Integral triple.

11. Integral triple.

Consideremos un cubo

Q

como el de la figura a la derecha. Su volumen es

V_{Q} = abc .

Si la densidad

ρ

es constante en todo el cubo, la masa viene dada por

M_{Q} = ρ V_{Q}

Si la densidad no es constante y $ρ = ρ (x, y, z),$ entonces para obtener una aproximación de la masa, dividimos $Q$ en $N$ cubos $Q_{i}$ de volumen

Δ V_{i} = Δ x_{i} Δ y_{i} Δ z_{i} .

Así, la densidad en el punto $P_{i} (x_{i}, y_{i}, z_{i})$ es

Δ M_{i} \approx ρ (x_{i}, y_{i}, z_{i}) Δ x_{i} Δ y_{i} Δ z_{i} .

La masa total del cubo $Q$ sería,

M \approx \sum_{i = 1}^{N} Δ M_{i} = \sum_{i = 1}^{N} ρ (x_{i}, y_{i}, z_{i}) Δ x_{i} Δ y_{i} Δ z_{i}

Ahora, tomando el límite cuando $N \to \infty$ (si existe), obtenemos

M = lim_{N \to \infty} \sum_{i = 1}^{N} ρ (x_{i}, y_{i}, z_{i}) Δ x_{i} Δ y_{i} Δ z_{i}

Esto es muy parecido a la integral de Riemann que definimos al principio de este capítulo. En realidad podemos reemplazar la malla $M_{R}$ por $M_{Q} = {Q_{1}, Q_{2}, . . . Q_{N}}$ y definir la integral triple de Riemann de una función $f (x, y, z)$ sobre una región tridimensional $Q$ como

∭_{Q} f (x, y, z) dV = lim_{| | M_{Q} | | \to \infty} \sum_{i = 1}^{C (M_{Q})} f (x_{i}, y_{i}, z_{i}) Δ V_{i}

Los teoremas para integral doble se extienden de manera natural a la integral triple.

(Integral Triple). Sea

Q

un sólido limitado por dos superficies suaves de ecuación

z = f (x, y)

(arriba) y

z = g (x, y)

(abajo), con

f, g

con derivadas parciales continuas. Sea

R_{xy}

su proyección, limitada por funciones con derivadas continuas. Si

h (x, y, z)

es continua sobre

Q,

entonces

∭_{Q} h (x, y, z) dV = \iint_{R_{xy}} [\int_{g (x, y)}^{f (x, y)} h (x, y, z) d z] dA

En particular, $V_{Q} = ∭_{Q} 1 \cdot dV = \iint_{R_{xy}} \int_{g (x, y)}^{f (x, y)} 1 d z dA$

Ejemplo159

Calcular, usando el orden “ $dx dz dy$ ”, $I = ∭_{Q} 2 x cos (y + z) dV$ con $Q$ el sólido limitado por las superficies (ver figura) $y + z = π, y = \sqrt{x}, x = z = 0$

Solución. Por el orden de integración que se pide, debemos proyectar sobre el plano

Y Z .

Usaremos las integral

\int y^{4} sen y dy = - (24 - 12 y^{2} + y^{4}) cos y + 4 y (- 6 + y^{2}) sin y + K,

que se calcula “por partes”. El sólido

Q

está entre

x = 0

x = y^{2} .

\begin{matrix} ∭_{Q} 2 x cos (y + z) dV & = & \int_{0}^{π} \int_{0}^{π - y} [\int_{0}^{y^{2}} 2 x cos (y + z) d x] dz dy \\ = & \int_{0}^{π} \int_{0}^{π - y} {x^{2} cos (y + z) |}_{0}^{y^{2}} dz dy \\ = & \int_{0}^{π} \int_{0}^{π - y} y^{4} cos (y + z) dz dy \\ = & \int_{0}^{π} {y^{4} sen (y + z) |}_{0}^{π - y} dy = \int_{0}^{π} - y^{4} sen (y) dy = - 48 + 12 π^{2} - π^{4} \end{matrix}

Ejemplo160

Considere el sólido

Q

limitado por

z = 0,

y + 2 z = 2,

x = 0

y = 1 - x^{2}

tal y como se muestra en la figura. Usando integral triple, Plantear la integrales necesarias para calcular el volumen de

Q

proyectando en cada uno de los planos

XY,

Y Z

XZ

Solución.

Proyectando sobre $XY$ . La región de integración $R_{xy}$ está entre las curvas $y = 1 - x^{2}$ y $y = 2 - 2 x^{2}$ y en esta región el sólido está entre $z = 0$ y $z = 1 - y ∕ 2 .$

V_{Q} = \int_{0}^{1} \int_{1 - x^{2}}^{2 - 2 x^{2}} [\int_{0}^{1 - y ∕ 2} 1 d z] dy d x

Proyectando sobre $Y Z$ . La región de integración es $R_{yz} = R_{1} + R_{2} .$ La región $R_{1}$ está entre las rectas $z = 0$ y $z = 1 - y ∕ 2$ y el sólido está entre $x = \sqrt{1 - y}$ y $x = \sqrt{1 - y ∕ 2} .$

La región $R_{2}$ está entre las rectas $z = 0$ y $z = 1 - y ∕ 2$ y en esta región el sólido está entre $x = 0$ y $x = \sqrt{1 - y ∕ 2} .$

V_{Q}

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - y ∕ 2} [\int_{\sqrt{1 - y}}^{\sqrt{1 - y ∕ 2}} 1 d x] dz d y

\int_{1}^{2} \int_{0}^{1 - y ∕ 2} [\int_{0}^{\sqrt{1 - y ∕ 2}} 1 d x] dz d y

Proyectando sobre

XZ

R_{xz} = R_{1} + R_{2} .

La curva

C_{1}

que divide ambas regiones es la cruva de intersección entre

y = 2 - 2 z

y = 2 - 2 x^{2} .

Igualdando obtenemos

C : z = x^{2} .

La curva

C_{2}

se obtiene como la intersección de

y = 1 - x^{2}

y = 2 - 2 z .

Entonces

C_{2} : z = (1 + x^{2}) ∕ 2 .

V_{Q}

\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} [\int_{1 - x^{2}}^{2 - 2 x^{2}} 1 d y] dz d x

\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\frac{1}{2} (1 + x^{2})} [\int_{1 - x^{2}}^{2 - 2 z} 1 d y] dz d x

Ejemplo161

Calcular $∭_{Q} x cos (y + z) dV$ con $Q$ el sólido limitado por $y + z = π, y = x, x = z = 0$

Solución. Para calcular esta integral triple vamos a necesitar la integral

\int x cos x dx = cos x + x sen x + K

(se calcula “por partes”.) El sólido

Q

está entre las superficies

z = 0

z = π - y .

\begin{matrix} ∭_{Q} x cos (y + z) dV & = & \int_{0}^{π} \int_{x}^{π} [\int_{0}^{π - y} x cos (y + z) d z] dy dx \\ = & \int_{0}^{π} \int_{x}^{π} {x sen (y + z) |}_{0}^{π - y} dy dx = \int_{0}^{π} \int_{x}^{π} - x sen (y) dy dx = 2 - \frac{π^{2}}{2} \end{matrix}

Ejemplo162

Considere el sólido

Q

limitado por

z = 4 - x^{2},

y + z = 6,

y = x,

y = 5,

z = 0

x = 0,

como se muestra en la figura. Usando integral triple, plantear la integrales necesarias para calcular el volumen de

Q

proyectando en cada uno de los planos

XY,

Y Z

XZ

Proyectando sobre el plano $XY .$ La región de integración es $R_{xy} = R_{1} + R_{2} + R_{3} .$ La curva $C$ divide las regiones $R_{1}$ y $R_{2}$ y la recta $x = \sqrt{3}$ divide la región $R_{1}$ y la región $R_{3} .$ La curva $C$ es la proyección de la curva de intersección entre las superficies $z + y = 6$ y $z = 4 - x^{2},$ es decir, $C : y = 2 + x^{2} .$ La región $R_{1}$ está entre $y = x$ y $y = 2 + x^{2},$ la región $R_{2}$ está entre $y = 2 + x^{2}$ y $y = 5$ y la región $R_{3}$ está entre $y = x$ y $y = 5 .$

\begin{matrix} V_{Q} & = & \iint_{R_{1}} dV + \iint_{R_{2}} dV + \iint_{R_{3}} dV \\ = & \int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{x}^{2 + x^{2}} [\int_{0}^{4 - x^{2}} 1 d z] dy d x \\ + & \int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{2 + x^{2}}^{5} [\int_{0}^{6 - y} 1 d z] dy d x \\ + & \int_{\sqrt{3}}^{2} \int_{x}^{5} [\int_{0}^{4 - x^{2}} 1 d z] dy d x \end{matrix}

Proyectando sobre el plano $Y Z .$ La curva $C$ es la proyección de la curva de intersección entre las superficies $y = x$ y $z = 4 - x^{2},$ es decir, $C : z = 4 - y^{2} .$

\begin{matrix}  \end{matrix}

Proyectando sobre el plano

XZ .

V_{Q} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4 - z}} [\int_{x}^{5} 1 d y] dx d z + \int_{1}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 - z}} [\int_{x}^{6 - z} 1 dy] dx d z

V_{Q} = \frac{68}{3} - \frac{12 \sqrt{3}}{5} .