = 0 ⟹ 2 + 2 sen (3 𝜃) = 0 𝜃_{1} = \frac{7 π}{6}

𝜃_{2} = \frac{11 π}{6} .

\int_{\frac{7 π}{6}}^{\frac{11 π}{6}} \int_{0}^{2 sin (3 𝜃) + 2} 1 rdrd𝜃 = 2 π

: Nota: El intervalo $[- 7 π ∕ 6, - π ∕ 6]$ no es correcto, agrega un trozo adicional de curva y el resultado daría, en valor absoluto, $3 π .$ Use Wolfram Alpha (Internet) para graficar +2Sin[3t]PolarPlot[2, t, -7 Pi/6, -Pi/6]

10.7 (*) Verifique, usando coordenadas polares, que el área de la región

R

(región sombreada mostrada en la figura) es

\frac{π}{2} - \frac{1}{2}

Note que la curva celeste tiene ecuación

r = sen t + cos t

con

t \in [- π ∕ 4, 3 π ∕ 4] .

La región sombreada requiere diferentes intervalos para cada curva. Mejor es calcular el área del círculo con circunferencia celeste y restar el área de la región que va de la circunferencia azul a la circunferencia celeste, esa regón si está entre

0

π ∕ 2

para ambas curvas.

$A_{R} = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \int_{0}^{sin (t) + cos (t)} 1 r dr dt - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{1}^{sin (t) + cos (t)} 1 r dr dt = \frac{π}{2} - \frac{1}{2}$

10.8 Calcule, usando coordenadas polares, el volumen del sólido

Q

limitado por el cono

z^{2} = x^{2} + y^{2}

y la esfera

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .

V_{Q} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π ∕ 4} \int_{0}^{1} ρ^{2} sen φ dρ dφ d𝜃 = \frac{π}{3} (2 - \sqrt{2})

10.9 Considere el sólido

E

limitado por las superficies de ecuación

S_{1} : x^{2} + y^{2} = 16,

S_{2} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4,

S_{3} : z = \frac{3 x}{2},

S_{4} : 4 (z - 8) = x^{2} + y^{2}

x = 0,

tal y como se muestra en la figura a al derecha. Calcule el volumen del sólido

E

x = r cos 𝜃,

y = sen 𝜃

z = z;

entonces en la proyección

XY

tenemos una región limitada por la curva

C_{1} : x^{2} + y^{2} = 16

o también

C_{1} : r = 4

y la curva

{(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4

o también

r = 4 cos 𝜃

con

𝜃 \in [0, π ∕ 2] .

\begin{matrix} V_{Q} & = & \iint_{R_{xy}} (8 + \frac{x^{2} + y^{2}}{4} - \frac{3 x}{2}) dA \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{4 cos 𝜃}^{4} (8 + \frac{r^{2}}{4} - \frac{3 r cos 𝜃}{2}) r dr d𝜃 \end{matrix}

10.10 Considere siguientes

S_{1}, S_{2}, S_{3}

S_{4}

(tal y como se muestran a la derecha),

$∙$: $S_{1}$ es el cilindro generado por la curva $r = 1 - 2 cos 𝜃,$
$∙$: $S_{2} : x + z = 1,$
$∙$: $S_{3} : z = 0,$
$∙$: $S_{4} : y = 0 .$

$E$ es el sólido limitado por estas superficies, tal y como aparece a al derecha. Calcule el volumen del sólido $E$

\begin{matrix} V_{E} & = & \iint_{R_{xy}} (1 - x - 0) dA \\ = & \int_{π ∕ 3}^{π} \int_{0}^{1 - 2 cos 𝜃} (1 - r cos 𝜃) r dr d𝜃 \\ = & \int_{π ∕ 3}^{π} {\frac{r^{2}}{2} - \frac{r^{3}}{3} cos 𝜃 |}_{0}^{1 - 2 cos 𝜃} d𝜃 \\ = & \int_{π ∕ 3}^{π} \frac{{(1 - 2 cos 𝜃)}^{2}}{2} - \frac{{(1 - 2 cos 𝜃)}^{3}}{3} cos 𝜃 d𝜃 \approx 10.578 \end{matrix}

10.11 El sólido

E

limitado por el cono de ecuación

{(z - 2)}^{2} = x^{2} + y^{2}

y el plano $z = 1,$ tal y como se muestra en la figura a la derecha. Calcule elvolumen de $E$

V_{Q} = \frac{π \sqrt{2}}{3}

10.12Calcule el volumen del sólido

Q

limitado por las superficies

x^{2} + z^{2} = 4, x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1

x = 4 - y

, en el primer octante; como se muestra en la figura.

Ayuda: Proyectar sobre $XZ$ y usar coordenadas polares.

La manera fácil es proyectar sobre

XZ

y usar coordenadas polares.

\begin{matrix} V_{Q} & = & \iint_{R_{xz}} 4 - x dA \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{2 sen 𝜃}^{2} (4 - r cos 𝜃) \cdot r dr d𝜃 \end{matrix}

10.13

Considere el sólido

Q

limitado por el cilindro

x^{2} + y^{2} = 1 ∕ 4

, el cono

3 z^{2} = x^{2} + y^{2},

la esfera

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

y los planos

x = 0

x = y;

tal y como se muestra en la figura. Calcular el volumen del sólido

Q

Proyectar sobre

XZ

y usar coordenadas polares. Calculando la intersección entre las superficies podemos establecer que la región de integración

R_{xy}

está entre las curvas

x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4},

x^{2} + y^{2} = \frac{3}{4}

y las rectas

y = x

x = 0 .

V_{Q} = \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \int_{1 ∕ 2}^{\sqrt{3} ∕ 2} (\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} - \sqrt{\frac{1 - x^{2} - y^{2}}{3}}) r drd𝜃