Coordenadas cilindricas.

17. Coordenadas cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas (Seccion 11.) se usan para describir regiones que son simétricas respecto a alguno de los ejes. La posición de un punto $P (x, y, z)$ en el espacio está determinada por los números $r, 𝜃, z$ donde $(r, 𝜃)$ son las coordenadas polares del punto $(x, y) .$

Si integramos proyectando sobre el plano

XY

el cambio de variable es

{\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \\ z & = & z \end{matrix}

Jacobiano:

$| J (r, 𝜃, z) | = | (\begin{matrix} cos 𝜃 & - r sen 𝜃 & 0 \\ sin 𝜃 & r cos 𝜃 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) | = r$

Fig. 6.118: Coord. cilíndricas

Coordenadas Cilíndricas

${\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \\ z & = & z \end{matrix}$

Jacobiano: $r$

El sólido

Q

con proyección ortogonal

R_{xy}

, esta limitado "arriba" por

z = f (x, y)

y "abajo" por

g (x, z) .

∭_{Q} h (x, y, z) dV = \iint_{R_{r𝜃}} [\int_{g (r cos 𝜃, r sen 𝜃)}^{f (r cos 𝜃, r sen 𝜃)} h (r cos 𝜃, r sen 𝜃, z) dz] r dr d𝜃

Si proyectamos el sólido en el plano

XZ

o en el plano

Y Z

, solo intercambiamos el cambio de variable (el jacobiano es el mismo).

Proyección $R_{xy}$	Proyección $R_{xz}$	Proyección $R_{yz}$

${\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \\ z & = & z \end{matrix}$	${\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & y \\ z & = & r sen 𝜃 \end{matrix}$	${\begin{matrix} x & = & x \\ y & = & r cos 𝜃 \\ z & = & r sen 𝜃 \end{matrix}$

Ejemplo178Cálculo de integrales triples. Coordenadas Cilíndricas

Verifique que el volumen de un cilindro recto

Q

de radio

a

y altura

h,

V = π a^{2} h .

Solución.

$Q$ es el cilindro $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ limitado por $z = 0$ y $z = h .$

La proyección sobre el plano $XY$ es el círculo $x^{2} + y^{2} = a^{2} .$

Cambio de variable.

{\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \\ z & = & z \end{matrix}

con \begin{matrix} 0 \leq r \leq a \\ 0 \leq 𝜃 \leq 2 π \\ 0 \leq z \leq h \end{matrix}

Jacobiano:

r

Fig. 6.119: Cilindro recto

Volumen.

V = ∭_{Q} 1 d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} [\int_{0}^{h} 1 \cdot r dz] d r d𝜃

$V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} rh dr d𝜃 = \int_{0}^{2 π} \frac{a^{2}}{2} h d𝜃 = {\frac{a^{2}}{2} h𝜃 |}_{0}^{2 π} = π a^{2} h$

Ejemplo179Cálculo de integrales triples

Sea $Q$ el sólido limitado por $y = 1, y = x^{2} + z^{2}$ y $y = 4;$ como se muestra en la Figura 6.120.

Calcule $∭_{Q} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + z^{2}} + 1} d V .$

Fig. 6.120: Sólido

Q .

Solución.

Región de integración. Proyectamos sobre el plano $XZ$

Cambio de variable. Coordenadas cilíndricas en el plano $XZ$ .

${\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & y \\ z & = & r sen 𝜃 \end{matrix}$

Jacobiano: $r$

Con el cambio de variable, $r^{2} = x^{2} + z^{2} .$ Las curvas $1 = x^{2} + z^{2}$ y $4 = x^{2} + z^{2}$ tienen ecuaciones $r = 1$ y $r = 2,$ respectivamente. Tenemos dos regiones de integración: $R_{1}$ y $R_{2}$ .

R_{1} : \begin{matrix} 0 \leq r \leq 1 \\ 0 \leq 𝜃 \leq \frac{π}{2} \\ 1 \leq y \leq 4 \end{matrix}

R_{2} : \begin{matrix} 1 \leq r \leq 2 \\ 0 \leq 𝜃 \leq \frac{π}{2} \\ 1 \leq y \leq x^{2} + z^{2} \end{matrix}

Cálculo de la integral.

\begin{matrix} ∭_{Q} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + z^{2}} + 1} d V & = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{1} \int_{1}^{4} \frac{r}{r + 1} d y dr d𝜃 + \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{1}^{2} \int_{r^{2}}^{4} \frac{r}{r + 1} d y dr d𝜃 \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} d𝜃 [\int_{0}^{1} \frac{r}{r + 1} (4 - 1) dr + \int_{1}^{2} \frac{r}{r + 1} (4 - r^{2}) dr] \\ = & \frac{7 π}{12} - \frac{3 π}{2} ln 3 . \end{matrix}

Ejemplo180Cálculo de integrales triples

Considere el sólido

Q

(Figura 6.121) limitado por

$∙$: el cilindro $x^{2} + y^{2} = 1 ∕ 4$
$∙$: el cono $3 z^{2} = x^{2} + y^{2},$
$∙$: la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$
$∙$: los planos $x = 0$ y $x = y;$

Plantear con todo detalle la integral

∭_{Q} (2 z) d V

Fig. 6.121:

Solución.

Región de integración. Proyectamos sobre el plano $XY$ .

Cambio de variable. Coordenadas cilíndricas en el plano $XY$ .

${\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \\ z & = & z \end{matrix}$

Jacobiano: $r$

Con el cambio de variable, $r^{2} = x^{2} + y^{2} .$ Calculando la intersección entre las superficies podemos establecer que la región de integración $R_{xy}$ está entre las curvas $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4},$ $x^{2} + y^{2} = \frac{3}{4}$ y las rectas $y = x$ y $x = 0 .$

$R_{xy} : \begin{matrix} \frac{1}{2} \leq r \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{π}{4} \leq 𝜃 \leq \frac{π}{2} \\ \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{3}} \leq z \leq \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \end{matrix}$

Plantear con todo detalle la integral.

∭_{Q} (2 z) d V = \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \int_{1 ∕ 2}^{\sqrt{3} ∕ 2} [\int_{\sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{3}}}^{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} 2 z d z] r drd𝜃

Ejemplo181Cálculo de integrales triples

Verifique que el volumen de una esfera $S$ de radio $a$ tiene volumen $V = \frac{4 π a^{3}}{3} .$

Fig. 6.122: Un octavo de esfera

Solución. Podemos calcular el volumen de un octavo de esfera y multiplicar por $8$ (Figure 6.122).

La esfera tiene ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} .$

Cambio de variable. Como la proyección ene el plano $XY$ es un círculo, usamos coordenadas cilíndricas.

{\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \\ z & = & z \end{matrix}

con \begin{matrix} 0 \leq r \leq a \\ 0 \leq 𝜃 \leq π / 2 \\ 0 \leq z \leq \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} \end{matrix}

Cálculo de la integral.

\begin{matrix} V & = & 8 \cdot ∭_{Q} dV = 8 \cdot \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{a} [\int_{0}^{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} r dz] d r d𝜃 = 8 \cdot \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{a} r \sqrt{a^{2} - r^{2}} dr d𝜃 \end{matrix}

Ejemplo182Cálculo de integrales triples

Considere el sólido

Q

(Figura 6.123) limitado por las superficies

z^{2} = x^{2} + y^{2}

(cono), y el plano

z = 1 .

1: Calcular $\iint_{Q} 2 z d A .$
2: Calcular el volumen de $Q .$

Fig. 6.123: Sólido

Q

Solución.

1

La proyección del sólido

Q

en el plano

XY

es un círculo de radio

1

, pues

z = 1 \cap z^{2} = x^{2} + y^{2} ⟹ z^{2} = x^{2} + y^{2}

Cambio de variable.En coordenadas cilíndricas:

{\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \\ z & = & z \end{matrix}

con \begin{matrix} 0 \leq r \leq 1 \\ 0 \leq 𝜃 \leq 2 π \\ \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq z \leq 1 \end{matrix}

Cálculo de la integral.

\begin{matrix} ∭_{Q} 2 z dV & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} [\int_{r}^{1} 2 z d z] r dr d𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} {z^{2} |}_{r}^{1} r dr d𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r - r^{3} dr d𝜃 = \frac{π}{2} \end{matrix}

2

Volumen de

Q .

\begin{matrix} ∭_{Q} 1 dV & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} [\int_{r}^{1} 1 d z] r dr d𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} {z |}_{r}^{1} r dr d𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r - r^{2} dr d𝜃 = \frac{π}{3} \end{matrix}

Ejemplo183Cálculo de integrales triples

El sólido $Q$ de la figura esta limitado por el cilindro $x^{2} + y^{2} = 4$ y el plano $y + z = 4 .$ Calcular el volumen de $Q .$ (Figura 6.124)

Solución.

La proyección del sólido en el plano

XY

es el círculo

x^{2} + y^{2} = 4

(la directriz del cilindro).
Cambio de variable.En coordenadas cilíndricas:

{\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \\ z & = & z \end{matrix}

con \begin{matrix} 0 \leq r \leq 2 \\ 0 \leq 𝜃 \leq 2 π \\ 0 \leq z \leq 4 - y \end{matrix}

Cálculo de la integral.

\begin{matrix} V_{Q} & = & ∭_{Q} dV = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} [\int_{0}^{4 - r sen 𝜃} r dz] d r d𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} r (4 - r sen 𝜃) dr d𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} 8 - \frac{8}{3} sen 𝜃 d𝜃 = 16 π . \end{matrix}

Fig. 6.124: Sólido

Q .

Ejemplo184Cálculo de integrales triples

Calcule el volumen del sólido

Q

(Figura 6.125) que está limitado por la esfera

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

y el cilindro

x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1, z \geq 0 .

Fig. 6.125: Sólido

Q

Solución. La proyección en el plano $XY$ es la directriz del cilindro: $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ . Este círculo tiene ecuación, en coordenadas polares

r = 2 sen 𝜃, - \frac{π}{2} \leq 𝜃 \leq \frac{π}{2}

Cambio de variable. En coordenadas cilíndricas:

{\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \\ z & = & z \end{matrix}

con \begin{matrix} 0 \leq r \leq 2 sen 𝜃 \\ π / 2 \leq 𝜃 \leq π / 2 \\ 0 \leq z \leq \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} \end{matrix}

Cálculo de la integral.

El volumen de $Q$ es,

\begin{matrix} ∭_{Q} dV & = & \int_{- π ∕ 2}^{π ∕ 2} \int_{0}^{2 sen 𝜃} [\int_{0}^{\sqrt{4 - r^{2}}} dz] r d r d𝜃 \\ = & \int_{- π ∕ 2}^{π ∕ 2} \int_{0}^{2 sen 𝜃} {zr |}_{0}^{\sqrt{4 - r^{2}}} dr d𝜃 \\ = & \int_{- π ∕ 2}^{π ∕ 2} \int_{0}^{2 sen 𝜃} r \sqrt{4 - r^{2}} dr d𝜃 \\ = & \int_{- π ∕ 2}^{π ∕ 2} {- \frac{1}{3} {(4 - r^{2})}^{3 ∕ 2} |}_{0}^{2 sen 𝜃} d𝜃 \\ = & - \frac{1}{3} \int_{- π ∕ 2}^{π ∕ 2} {(4 - 4 {sen}^{2} 𝜃)}^{3 ∕ 2} - 8 d𝜃 \\ = & - \frac{1}{3} \int_{- π ∕ 2}^{π ∕ 2} 8 {cos}^{3} 𝜃 - 8 d𝜃 = - 8 / 3 (4 / 3 - π) . \end{matrix}

Aquí se usó la integral

\int {cos}^{3} t dt = \frac{3 sin (t)}{4} + \frac{sin (3 t)}{12} .

Ejemplo185Cálculo de integrales triples

Calcule el volumen de sólido

Q

(Figura 6.126), el cual está limitado por la esfera

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3^{2}

y los cilindros

x^{2} + z^{2} = 2^{2},

x^{2} + z^{2} = 1^{2},

en el primer octante.

Fig. 6.126: Sólido

Q

Solución.

Cambio de variable. En coordenadas cilíndricas:

{\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ z & = & r sen 𝜃 \\ y & = & y \end{matrix}

con \begin{matrix} 1 \leq r \leq 2 \\ 0 \leq 𝜃 \leq π / 2 \\ 0 \leq z \leq \sqrt{9 - x^{2} - z^{2}} \end{matrix}

Jacobiano:

r

Cálculo de la integral.

\begin{matrix} V_{Q} & = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{1}^{2} [\int_{0}^{\sqrt{9 - r^{2}}} 1 \cdot dy] r d r d𝜃 \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{1}^{2} [{y |}_{0}^{\sqrt{9 - r^{2}}}] r d r d𝜃 \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{1}^{2} r \sqrt{9 - r^{2}} d r d𝜃, hacemos u = 9 - r^{2}, du = - 2 r dr, \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} {- \frac{1}{3} {(9 - r^{2})}^{3 ∕ 2} |}_{1}^{2} d𝜃 = \frac{π}{6} (16 \sqrt{2} - 5 \sqrt{5}) . \end{matrix}

Ejemplo186Cálculo de integrales triples

Calcule, usando coordenadas cilíndricas, el volumen del sólido $Q,$ limitado por la porción de paraboloide $z = 4 - x^{2} - y^{2},$ la porción de esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16$ y el plano $x = y,$ en el primer octante (Figura 6.127).

Fig. 6.127: Sólido

Q .

Solución. La región e integración, proyectando sobre $XY$ es $R = R_{1} \cup R_{2} .$

Cambio de variable. En coordenadas cilíndricas:

{\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \\ z & = & z \end{matrix}

Jacobiano:

r

R_{1} : \begin{matrix} 0 \leq r \leq 2 sen 𝜃 \\ π / 4 \leq 𝜃 \leq π / 2 \\ 4 - x^{2} - y^{2} \leq z \leq \sqrt{16 - x^{2} - y^{2}} \end{matrix}

R_{2} : \begin{matrix} 2 \leq r \leq 4 sen 𝜃 \\ π / 4 \leq 𝜃 \leq π / 2 \\ 0 \leq z \leq \sqrt{16 - x^{2} - y^{2}} \end{matrix}

Cálculo de la integral.

\begin{matrix} V_{Q} & = & ∭_{Q} 1 dV = \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \int_{0}^{2} [\int_{4 - r^{2}}^{\sqrt{16 - r^{2}}} 1 dz] r d r d𝜃 + \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \int_{2}^{4} \int_{0}^{\sqrt{16 - r^{2}}} r dz d r d𝜃 \\ = & \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \int_{0}^{2} r \sqrt{16 - r^{2}} - r (4 - r^{2}) dr d𝜃 + \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \int_{2}^{4} r \sqrt{16 - r^{2}} dr d𝜃 \\ = & \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} {- \frac{1}{3} {(16 - r^{2})}^{3 ∕ 2} - 2 r^{2} + \frac{r^{4}}{4} |}_{0}^{2} d𝜃 + \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} {- \frac{1}{3} {(16 - r^{2})}^{3 ∕ 2} |}_{2}^{4} d𝜃 \\ = & \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} {- \frac{1}{3} {(16 - r^{2})}^{3 ∕ 2} - 2 r^{2} + \frac{r^{4}}{4} |}_{0}^{2} d𝜃 + \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} {- \frac{1}{3} {(16 - r^{2})}^{3 ∕ 2} |}_{2}^{4} d𝜃 \\ = & \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \frac{52}{3} - 8 \sqrt{3} d𝜃 + \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} 8 \sqrt{3} d𝜃 = (\frac{13}{3} - 2 \sqrt{3}) π + 2 π \sqrt{3} = \frac{13 π}{3} . \end{matrix}

Ejemplo187Volumen de un casquete

El sólido $Q$ de la Figura 6.128 es un casquete, de altura $h,$ de una esfera de radio $a .$

Fig. 6.128:

Vamos a usar coordenadas cilíndricas. Para calcular su volumen proyectamos sobre el plano

XY

. La proyección es un círculo

x^{2} + y^{2} = R^{2}

Para determinar el radio $R$ , determinamos la intersección de la curva $z^{2} + y^{2} = a^{2}$ (la intersección de la esfera con el plano $x = 0$ ) y la recta $z = a - h$ (Figura 6.128)

z^{2} + y^{2} = a^{2} \cap z = a - h ⟹ {(a - h)}^{2} + y^{2} = a^{2} ⟹ y = \sqrt{2 ha - h^{2}}

Por lo tanto, la proyección del casquete es un círculo de radio $\sqrt{2 ha - h^{2}} .$

El sólido $Q$ está limitado arriba por la superficie $z = \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} = \sqrt{a^{2} - r^{2}}$ y por abajo por la superficie $z = a - h .$ Entonces

V_{Q} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sqrt{2 ha - h^{2}}} \int_{r (a - h)}^{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} r dz d r d𝜃

Como

\int r \sqrt{a^{2} - r^{2}} dr = - \frac{1}{3} \sqrt{{(a^{2} - r^{2})}^{3}}

salvo constantes, se sigue que

\begin{matrix} V_{Q} & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sqrt{2 ha - h^{2}}} r \sqrt{a^{2} - r^{2}} - r (a - h) dr d𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} {- \frac{1}{3} \sqrt{{(a^{2} - r^{2})}^{3}} - \frac{r^{2} (a - h)}{2} |}_{0}^{\sqrt{2 ha - h^{2}}} d𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{3} {(a - r)}^{3} - \frac{(2 ha - h^{2}) (a - h)}{2} + \frac{1}{3} a^{3} d𝜃 \\ = & \frac{π}{3} h^{2} (3 a - h) \end{matrix}

18.1

Calcule, usando integrales triples, el volumen del sólido

Q

limitado por el cono

z^{2} = x^{2} + y^{2}

y la esfera

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .

Fig. 6.129:

V_{Q} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1 ∕ \sqrt{2}} \int_{r}^{\sqrt{1 - r^{2}}} r dz dr d𝜃 = \frac{π}{3} (2 - \sqrt{2})

18.2

Verifique, usando integrales triples, que el volumen del sólido

Q

limitado por el cono

S_{1} : x^{2} + y^{2} = \frac{{(z - 4)}^{2}}{4}

y el plano

S_{2} : z = 0

V_{C} = \frac{16 π}{3} .

Fig. 6.130:

V_{C} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - 2 r} r dz dr d𝜃

pues

z \leq 4 .

18.3

Verifique, que el volumen del cono de base circular de radio

a

y altura

h

V_{C} = \frac{π a^{2} h}{3} .

Fig. 6.131:

El cono se puede modelar con la ecuación

x^{2} + y^{2} = \frac{a^{2} {(z - h)}^{2}}{h^{2}}

, tal y como se muestra en la figura. El cono está entre

z = 0

z = h - \frac{h}{a} \sqrt{x^{2} + y^{2}}

pues

z \leq h .

V_{C} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} \int_{0}^{h - hr ∕ a} r dz dr d𝜃 = \frac{π a^{2} h}{3}

18.4 Sea

I = ∭_{Q} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d V = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} dzdydx

1.: Dibuje el sólido $Q .$ Observe que el sólido está entre las superficies $z^{2} + x^{2} + y^{2} = 16, x^{2} + y^{2} = 4, x \in [0, 2] .$
2.: Calcule $I$ usando coordenadas cilíndricas.

\frac{8 π^{2}}{3} - 2 \sqrt{3} π .

18.5

Considere el sólido

E

(Figura 6.132) limitado por las superficies de ecuación

1.: $S_{1} : x^{2} + y^{2} = 16,$
2.: $S_{2} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4,$
3.: $S_{3} : z = \frac{3 x}{2},$
4.: $S_{4} : 4 (z - 8) = x^{2} + y^{2}$
5.: $x = 0,$

Calcule $∭_{E} 1 d V$

Fig. 6.132:

x = r cos 𝜃,

y = sen 𝜃

z = z;

entonces en la proyección

XY

tenemos una región limitada por la curva

C_{1} : x^{2} + y^{2} = 16

o también

C_{1} : r = 4

y la curva

{(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4

o también

r = 4 cos 𝜃

con

𝜃 \in [0, π ∕ 2] .

\begin{matrix} ∭_{E} 1 d V & = & \iint_{R_{xy}} \int_{3 x / 2}^{8 + (x^{2} + y^{2}) / 4} 1 \cdot dz dA \\ = & \iint_{R_{xy}} (8 + \frac{x^{2} + y^{2}}{4} - \frac{3 x}{2}) dA \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{4 cos 𝜃}^{4} (8 + \frac{r^{2}}{4} - \frac{3 r cos 𝜃}{2}) r dr d𝜃 \\ = & - 32 + 27 π \approx 52.823 \end{matrix}

Fig. 6.133:

18.6

Considere el sólido

Q

, limitado por la esfera

4 = z^{2} + x^{2} + y^{2}

y el cilindro de directriz

x^{2} + y^{2} = {(x^{2} + y^{2} - x)}^{2}

, tal y como se muestra en la Figura 6.134.
Calcule

∭_{Q} 1 d V

Fig. 6.134: Sólido

Q

Se omite.