Flujo traves de una superficie S

3. Flujo través de una superficie $S$

Definición 26 — Campos escalares y campos vectoriales.

Sea $U \subseteq ℝ^{n}$ un conjunto abierto. Una aplicación $f : U \to ℝ$ se denomina campo escalar o función escalar. Una función $F : U \to ℝ^{n}$ se denomina campo vectorial.

En la Sección 15. ya habíamos considerado la representación geométrica de un campo vectorial (el gradiente).

En dos y tres dimensiones, una manera de visualizar un campo vectorial es anclar en cada punto $P$ el respectivo vector $F (P)$ (se traslada desde el origen). En aplicaciones de visualización el vector se escala y se ancla en el punto de tal manera que el punto quede en el medio del vector.

Idea general

En esta sección nos interesa considerar campos vectoriales sobre los puntos de una curva o sobre los puntos de una superficie, para medir a través del producto punto $F \cdot N$ , la parte del flujo que contribuye a atravesar la curva (o la superficie), ya que $F \cdot N$ mide únicamente la componente normal del campo, descartando la componente tangencial que no cruza la curva (o superficie), es decir, la parte del "flujo" (campo vectorial) que contribuye a atravesar la superficie en la dirección de $N$ .

Fig. 7.18:

F \cdot N

, mide la cantidad de fluido en “la dirección” de

N

Propósito: Visualizar el paso de un campo vectorial (flujo) a través de una curva y el paso de un campo vectorial a través de una superficie.

a: Campo vectorial $F (x, y) = (sen y, sen x)$ y su paso sobre la curva $C$ de ecuación ${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = 1 .$
b: Campo vectorial $F (x, y, y) = (- y, x, xy)$ y su paso sobre la superficie $S$ de ecuación $z = 2 - {(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} .$

Flujo sobre una curva

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Flujo sobre una superficie

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Flujo a través de una superficie

Supongamos que tenemos una región plana $S$ y queremos determinar la cantidad de "fluido" a través de $S$ (se supone que el fluido puede atravesar la superficie sin ninguna resistencia). La cantidad de fluido es "densidad por el ‘volumen’ que ocupa".

Si el flujo se mueve con velocidad constante $V,$ entonces durante un intervalo de tiempo $Δ t,$ llenará un paralelepípedo de base $S$ y "extensión" (arista) $Δ t V .$

El volumen de este paralelepípedo es "área de la base" $Δ S$ por "altura", la altura $h$ se calcula con la norma de la proyección de $V$ sobre el vector normal unitario $N .$ a $S .$

Como se sabe, $h = | | (Δ t V \cdot N) N | | = Δ t V \cdot N,$ entonces

Volumen del paralelepípedo sobre S es V \cdot N Δ S Δ t

Fig. 7.19: El fluido a través de

S

llena un paralelepípedo

Volumen del paralelepípedo

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Si el fluido tiene densidad $ρ,$ la masa del fluido es $Δ M = ρ V \cdot N Δ S Δ t .$ La densidad del fluido es $F = ρ V$ y el flujo total es la masa de fluido que pasa a través de $S$ en una unidad de tiempo: $F \cdot N Δ S$ kilogramos por segundo.

Ahora digamos que tenemos una corriente de fluido en el espacio con velocidad $V (x, y, z)$ y densidad (masa por unidad de volumen) $ρ (x, y, z)$ en cada punto $(x, y, z) .$ El vector densidad de flujo

F (x, y, z) = V (x, y, z) ρ (x, y, z)

tiene la misma dirección que la velocidad y nos dice cuánta masa de fluido circula por el punto

(x, y, z)

en la dirección de

V (x, y, z),

por unidad de área y de tiempo.

Para sugerir una definición razonable de cómo medir la masa total de fluido que atraviesa una determinada superficie $S$ en la unidad de tiempo, se considera la superficie $S$ parametrizada por $r (u, v)$ en una región rectangular $D .$ Sea $N$ el vector unitario normal que tiene la misma dirección que el producto vectorial fundamental,

\begin{array}{rcl} N = \frac{\frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v}}{| | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | |} & (7.1) \end{array}

Para medir la cantidad de fluido que pasa a través de

S

en la unidad de tiempo y en “la dirección” de

N,

se descompone el rectángulo

D

m

subrectángulos

D_{1}, D_{2}, . . ., D_{m} .

Sean

S_{1}, S_{2}, . . ., S_{m}

las correspondientes porciones de superficie en

S .

Llamamos

Δ S_{k}

a la

k -

ésima porción

S_{k} .

Si la densidad

ρ

y la velocidad

V

son constantes en

S_{k}

S_{k}

es suficientemente plana, el fluido que atraviesa

S_{k}

en la unidad de tiempo ocupa un paralelepípedo con base

S_{k}

y eje determinado por el vector velocidad

V .

Fig. 7.20: El fluido sobre

S_{k}

ocupa un paralelepípedo

Como el área de

S_{k}

Δ S_{k} = | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | Δ u_{k} Δ v_{k},

el fluido sobre

S_{k}

ocupa un paralelepípedo de volumen (base por altura),

Δ S_{k} ρ V \cdot N = F \cdot N Δ S_{k} \approx F \cdot N | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | Δ u_{k} Δ v_{k}

Fig. 7.21:

3. Flujo través de una superficie S

Flujo a través de una superficie

3. Flujo través de una superficie $S$