Area de una superficie.

2. Área de una superficie.

La idea de la definición de área de una superficie paramétrica consiste en aproximar el área de $S,$ denotada $A_{S},$ sumando las áreas de una familia de trozos de planos tangentes, en una malla de puntos, es decir el área de los paralelogramos generados por los vectores escalados $Δ u_{i} r_{u}$ y $Δ v_{j} r_{v} .$ Luego tomados el límite cuando $Δ v_{j} \to 0$ y $Δ u_{j} \to 0 .$

Fig. 7.6: Aproximación del área de una superficie.

Consideremos el caso particular de una región rectangular. Sea

D = [a, b] \times [c, d]

y sea

S

una superficie parametrizada por

r (x, y)

D,

con

r

una función definida y acotada sobre

D

Supongamos que

M_{D}

es una partición de

D

con

n^{2}

rectángulos

D_{ij}

. Si

a = x_{0} < x_{1} < . . . < x_{n} = b y c = y_{0} < y_{1} < . . . < y_{n} = d

con los $x_{i}$ igualmente espaciados (es decir, si $n \to \infty$ entonces $Δ x_{i}, Δ y_{i}, \to 0$ ).

Entonces cada rectángulo

D_{ij}

tiene un vértice en

(x_{i}, y_{i}) .

Sea

Δ A_{ij}

el área de la imagen

r (D_{ij}) .

Cada imagen

r (D_{ij})

es aproximadamente un paralelogramo si

Δ x_{i}

Δ y_{i}

son pequeños (Figura 7.7), es decir, cada imagen

r (D_{ij})

se puede aproximar muy bien con un trozo de plano tangente en ese punto.

Fig. 7.7:

En el punto

r (x_{i}, y_{j})

de la superficie

S,

el plano tangente

T_{i}

tiene ecuación vectorial

T_{i} (s, t) : r (x_{i}, y_{j}) + t r_{x} (x_{i}, y_{j}) + s r_{y} (x_{i}, y_{j}), con t, s \in ℝ .

La porción de superficie de

S

que es imagen de a

D_{ij}

se puede aproximar con un paralelogramo: Una porción de el plano tangente, cuyos lados son

Δ x_{i} r_{x} (x_{i}, y_{j}), Δ y_{j} r_{y} (x_{i}, y_{j}) .

Como es sabido, este paralelogramo tiene área

| | Δ x_{i} r_{x} (x_{i}, y_{j}) \times Δ y_{j} r_{y} (x_{i}, y_{j}) | |

Sacando los escalares y sumando, tenemos,

A_{S} \approx \sum_{i, j = 0}^{n} | | r_{x} (x_{i}, y_{j}) \times r_{y} (x_{i}, y_{j}) | | Δ x_{i} Δ y_{j}

y entonces, dado que si

n \to \infty

entonces

Δ x_{i}, Δ y_{j} \to 0,

tenemos

A_{S} = lim_{n \to \infty} \sum_{i, j = 0}^{n} | | r_{x} (p_{ij}) \times r_{y} (p_{ij}) | | Δ x_{i} Δ y_{j} con p_{ij} = (x_{i}, y_{i})

Definición 25 — Área de una superficie.

Sea $S$ una superficie regular definida sobre un conjuno abierto y acotado $D .$ Digamos que

S : r (u, v) = x (u, v) i + y (u, v) j + z (u, v) k con (u, v) \in D .

Entonces, si llamamos

dS = | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | dA,

el área

A_{S}

de la superficie

S

A_{S} = \iint_{S} 1 \cdot dS = \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | dA

Si $S = S_{1} \cup . . . \cup S_{m}$ es la unión finita de superficies parametrizadas que se intersecan a lo sumo en curvas que forman parte de sus fronteras entonces,

A_{S} = A_{S_{1}} + A_{S_{1}} + A_{S_{2}} + . . . + A_{S_{k}}

La definición 25 dice que debemos integrar sobre el dominio $D$ de la parametrización $r$ de la superficie.

Es usual escoger una parametrización cuyo dominio es la proyección ortogonal de la superficie (en los planos donde se pueda proyectar).

Por ejemplo, un cilindro generado por una curva $C$ digamos en el plano $XY$ , no tiene una parametrización "natural" $r (x, y) = x i + y j + z (x, y) k$ con dominio en el plano $XY$ ! pero posiblemente si hay una parametrización con dominio en alguno de los otros dos planos, cuyo dominio es su proyección.

Caso

S : z = f (x, y)

S : z = f (x, y),

una parametrización es

r (x, y) = x i + y j + z (x, y) k

con

(x, y) \in D .

La región de integración

D,

es la proyección de la superficie en el plano

XY

(un región con interior no vacío).

a: $| | \frac{\partial r}{∂x} \times \frac{\partial r}{∂y} | | = \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} .$
b: $A_{S} = \iint_{S} 1 d S = \iint_{D} \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} d A$

Ejemplo192Área de una superficie

Considere la superficie

S : z = 1 - x^{2}

limitada por el plano

S_{1} : y + z = 1

tal y como se muestra en la Figura 7.8.

Vamos a calcular el área de la superficie

S

de dos maneras, usando dos parametrizaciones cuyo dominio coincide con la proyección de la superfice en el plano respectivo.

Fig. 7.8:

a

Primera manera: Plano

XY

. Parametrizamos

S .

Como

z = 1 - x^{2}

y la superficie está limitada por el plano

y = 1 - z,

es decir

y \leq 1 - z ⟹ y \leq x^{2},

entonces

$\begin{matrix} S : & r (x, y) = x i + y j + (1 - x^{2}) k \\ D = {(x, y) \in ℝ^{2} : 0 \leq x \leq 1 \land 0 \leq y \leq x^{2}} \end{matrix}$

‖ \frac{\partial r}{∂x} \times \frac{\partial r}{∂y} ‖ = ‖ (1, 0, - 2 x) \times (0, 1, 0) ‖ = ‖ (2 x, 0, 1) ‖ = \sqrt{4 x^{2} + 1}

\begin{matrix} A_{S} = \iint_{S} 1 d S & = & \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | d A \\ = & \iint_{D} \sqrt{4 x^{2} + 1} d A \\ = & \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} \sqrt{4 x^{2} + 1} dy dx \\ = & \int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1} dx \approx 0.6063 \end{matrix}

Fig. 7.9:

b

Segunda manera. Plano

Y Z

. Parametrizamos

S .

Como

x = \sqrt{1 - z},

\begin{matrix} S : & r (y, z) = \sqrt{1 - z} i + y j + z k \\ D = {(y, z) \in ℝ^{2} : 0 \leq z \leq 1 \land 0 \leq y \leq 1 - z} \end{matrix}

La superficie está limitada por el plano $y = 1 - z,$ es decir $y \leq 1 - z .$ Entonces el dominio $D$ de la parametrización es la proyección de la superficie en el plano $Y Z$ .

$\begin{matrix} ‖ \frac{\partial r}{∂y} \times \frac{\partial r}{∂z} ‖ & = & ‖ (0, 1, 0) \times (- \frac{1}{2 \sqrt{1 - z}}, 0, 1) ‖ \\ = & ‖ (1, 0, \frac{1}{2 \sqrt{1 - z}}) ‖ = \sqrt{\frac{1}{4 (1 - z)} + 1} \end{matrix}$

\begin{matrix} A_{S} = \iint_{S} 1 d S & = & \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | d A \\ = & \iint_{D} \sqrt{\frac{1}{4 (1 - z)} + 1} d A \\ = & \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - z} \sqrt{\frac{1}{4 (1 - z)} + 1} dy dz \\ (No es impropia) \\ = & \int_{0}^{1} (1 - z) \sqrt{\frac{1}{4 (1 - z)} + 1} dz \end{matrix}

Fig. 7.10:

En el ejemplo anterior, el área de la superfice se calculó con parametrizaciones cuyo dominio es la proyección de la superficie sobre los planos $XY$ o $Y Z$ , respectivamente.

La proyección de la superficie sobre el plano $XZ$ es una curva (no una región de área $> 0$ ). Esta curva es la directriz del cilindro. Así que no podemos armar una parametrización como las anteriores.

Caso

S : F (x, y, z) = 0

S : F (x, y, z) = 0

donde

S

se puede proyectar uno a uno sobre una región

D

del plano

XY

y si

F

define a

z

como función de

x

y

y si

F_{z} \neq 0

entonces

z_{x} = - F_{x} ∕ F_{z}

z_{y} = - F_{y} ∕ F_{z}

y la fórmula anterior quedaría

A_{S} = \iint_{S} 1 \cdot dS = \iint_{D} \frac{\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}}{| F_{z} |} dA

Área de una superficie

-

Proyectando sobre varios planos.

Asumimos que

S

es una superficie regular y que

F

es continuamente diferenciable e inyectiva sobre la proyección (con interior no vacío)

D .

a

Proyectando sobre

XY

Si $S : z = z (x, y)$ o $S : F (x, y, z) = 0,$ con $(x, y) \in D_{xy}$

$A_{S} = \iint_{D_{xy}} \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} d A$

o también

$A_{S} = \iint_{D_{xy}} \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{z}^{2}}} d A con F_{z} \neq 0 en D_{xy}$

b

Proyectando sobre

XZ

Si $S : y = y (x, z)$ o $S : F (x, y, z) = 0,$ con $(x, z) \in D_{xz}$

$A_{S} = \iint_{D_{xz}} \sqrt{1 + y_{x}^{2} + y_{z}^{2}} d A$

o también

$A_{S} = \iint_{D_{xz}} \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{y}^{2}}} d A con F_{y} \neq 0 en D_{xz}$

c

Proyectando sobre

Y Z

Si $S : x = x (y, z)$ o $S : F (x, y, z) = 0,$ con $(y, z) \in D_{yz}$

$A_{S} = \iint_{D_{yz}} \sqrt{1 + x_{y}^{2} + x_{z}^{2}} d A$

o también

$A_{S} = \iint_{D_{yz}} \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{x}^{2}}} d A$

Ejemplo193Área de una superficie

La superficie

S : x^{2} + z^{2} = 4

está e el primer octante está limitada por el plano

x + y = 5,

tal y como se muestra en la Figura 7.11.

Plantee las integrales necesarias para calcular el área de la superficie

S .

Fig. 7.11: Superficie

S

Solución.

1

Primera manera. Podemos proyectar sobre el plano

XY

. Como

S : x^{2} + z^{2} = 4,

podemos usar la fórmula para el área con

F (x, y, z) = x^{2} + z^{2} - 4 .

\begin{matrix} A_{S} & = & \iint_{S} 1 \cdot dS \\ = & \iint_{D_{xy}} \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{z}^{2}}} d A \\ = & \iint_{D_{xy}} \sqrt{\frac{4 x^{2} + 0^{2} + 4 z^{2}}{4 z^{2}}} d A \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{5 - x} \sqrt{\frac{16}{16 - 4 x^{2}}} dydx (Impropia) \end{matrix}

2

Segunda manera. La proyección sobre el plano

XZ

es una curva. No hay región.

3

Tercera manera. Ejercicio: Plantear la integral, proyectando sobre el plano

Y Z

Ejemplo194Área de la superficie

Calcular las integrales que dan el área de la superficie

S = S_{1} + S_{2}

tal y como se muestra en la Figura 7.12.

Fig. 7.12: Superficie

S

Solución. Podemos proyectar sobre el plano

Y Z

. Tenemos

A_{S} = A_{S_{1}} + A_{S_{2}}

$\begin{matrix} S_{1} : F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 4 = 0 \\ S_{2} : x = 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} y \end{matrix}$

Entonces,

Fig. 7.13: Superficie

S

\begin{matrix} A_{S} & = & \iint_{D_{1}} \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{x}^{2}}} d A + \iint_{D_{2}} \sqrt{x_{y}^{2} + x_{z}^{2} + 1} d A \\ = & \int_{1 ∕ 2}^{1} \int_{0}^{2 - y} \sqrt{\frac{4 x^{2} + 4 y^{2} + 0^{2}}{4 x^{2}}} dzdy + \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - y} \sqrt{3 + 0 + 1} dzdy \\ = & \int_{1 ∕ 2}^{1} \int_{0}^{2 - y} \sqrt{\frac{4 (4 - y^{2}) + 4 y^{2} + 0^{2}}{4 (4 - y^{2})}} dzdy + \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - y} 2 dzdy \end{matrix}

Ejemplo195Área de una superficie

Calcular el área de la superficie

S : y + x^{2} + z^{2} = 4

en el primer octante (Figura 7.14).

Fig. 7.14: Superficie

S

Solución.

1

Primera manera: Proyectando sobre

XZ

(un cuarto de círculo) y usando coordenadas cilíndricas.

La proyección sobre $XZ$ es el disco $x^{2} + z^{2} \leq 4$ y la ecuación de la superficie es

S : y = 4 - x^{2} - z^{2}

\begin{array}{rcl} A_{S} & = & \iint_{D_{xz}} \sqrt{1 + y_{x}^{2} + y_{z}^{2}} dA \\ = & \iint_{D_{xz}} \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 z^{2}} dA, cambio de variable: {\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & y \\ z & = & r sen 𝜃, \end{matrix} \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4 r^{2} cos^{2} 𝜃 + 4 r^{2} sen^{2} 𝜃} r drd 𝜃 \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{2} r \sqrt{1 + 4 r^{2}} drd𝜃 \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} {\frac{{(1 + 4 r^{2})}^{3 / 2}}{12} |}_{0}^{2} d𝜃 = \frac{π}{24} (17 \sqrt{17} - 1) \approx 9.04423 . \end{array}

2

Segunda manera: Como

S : x^{2} + z^{2} = 4 - y

(una familia de circunferencias de radio

\sqrt{4 - y}

), podemos usar la parametrización

$r (y, 𝜃) = \sqrt{4 - y} cos 𝜃 i + y j + \sqrt{4 - y} sen 𝜃 k$ con $y \in [0, 4]$ y $𝜃 \in [0, π ∕ 2] .$

\begin{matrix} A_{S} & = & \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂y} \times \frac{\partial r}{∂𝜃} | | dy d𝜃 \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{4} \sqrt{17 / 4 - y} dy d𝜃 \end{matrix}

Ejemplo196Área de una superficie

Calcular el área de la superficie $S : y + z = 6$ tal y como se ve en la Figura 7.15.

Fig. 7.15: Superficie

S

Solución. Como $S : y (x, z) = 6 - z,$ podemos usar la parametrización

$\begin{matrix} S : & r (x, z) = x i + (6 - z) j + z k \\ D_{xz} : x \in [0, \sqrt{2}] y 2 \leq z \leq 4 - x^{2} . \end{matrix}$

\begin{array}{rcl} A_{S} & = & \iint_{D_{xz}} \sqrt{1 + y_{x}^{2} + y_{z}^{2}} dA \\ = & \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{2}^{4 - x^{2}} \sqrt{2} dzdx \\ = & \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{2} (2 - x^{2}) dx = \frac{8}{3} \end{array}

Ejemplo197Área de una superficie

Calcular el área de la superficie de la esfera

S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} .

Fig. 7.16: Superficie

S

Solución. Vamos a calcular de varias maneras, parametrizando con coordenadas esféricas y parametrizando con coordenadas rectangulares (más complicado).

1

Usamos la parametrización

$\begin{matrix} S : & r (x, y) = x i + y j + \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} k \\ D : x^{2} + y^{2} \leq a \end{matrix}$

Solo vamos a calcular el área de la parte superior de la esfera. El área total la obtenemos multiplicando por dos.

\begin{matrix} z_{x} & = & - \frac{x}{\sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}} \\ z_{y} & = & - \frac{y}{\sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}} \end{matrix} ⟹ A_{S} = 2 \iint_{D} \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} dA = 2 \iint_{D} \sqrt{1 + \frac{x^{2} + y^{2}}{a - x^{2} - y^{2}}} dA

Conviene hacer cambio de variable y usar coordenadas polares. Observe que las derivadas se indefinen en la frontera del círculo (si

r = a

). La integral se calcula desde

0

hasta

r = 𝜖

con

0 < 𝜖 < a .

Al final hacemos

𝜖 \to a .

\begin{array}{rcl} A_{S} & = & 2 \iint_{D} \sqrt{1 + \frac{x^{2} + y^{2}}{a - x^{2} - y^{2}}} dA \\ = & 2 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{𝜖} \frac{a}{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} r drd𝜃 si 𝜖 \to a (integral impropia!) \\ = & 2 \int_{0}^{2 π} a^{2} d𝜃 = 4 a^{2} π \end{array}

$∙$

Cálculo de

\int_{0}^{𝜖} \frac{a}{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} r dr :

Hacemos

u = a^{2} - r^{2}, du = - 2 r d r .

Queda

- \frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{a^{2} - 𝜖^{2}} \frac{a}{\sqrt{u}} du = {- \frac{a}{2} \frac{\sqrt{u}}{1 ∕ 2} |}_{a^{2}}^{a^{2} - 𝜖^{2}} = a^{2} - a \sqrt{a^{2} - 𝜖^{2}} \to a^{2} si 𝜖 \to a .

2

Segunda manera. Podemos calcular con

A_{S} = \iint_{D} \frac{\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}}{| F_{z} |} d A

En este caso

F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - a^{2} = 0

Puesto que esta fórmula solo se puede usar si la proyección es uno a uno con la superficie, solo podemos considerar la parte superior de la esfera. Pasando a cilíndricas, la integral queda igual al cálculo anterior.

3

Tercera manera: Coordenadas esféricas. La esfera la podemos parametrizar (con coordenadas esféricas) como

$\begin{matrix} S : & r (𝜃, φ) = a sen φ cos 𝜃 i + a sen φ sen 𝜃 j + a cos φ k \\ (𝜃, φ) \in D = [0, 2 π [\times [0, π] \end{matrix}$

\begin{matrix} \frac{\partial r}{∂𝜃} & = & (- a sen 𝜃 sen φ, a cos 𝜃 sen φ, 0) \\ \frac{\partial r}{∂φ} & = & (a cos 𝜃 cos φ, a cos φ sen 𝜃, - a sen φ) \end{matrix} ⟹ | | \frac{\partial r}{∂𝜃} \times \frac{\partial r}{∂z} | | = a^{2} sen φ

A_{S} = \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂𝜃} \times \frac{\partial r}{∂φ} | | dφ d𝜃 = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} a^{2} sen φ dφ d𝜃 = 4 a^{2} π .

Ejemplo198Área de un cilindro.

Calcular el área del cilindro

x^{2} + y^{2} = a^{2}

de altura

h,

es decir

0 \leq z \leq h

Fig. 7.17: Superficie

S

Solución. Como ya vimos (Seccion 11.), una parametrización de esta superficie es

\begin{matrix} S : & r (𝜃, z) = a cos 𝜃 i + a sen 𝜃 j + z k \\ (𝜃, z) \in D = [0, 2 π [\times [0, h] \end{matrix}

Luego,

a: $r_{𝜃} = (- a sen 𝜃, a cos 𝜃, 0)$
b: $r_{z} = (0, 0, 1)$
c: $| | \frac{\partial r}{∂𝜃} \times \frac{\partial r}{∂z} | | = | | (a cos 𝜃, a sen 𝜃, 0) | | = a .$

Entonces,

A_{S} = \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂𝜃} \times \frac{\partial r}{∂z} | | dz d𝜃 = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{h} a dz d𝜃 = 2 hπa .